PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR 1. Persamaan diferensial orde pertama Persamaan diferensial linear Dengan f(t) fungsi waktu, dan x(0) diketahui Kalikan dengan y(t) pada kedua sisi persamaan :
Integralkan kedua sisi persamaan: Untuk t = 0 , diperoleh y(0) = e0 = 1 Kita dapat mengintegralkan persamaan antara batas terendah (0) dan batas tertinggi (t)
Subtitusi y(t) pada persamaan di atas, diperoleh: Soal: Sebuah rangkaian RC seperti pada gambar, hitung tegangan di kapasitor, bila E = 100 Volt, dan v(0) =5 Volt
Penyelesaian : Menggunakan hukum kirchoff tegangan : Bagi kedua sisi persamaan dengan 0,2 diperoleh: Penyelesaian persamaan diferensial linear:
Jadi nilai tegangan di kapasitor diperoleh:
1. Persamaan diferensial orde tinggi Persamaan diferensial linear dengan koefisien kontan dan orde ke-n dapat dituliskan dengan notasi operator : Persamaan linear homogen dengan koefisoen akar –akar r : Akar-akar polynomial sebanyak n, maka penyelesaiannya :
untuk setiap akar riil yang berbeda, tetapkan fungsi ert . untuk setiap akar riil rangkap sebanyak p-rangkap, tetapkan fungsi-fungsi ert ,tert , tp-1ert. untuk setiap pasangan akar kompleks yang berbeda a jb, tetapkan fungsi-fungsi eatcos bt, dan eatsin bt. untuk setiap pasangan akar kompleks rangkap a jb, sebanyak p-rangkap, tetapkan fungsi-fungsi eatcos bt, eatsin bt, teatsin bt,…, tp--1eatcos bt, tp--1eatsin bt
Soal: 1. Tentukan penyelesaian persamaan diferensial homogen berikut: Penyelesaian: Tentukan D(p) dari persamaan di atas, diperoleh : Nilai akar-akar persamaan diperoleh : r1 = -2 dan r2 = -3 + j4, r3 = -3 –j4 Penyelesaian y komplementer (yc(t)) :
1. Tentukan penyelesaian persamaan diferensial homogen berikut: Tentukan D(p) dari persamaan di atas, diperoleh : r1 = -2 dan r2 = -2, r3 = -3 Penyelesaian y komplementer (yc(t)) :