Interpolasi Newton dan Lagrange

Interpolasi Polinomial Dua titik data : Garis Tiga titik data : Kuadratik Empat titik data :Polinomial tingkat-3 … n titik data :Polinomial tingkat-n Diketahui:n titik data (x1, y1), (x2, y2), … (xn, yn) Ditanya :a0, a1, …, an sehingga Adakah cara yang lebih baik untuk menyelesaikan persamaan diatas?

Interpolasi Linear Diketahui: Dua titik(x1, y1), (x2, y2) Ditanya :Garis yang melewati 2 titik tersebut Contoh: f(x) = ln x x1 = 1 dan x2 = 6: f1(2) = 0.3583519 x1 = 1 dan x2 = 4 f1(2) = 0.4620981 ln 2 = 0.6931472 Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!

Interpolasi Kuadratis Diketahui: Tiga titik(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3) Ditanya: kuadratis f2(x) = a0 + a1x + a2x2 yang melewati ke-3 titik diatas Contoh: f(x) = ln x Titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759) b0 = 0 b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981 b2 = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0.4620981]/(6-1) = -0.0518731 f2(2) = 0.5658444 ln 2 = 0.6931472

Interpolasi Polynomial Newton Diketahui: n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) (yi = f(xi), i=1,2,…,n) Ditanya: fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn yang melewati n titik tersebut. dengan Rekursif!

Contoh Interpolasi Polynomial Newton Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi ln x) Ditanya: Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3 f3(2) = 0.629

Contoh Interpolasi Polynomial Newton x1 x2 x0 x3

Perkiraan Error Polynomial Newton Jika f(x) dinyatakan oleh deret Taylor , error setelah terms ke-n adalah: Untuk suatui polinomial Newton orde ke-n, Hubungan untuk error scr analogi: Tapi kita tidak tahu apakah itu f(x)! Sebagai suatu perkiraan untuk error, bisa kita gunakan (Ingat: fn+1(x) = fn(x) + Rn)

Perkiraan Error, Orde, dan Titik data x f(x) = ln x 1 0 4 1.386 1.792 1.609 1.099 1.5 0.405 2.5 0.916 3.5 1.253 x f(x) = ln x 3.5 1.253 2.5 0.916 1.5 0.405 3 1.099 1.609 1.792 4 1.386 1 0 Perkiraan Error polynomial Newton fk(x) pada ln 2: k = 1,2,…,7

Polinomial Interpolasi Lagrange dengan Contoh:

Interpretasi Grafis Polynomials Lagrange L2f(x2) L0f(x0) L1f(x1)

Interpolasi Inverse interpolasi yc = fn(xc) Interpolated point of (xc, f(xc)) Interpolated curve true curve fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn interpolasi yc = fn(xc) Bagimana inverse-nya: fn(y) = a0 + a1y + a2y2 + … + anyn interpolasi xc = fn(yc) Keduanya tidak ekuivalen dalam hal keakuratan interpolasi!

Extrapolasi Hasil interpolasi yang paling akurat bisanya diperoleh ketika yang tidak diketahui berada dekat di tengah-tengah titik basis! Untuk ekstrapolasi, yang tidak diketahui berada di luar jangkauan titik basis; jadi perlu perhatian lebih!

Masalah-2 dalam Interpolasi Polinomial Derajat interpolasi polinomial sama dengan jumlah-n titik data. Jadi jikan=1000 titik data, maka kita akan mempunyai polinomial orde-1000 Polinomial berorde tinggi (saat n > 5) dapat menampakkan ciri erratik dan sangat rentan dengan instabilitas numerik. Polinomial berorde tinggi seringkali menginterpolasi titik diluar jangkauan titik data yang tepat karena adanya overshoot.

Interpolasi Spline Ide: Gunakan polinomial orde rendah (k ≤ 3) untuk menginterpolasi sekumpulan data titik dan hubungkan polinomial interolsai ini dengan halus Papan Drafting: menggunakan tali yang tipis dan fleksibel (disebut spline)untuk menggambarkan kurva yang halus melalui sekumpulan titik.Tiap bagian interpolasi akhir melengkung antar 2 titik yang berdekatan Titik data adalah polinomial derajat 3 Contoh

Interpolasi Spline Kuadratis Diketahui: n+1 Titik data (xi, yi) untuk i=0,1,…,n Ditanya: polynomials derajat-2 n fi(x) = aix2 + bix + ci sedemikian sehingga 1. fi(x) menginterpolasi dua titik (xi-1, yi-1) dan (xi, yi), dan 2. fi(x) dan fi-1(x) punya turunan yang sama pada xi-1.

Turunan Quadratic Spline fi-1(xi-1) = ai-1xi-12 + bi-1xi-1 + ci-1 = yi-1 fi(xi-1) = aixi-12 + bixi-1 + ci = yi-1 2n – 2 persamaan 2. f1(x0) = a1x02 + b1x0 + c1 = y0 fn(xn) = anxn2 + bnxn + cn = yn 2 persamaan (the 1st derivative at the interior knots must be equal) fi-1’(xi-1) = 2ai-1xi-1 + bi-1 = 2aixi-1 + bi = fi’(xi-1) n– 1 persamaan

Contoh of Quadratic Spline