Distribusi Variable Acak Kontinu Distribusi Weibull dan Lognormal

Distribusi Weibull Distribusi Weibull sering digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan dari banyak sistem fisik. Parameter dalam distribusi memungkinkan fleksibilitas untuk memodelkan sistem dengan jumlah kegagalan bertambah terhadap waktu, berkurang terhadap waktu, atau tetap konstan terhadap waktu.

PDF Distribusi Weibull untuk dengan parameter skala dan parameter bentuk CDF-nya adalah

Fungsi Gamma Definisi Sifat-sifat fungsi Gamma Jika r adalah bilangan bulat positif

PDF Distribusi Weibull utk beberapa nilai parameter

Rata-rata dan Variansi Distribusi Weibull Jika X mempunyai distribusi Weibull dengan parameter dan maka, Rata-rata Variansi

Contoh Waktu kegagalan (dalam jam) sebuah komponen mesin dapat dimodelkan sebagai sebuah variable acak Weibull dengan  = ½ dan  = 5000 jam. Tentukan rata-rata waktu kegagalan. Jawab: jam Tentukan probabilitas bahwa komponen mesin akan bertahan paling tidak 6000 jam. Jawab: Hanya 33.4% dari semua komponen yang bertahan paling tidak 6000 jam.

Distribusi Lognormal Variabel dalam sebuah sistem kadang-kadang mengikuti sebuah hubungan eksponensial x = exp(w) Jika exponent, W, adalah sebuah variable acak, maka X = exp(W) adalah sebuah variabel acak. Sebuah kasus khusus penting terjadi ketika W mempunyai sebuah distribusi normal. Pada kasus tersebut, distribusi X disebut sebuah distribusi lognormal. Nama tersebut mengikuti transformasi ln (X) = W. Yaitu, logaritma natural dari X adalah terdistribusi normal. Misalkan bahwa W adalah terdistribusi normal dengan rata-rata  dan variansi 2; maka fungsi distribusi kumulatif untuk X adalah: Untuk dan Z adalah variabel normal standar, sehingga tabel distribusi normal standar dapat digunakan untuk menghitung probabilitasnya. untuk

PDF Distribusi Lognormal Misalkan bahwa W adalah terdistribusi normal dengan rata-rata  dan variansi 2; maka X = exp(W) adalah sebuah variabel acak log-normal dengan PDF: Mean and variansi X adalah:

Contoh Umur pakai sebuah laser semiconductor mengikuti sebuah distribusi lognormal dengan  = 10 jam dan variansi  = 1,5 jam. Berapakah probalilitasnya bahwa umur pakainya akan melewati 10.000 jam? Berapakah umur pakai 99% laser semiconductor? Dari tabel normal didapatkan untuk , shg jam maka Rata-rata dan variansinya masing-masing adalah