Fungsi Konveks dan Konkaf

Himpunan   R konveksjika x., y   Bagi himpunan   R Himpunan   R konveksjika x., y   z= (i-t) x + t y  , t  [0, 1 ] x z y

• Sebuah fungsi f(x) konveks pada  jika x., y  : f((1-t) x + t y) < (1-t)f(x) + tf(y), t [0,1]

• Sebuah fungsi f(x) konkaf pada  jika x., y  : f((1-t) x + t y)  (1-t)f(x) + tf(y), t [0,1]

TEOREMA 1 Jika f(x) konveks pada  maka lokaI minimum adalah global minimum, Jika f(x) konkaf pada  maka lokaI maksimum adalah global maksimum.

TEOREMA 2 𝑓(𝑥)∈ 𝐶 1 (fungsi konveks yang dapat diturunkan satu kali) adalah konveks pada  jika dan hanya jika: 𝑓 𝑦 ≥𝑓 𝑥 + 𝑓 ′ 𝑥 𝑦−𝑥 , ∀𝑥,𝑦∈ x

𝑓(𝑥)∈ 𝐶 1 (fungsi konkafyang dapat diturunkan satu kali) adalah konkaf pada  jika dan hanya jika: 𝑓 𝑦 ≤𝑓 𝑥 + 𝑓 ′ 𝑥 𝑦−𝑥 , ∀𝑥,𝑦∈  x

TEOREMA3:   𝑓(𝑥)∈ 𝐶 2 (fungsi konveks yang dapat diturunkan dua kali) adalah fungsi konveks jika dan hanya jika: 𝑓"(𝑥)≥0,∀ 𝑥∈ 𝑓(𝑥)∈ 𝐶 2 (fungsi konkaf yang dapat diturunkan dua kali) adalah fungsi konkaf jika dan hanya jika: 𝑓"(𝑥)≤0,∀ 𝑥∈

Contoh: f(x) = eX dan f(x) = x2 adalah fungsi konveks

f(x) = 𝑥 1/2 adalah fungsi konkaf

Bagi himpunan dengan dimensi n: Rn   Rn adalah himpunan konveks jikax, y   z = (1-t) x + t y   , t  [0,1] di mana x = (x1 ,…,xn) TEOREMA: f :   R adalah fungsi konveks jika x, y   : f(( 1-t) x + t y ) < (1-t)f(x) + t f(y), t  [0,1] dan f(y) > f(x) + (y-x)' f(x) f :   R adalah fungsi konkaf jika x, y   : f(( 1-t) x + t y ) ≥ 1-t)f(x) + t f(y), t  [0,1] dan f(y) ≤ f(x) + (y-x)' f(x)

Dimana 𝛻𝑓(𝑥)= 𝜕𝑓(𝒙)  𝑥 1 𝜕𝑓(𝒙) 𝜕 𝑥 2 … 𝜕𝑓(𝒙) 𝜕 𝑥 𝑛 Adalah vektor gradien

Matriks Hessian suatu fungsi 𝛻 2 𝑓(𝒙)= 𝜕𝑓(𝒙) 𝜕 𝑥 1 2 𝜕𝑓(𝒙) 𝜕 𝑥 1 𝑥 2 … 𝜕𝑓(𝒙) 𝜕 𝑥 1 𝑥 𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝜕𝑓(𝒙) 𝜕 𝑥 𝑛 𝑥 1 𝜕𝑓(𝒙) 𝜕 𝑥 𝑛 𝑥 2 … 𝜕𝑓(𝒙) 𝜕 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛

TEOREMA: Jika 𝛻 2 𝑓(𝑥) bersifat positif semi definit ∀ 𝑥 ∈ maka f adalah fungsi konveks dalam  Jika 𝛻 2 𝑓(𝑥) bersifat positif definit ∀ 𝑥 ∈ maka f adalah fungsi konveks ketat dalam  Definisi: Matriks A berukuran nx n adaiah matriks positif semi definit jika: Q(x) = x’Ax > 0 x  0 Bersifat positif definit jika:

TEOREMA: Jika 𝛻 2 𝑓(𝑥) bersifat negatif semi definit ∀ 𝑥 ∈ maka f adalah fungsi konkaf dalam  Jika 𝛻 2 𝑓(𝑥) bersifat negatif definit ∀ 𝑥 ∈ maka f adalah fungsi konkaf ketat dalam  Definisi: Matriks A berukuran nx n adaiah matriks negatif semi definit jika: Q(x) = - x’Ax > 0 x  0 Bersifat nagatif definit jika:

Definisi: Minor utama ke i dari matriks nx n adalah determinan dari matriks i x i yang diperoleh dari penghapusan n-i baris dan n-i kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut

TEOREMA: Suatu matriks A dikatakan positif semi definit jika seluruh minor utama dari A bernilai >0 (non negatif) Suatu matriks A dikatakan positif definit jika seluruh minor utama dari A bemilai >0 (positif) Suatu matriks A dikatakan negatif semi definit jika minor utama ke-i dari A bernilai 0 atau bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n. Suatu matriks A dikatakan negatif definit jika seluruh minor utama dari A bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n

Dari teorema sebelumnya berlaku: Jika f(x) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinyu pada  x  ,maka f(x) adalah fungsi konveks pada  jika seluruh minor utama dari 𝛻 2 𝑓(𝑥) adalah >0 (konveks ketat jika seluruh minor utama dari 𝛻 2 𝑓(𝑥) adalah >0). Jika f(x) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinyu pada  x  , maka f(x) adalah fungsi konkaf pada  jika seluruh minor utama dari 𝛻 2 𝑓(𝑥) bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n atau sama dengan 0 ( konkaf ketat jika seluruh minor utama dari 𝛻 2 𝑓(𝑥) bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n)