Aljabar Linear Elementer Dani Suandi, M.Si. Aljabar Linear Elementer

DOSEN S1 : UIN SUNAN GUNUNG DJATI DANI SUANDI, M.SI. I. PENDIDIKAN S1 : UIN SUNAN GUNUNG DJATI S2 : INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG (ITB) S3 : ITB (Dalam Proses) II. ALAMAT Jl. Moch. Sahri No. 34 Rt/Rw. O3/02 Kelurahan Sindang Jaya Kec. Mandalajati Kota Bandung III. KONTAK No Hp : 085-294-10-60-70 Email : danisuandi.mat@gmail.com Blog : danisuandi.wordpress.com

Matriks Definisi: Susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh:

Matriks Bentuk umum suatu matriks: Elemen kolom ke-1 = Elemen baris ke-1 =

Matriks aij adalah elemen baris ke-i, kolom ke-j Matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut berordo m  n. Matriks berordo mxn yang banyak baris sama dengan banyaknya kolom disebut matriks persegi. Contoh: Elemen 3, -6, -1 disebut elemen-elemen diagonal utama.

Macam-macam Matriks Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol. Contoh: Matriks satuan / Identitas adalah matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya satu, sedangkan elemen lainnya nol. Matriks identitas dinyatakan dengan I. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya adalah nol, sedangkan elemen diagonal utamanya tidak semua nol.

Macam-macam Matriks (lanjutan) Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama nol, sedangkan yang lain tidak semua nol. Contoh: Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utama nol, sedangkan yang lain tidak semua nol. Matriks simetri adalah matriks persegi yang berlaku A = At.

Operasi Matriks Kesamaan Dua Matriks Dua matriks disebut sama jika ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak sama. Jumlah Dua Matriks Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Jumlah dua matriks A dan B ialah matriks C yang ordonya sama dengan ordo matriks A maupun B, sedangkan elemen-elemen yang seletak dijumlahkan: Contoh:

Operasi Matriks Hasil Kali Matriks dengan Skalar Hasil kali matriks A dengan skalar k ialah matriks yang ordonya sama dengan ordo matriks A sedangkan elemen-elemennya dikalikan dengan k. Hasil Kali 2 Matriks Jika A adalah sebuah matriks m  r dan B adalah matriks r  n maka hasil kali A  B adalah matriks mxn yang elemen-elemennya ditentukan sbb: elemen di dalam baris ke-i, kolom ke-j dari AB, maka pilihlah baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B, kalikanlah elemen-elemen yang bersangkutan dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil perkalian yang dihasilkan.

Operasi Matriks Contoh: 2  3 3  4 2  4 2  3 3  4 2  4 (2  4) + (6  3) + (0  5) = 26

Transpose Matriks Definisi: Jika A suatu matriks persegi didefinisikan Ao = I (matriks Identitas) An =AA A A … A sebanyak n faktor. Jika A suatu matriks mn maka transpose matriks A ditulis At atau A’ didefinisikan sebagai matriks nxm dengan kolom ke-i diperoleh dari baris ke-i dalam A, untuk i=1,2, …, m. Contoh:

Sifat – sifat Matriks Misalkan ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar operasi-operasi berikut terdefinisi maka berlaku: A+B = B+A (H. Komutatif Penjumlahan) A+(B+C) = (A+B)+C (H. Asosiatif Penjumlahan) k(A+B) = kA+kB k skalar (k+l)A = kA + lA k dan l skalar (kl)A = k(lA) k dan l skalar k(AB) = kA(B) = A(kB) k skalar A(BC) = (AB)C (H. Asosiatif Perkalian) A(B+C) = AB + AC (H. Distributif) (A+B)C = AC + BC (H. Distributif)

Sifat Transpose Matriks Berdasarkan pengertian transpose dapat dibuktikan sifat berikut: Jika ordo matriks-matriks berikut memenuhi syarat agar operasinya terdefinisi maka: (At)t = A (A+B)t = At + Bt (kA)t = k(At) (AB)t = Bt . At Contoh:

Jadi (AB)t = Bt . At

Latihan Soal Misalkan A dan B adalah matriks-matriks 45 dan misalkan C, D, dan E berturut-turut adalah matriks-matriks: 52, 42, dan 54. Tentukanlah yang mana diantara pernyataan berikut terdefinisi dan berapakah ordo hasilnya. Hitunglah a, b, c dan d jika Ditentukan: dan dengan tidak menghitung hasil keseluruhan, hitunglah: BA AC + B E(A+B) AC + D AB+B

Latihan Soal (lanjutan) dengan tidak menghitung hasil keseluruhan, hitunglah: Baris ke-1 dari AB Kolom ke-2 dari AB Baris ke-3 dari A2 Baris ke-3 dari AB Kolom ke-1 dari BA Baris ke-2 kolom ke-3 dari B2