ALJABAR MATRIKS pertemuan 12 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom 1

Nilai Eigen Definisi : Misalkan A adalah suatu matriks n x n. skalar λ disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x, sehingga Ax = λx. Vektor x disebut nilai eigen atau vektor karakteristik dari λ Contoh : Misalkan A = dan x = Karena Ax = Dari persamaan ini terlihat bahwa λ = 3 adalah nilai eigen dari A dan x = (1,2) T merupakan vektor eigen dari λ Persamaan Ax = λx dapat dituliskan dalam bentuk (A – λI) x = 0 Jadi λ adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika persamaan diatas memiliki suatu penyelesaian taktrivial. Ruang bagian N (A – λ I ) = 0 dinamakan ruang eigen (eigen space) yang berhubungan dengan nilai eigen λ 2

Persamaan Ax = λx akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika (A – λI) singular atau secara ekuivalen Det (A – λ I) = 0 ….. (2) Jika determinan pada persamaan diatas diuraikan, akan kita dapatkan suatu polinom berderajat ke-n dalam peubah λ P( λ ) = Det (A – λ I) Polinom ini disebut polinom karakteristik dan persamaan (2) disebut persamaan karakteristik untuk matriks A. Akar dari polinom karakteristik adalah nilai eigen dari A. 3

Contoh : Carilah nilai – nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dengan matriks A = Penyelesaian : Persamaan karakteristiknya adalah atau λ 2 – λ – 12 = 0 Jadi nilai eigen dari A adalah λ 1 = 4 dan λ 2 = -3. Untuk mencari vektor eigen yang dimiliki oleh λ 1 = 4, kita harus menentukan kernel (ruang nol) dari A – 4 I. A – 4 I = Dengan menyelesaikan (A – 4 I ) x = 0, kita mendapatkan x = (2x 2, x 1 ) T. Jadi semua kelipatan taknol dari (2,1) T adalah vektor eigen milik λ 1 dan {(2,1) T } adalah suatu basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ 1 4

Kesimpulan : Misalkan A adalah matriks n x n dan λ adalah suatu skalar. Pernyataan – pernyataan berikut ini adalah ekuivalen. (a). λ adalah nilai eigen dari λ (b). (A - λ I) x = 0 mempunyai penyelesaian taktrivial (c). N (A - λ I) ≠ {0} (d). A - λ I adalah singular (e). Det (A - λ I) = 0 5

Latihan 1.Carilah nilai – nilai eigen dan ruang eigen yang bersesuaian untuk setiap matriks berikut ini : 1.A = 2.B = 3.C = 4.D = 6

Sistem Persamaan Diferensial Linear Pertama kita tinjau sistem persamaan orde satu yang berbentuk : Y 1 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + … + a 1n y n Y 2 1 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + … + a 2n y n … Y n 1 = a n1 y 1 + a n2 y 2 + … + a nn y n Dimana y i = f i (t) adalah fungsi C 1 [a,b] untuk setiap i. Jika misalkan Y = dan Y1 = maka sistem tersebut dapat dituliskan dalam bentuk Y 1 = AY Y dan Y 1 keduanya adalah fungsi vektor dari t. Jelas, fungsi apapun yang bentuknya y(t) = c.e λt (c adalah konstanta sembarang) memenuhi persamaan ini. Generalisasi alami dari penyelesaian ini untuk kasus n > 1 mengambil Y = Dimana x = {x 1, x 2, …, x n }T. 7

Contoh : Selesaikan sistem berikut ini : Y 1 1 = 3y 1 + 4y 2 Y 2 1 = 3y 1 + 2y 2 Penyelesaian : A = Nilai eigen dari A adalah λ 1 = 6 dan λ 2 = -1. Vektor eigen dari λ 1 adalah x 1 = (4,3) T dan vektor eigen dari λ 2 adalah x 2 = (1,-1) T. Jadi fungsi vektor apapun yang berbentuk Y = = adalah penyelesaian dari sistem tersebut. 8

Latihan Carilah penyelesaian umum untuk suatu sistem berikut ini : 1.Y 1 1 = y 1 + y 2 dan Y 2 1 = -2y 1 + 4y 2 2. Y 1 1 = y 1 - 2y 2 dan Y 2 1 = -2y 1 + 4y 2 3.Y 1 1 = 3y 1 - 2y 2 dan Y 2 1 = 2y 1 + 3y 2 9

Diagonalisasi Teorema : Jika λ1, λ2, … λn adalah nilai – nilai eigen yang berbeda dari matriks A berordo n x n, dengan vektor – vektor eigen yang Bersesuaian x1, x2, …, xk maka x1, x2, … xk adalah bebas linear Definisi : Suatu matriks A berordo n x n disebut dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks X singular dan suatu matriks diagonal D sedemikian rupa sehingga X -1 AX = D Kita katakan bahwa X mendiagonalisasi A. 10

Contoh : Misalkan A = Nilai eigen dari A adalah λ1 = 1 dan λ2 = -4 Vektor – vektor eigen x1 = (3,1)T dan x2 = (1,2)T Misalkan X = Maka selanjutnya X -1 AX = = D Dan XDX -1 = = A 11

Latihan Pada setiap soal berikut ini, faktorkan matriks A kedalam hasil kali XDX -1, dimana D adalah diagonal 1.A = 2.B = 12