Terapan Integral Lipat Dua Volume Andaikan f fungsi dua peubah yang kontinu pada daerah tertutup R yang dibatasi suatu kurva tertutup di bidang xy. Jika f(x,y) ≥ 0 untuk (x,y) di dalam R, maka volume V di bawah permukaan z = f(x,y) dan di atas daerah R didefinisikan sebagai nilai integral lipat dua f (x,y) pada R:

Contoh Gunakan pengintegralan lipat dua untuk menentukan volume suatu tetrahedron yang dibatasi bidang-bidang koordinat dan bidang 3x + 6y + 4z -12 = 0! …………penyelesaian

Menggambar bidang 3x + 6y + 4z -12 = 0 Perpotongan dengan bidang xy mengakibatkan z = 0. 3x + 6y = 12. Tipot dg sb x mengakibatkan y = 0 didpt x = 4. Sehingga didpt ttk (4,0,0). Tipot dg sb y mengakibatkan x = 0 didpt y = 2. Sehingga didpt ttk (0,2,0). Perpotongan dengan bidang yz mengakibatkan x = 0. 6y + 4z = 12. Tipot dg sb y mengakibatkan z = 0 didpt y = 2. sehingga didpt ttk (0,2,0). Tipot dg sb z mengakibatkan y = 0 didpt z = 3. Sehingga didpt ttk (0,0,3). Perpotongan dengan bidang xz mengakibatkan y = 0. 3x + 4z = 12. Tipot dg sb x mengakibatkan z = 0 didpt x = 4. Sehingga didpt ttk (4,0,0). Tipot dg sb z mengakibatkan x = 0 didpt z = 3. Sehingga didpt ttk (0,0,3).

Gambar bidang 3x + 6y + 4z -12 = 0

Menentukan daerah R: Persamaan garis antara titik (0,2) dan (4,0): Persamaan garis antara dua titik (0,2) dan (4,0)

Menentukan z = f(x,y) 3x + 6y + 4z -12 = 0 maka Menentukan volume V:

Luas Jika f fungsi konstan yang nilainya 1, sehingga f(x,y) = 1 untuk semua (x,y) dalam R. Maka Jika dihitung dengan integral berulang, maka atau

Contoh: Tentukan luas daerah R di atas kurva y = sin x, di bawah kurva y = cos x dan dibatasi oleh x = π/4! Penyelesaian: (i) Menggambar daerah R: (ii) Menentukan daerah R: Y x = π/4 x = π/4 Y R O X

Lanjutan (iii) Menentukan luas A:

Massa Total Lamina Momen massa Terhadap sumbu x: Terhadap sumbu y:

Pusat Massa ( Titik Sentroid ) dengan

Momen Inersia Andaikan L suatu lamina pada suatu daerah R di bidang xy dan memiliki fungsi kepadatan ρ. Momen inersia L terhadap: sumbu x sumbu y sumbu z Iz = Ix + Iy

Contoh: Sebuah lamina dengan kerapatan ρ(x,y) = xy dibatasi sumbu x, garis x = 8, dan kurva y = x2/3. a. Tentukan pusat massanya! b. Momen inersia terhadap sumbu z! Penyelesaian: (i) Menggambar daerah R: (ii) Menentukan daerah R: y = x2/3 R

lanjutan Menentukan massa (M):

Menentukan massa terhadap sb x:

lanjutan Menentukan massa terhadap sb y:

Menentukan pusat massa Jadi, pusat massa ( 6,15 ; 2,22 )

Momen Inersia terhadap sumbu x:

Momen Inersia terhadap sumbu y:

Momen Inersia terhadap sumbu z:

Teorema Green Misalkan P dan Q dua fungsi dua peubah yang kontinu dan memiliki turunan parsial pertama yang kontinu di dalam suatu daerah siku empat H di bidang xy. Jika C suatu kurva sederhana dan tertutup, serta seluruhnya terletak di dalam H dan jika R daerah berbatas yang dikurung C, maka

Akibat Teorema Green Jika R suatu daerah macam I atau macam II, maka luas R: dengan C batas R.