BAB VIII RUANG HASILKALI DALAM (lanjutan)

8.4 Matris Ortogonal ; Perubahan Basis Definisi Sebuah matriks persegi A yang memiliki sifat A–1 = AT disebut sebagai matriks ortogonal. Dari definisi kita dapat menyimpulkan bahwa suatu matrik persegi dikatakan ortogonal jika dan hanya jika AAT = ATA = I

Contoh 8.12 Buktikan bahwa matriks ortogonal Bukti

Karena ATA = I, maka terbukti bahwa matriks A adalah matriks ortogonal

Teorema 8.4.1 Pernyataan-pernyataan berikut adalah ekivalen untuk sebuah matriks A, n x n. a) A adalah matriks ortogonal Vektor-vektor baris matriks A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada Rn yang memiliki hasilkali dalam Euclidean. c) Vektor-vektor kolom A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada Rn yang memiliki hasilkali dalam Euclidean.

Contoh 8.13 Tunjukkan bahwa adalah ortogonal dengan menunjukkan: a) vektor-vektor baris matriks A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada R2 vektor-vektor kolom matriks A membentuk sebuah himpunan ortonormal pada R2 Penyelesaian

a) Karena 〈r1, r2〉 = 0 dan ||r1|| = ||r2|| = 1, berarti vektor- vektor baris dari matriks A membentuk suatu himpunan ortonormal.

b) Karena 〈c1, c2〉 = 0 dan ||c1|| = ||c2|| = 1, berarti vektor- vektor kolom dari matriks A membentuk suatu himpunan ortonormal.

Teorema 8.4.2 a) Invers dari sebuah matriks matriks ortogonal adalah sebuah matriks ortogonal Hasilkali matriks-matriks ortogonal akan menghasilkan sebuah matriks ortogonal Jika A ortogonal, maka det (A) = 1 atau det (A) = –1

Contoh 8.14 Telah ditunjukkan pada contoh 8.13 bahwa adalah ortogonal, sehingga berdasarkan teorema 8.4.2 c, det (A) = 1 atau det (A) = –1

8.4.1 Matriks Koordinat v = k1v1 + k2v2 + … + knvn Dari teorema sebelumnya, jika S = {v1, v2, …, vn } adalah sebuah basis untuk suatu ruang vektor V, maka setiap vektor v didalam V dapat dinyatakan secara unik sebagai sebuah kombinasi linier dari vektor-vektor basis, v = k1v1 + k2v2 + … + knvn Skalar k1, k2, …, kn adalah koordinat-koordinat v relatif terhadap S dan vektor (v)S = (k1, k2, …, kn) adalah vektor koordinat dari v relatif terhadap S. Jika (v)S ditulis dalam bentuk matriks n x 1, maka

Jika (v)S ditulis dalam bentuk matriks n x 1, Selanjutnya [v]S didefinisikan sebagai matriks koordinat dari vektor v relatif terhadap S Contoh 8.15 Tentukan matriks koordinat v relatif terhadap S = {v1, v2, v3} jika v = (2, –1, 3); v1 = (1, 0, 0), v2 = (2, 2, 0), v3 = (3, 3, 3,) Penyelesaian

v = k1v1 + k2v2 + k3v3 (2, –1, 3) = k1 (1, 0, 0) + k2 (2, 2, 0) + k3 (3, 3, 3) k1 + 2k2 + 3k3 = 2 0k1 + 2k2 + 3k3 = –1 0k1 + 0k2 + 3k3 = 3