Pembangkitan Peubah Acak Kontinu Pertemuan 07

Metode Pembangkitan P.A. Kontinu Semua teknik untuk membangkit-kan p.a. diskret dapat digunakan untuk p.a. kontinu Algoritma transformasi Invers Metode penolakan

Teknik Transformasi Invers Bilangan acak merupakan sebuah contoh nilai dari p.a. kontinu U ~ Uniform (0, 1) Cara membangkitkan p.a. ini adalah spesial, telah dibicarakan pada pertemuan 04, karena p.a. ini merupakan bahan baku untuk membangkitkan p.a. yang lain Fungsi kepekatan peluang (fkp) untuk p.a. U ini adalah fU(x) = 1, 0  x  1

Teknik Transformasi Invers Fungsi sebaran F untuk p.a. U, didefinisikan sebagai Carilah fungsi sebaran untuk X ~ U(a, b) jawab: fkp untuk X adalah fX(x)=1/(b-a), axb maka fungsi sebarannya adalah

Teknik Transformasi Invers Untuk setiap fungsi sebaran kontinu F dan U adalah bilangan acak, maka p.a. X yang berasal dari fungsi sebaran F tersebut didefinisikan oleh, X = F-1(U) F-1 adalah invers dari fungsi F, sehingga F(x) = u

Teknik Transformasi Invers Fungsi invers untuk F(X) = (X-a)/(b-a) adalah F-1(U) = (b-a)U + a Jadi algoritma untuk membangkitkan p.a. X ~ U(a, b) Bangkitkan bilangan acak U Set X = (b-a)U + a Untuk fungsi sebaran lain berlaku cara yang sama

Teknik Transformasi Invers Teladan #2 Bangkitkan p.a. x dengan fungsi kepekatan ì le-lx , x  0 f(x) = í î 0 , x < 0 Jawab: F(x) = f(t) dt ì 1 - e-lx , x  0 = í

Teknik Transformasi Invers set F(x) = U Kemudian penyelesaian untuk x adalah  1 - e-lx = U e-lx = 1 - U -lx = ln(1 - U) x = - {ln(1 - U)} / l or = - {ln(U)} / l

Teknik Transformasi Invers U1 = 1-e-x1 X1 = -ln(1-U1) Peragaan graphis untuk teknik transformasi invers

Teknik Transformasi Invers Algoritma pembangkitan p.a. X ~ Exp() Bangkitkan bilangan acak U Set X = - {ln(U)}/  Soal Buatlah algoritma untuk membangkitkan p.a. X yang mempunyai fkp., f(x) = ex/(e-1), 0  x  1

Metode tolak-terima Bila telah ada suatu metode untuk membangkitkan suatu peubah acak kontinu Y, dengan fkp. g(Y) Berdasarkan metode ini digunakan untuk membangkitkan p.a. kontinu X, dengan fkp. f(X) Pertama dibangkitkan p.a. Y, dan menerima nilai ini sebagai nilai p.a. X dengan peluang proporsional f(Y)/g(Y)

Metode tolak-terima Dicari suatu konstanta c terkecil yang memenuhi kondisi berikut: kemudian X disimulasikan sebagai berikut  c = Max {f(y)/g(y)} mulai Apakah Uf(y)/cg(y) Bangkitkan Y ~ g Bankitkan U ya X=Y tidak

Metode tolak-terima Teladan Gunakan metode penolakan untuk membangkitkan p.a. X dengan fkp. f(x) = 20 x(1-x)3, 0<x<1 p.a. Y dengan fkp. g(y) yang memiliki domain yang sama dengan fungsi f dan sudah kita kenal pembangkitannya adalah p.a. sebaran seragam (uniform) dengan interval (0, 1), tidak lain adalah bilangan acak U.

Metode tolak-terima Sehingga p.a. Y dengan fkp. g(y) = 1, 0<y<1 akan digunakan sebagai basis untuk membangkitkan nilai X Jadi f(x)/g(x)  20(1/4)(3/4)3 = 135/64  c f(x)/{cg(x)} = {256/27}{x(1-x)3}

Metode tolak-terima Sehingga algoritmanya adalah Bangkitkan bilangan acak U1 dan U2. Jika U2  (256/27) U1(1-U1)3, set X = U1 dan stop Kembali ke langkah 1 Note: bilangan acak U1 sebagai p.a. Y yang menyebar uniform(0,1)