Aplikasi Turunan Oleh: Dani Suandi,M.Si.

Matematika Adalah Bahasa Alam Semesta (Galileo)

Kecepatan dan Percepatan Contoh : Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat mendatar sedemikian rupa sehingga posisinya pada saat dinyatakan oleh Dalam hal ini s diukur oleh meter dan t dalam detik, tentukanlah : Kapankah kecepatanya nol ? Kapan kecepatannya positif Kapan partikel itu bergerak mundur? Kapankah percepatanya positif ?

Masalah Benda Jatuh Contoh : Dari puncak sebuah gedung setinggi 160 meter, sebuah bola dilemparkan ke atas dengan kecepatan awal 64 m/detik, jika posisi bola mengikuti fungsi berikut Dimana adalah kecepatan awal dan ketinggian awal, tentukanlah : Kapankah bola itu mencapai ketinggian maksimum? Berapakah ketinggian maksimumnya? Kapankah bola itu membentur tanah? Dengan laju berapa bola itu membentur tanah ? Berapa percepatan pada saat t=2 ?

Maksimum dan Minimum Definisi Misalkan f(x) kontinu pada selang I yang memuat c, f(c) disebut nilai global dari f pada I jika f(c) disebut nilai lokal dari f pada I jika terdapat selang buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis.

Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f] Max global Max lokal Min global Max lokal Min lokal Min lokal a b c d e f Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]

Teorema Titik Kritis Andaikan f terdiferensialkan pada selang I yang memuat titik c. jika f( c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu : Titik ujung dari I Titik stasioner dari f yakni f’( c) = 0 ; atau Titik singular dari f yakni f’( c) tidak ada

Contoh soal : Dengan menggunakan pagar kawat sepanjang 200m akan dibangun suatu kandang ayam yang bentuknya persegi panjang, tentukan ukuran kandang agar luas kandang maksimum Jawab. Keliling kandang = 2P + 2L Nilai stasioner dicari dengan Luas ‘ = 0 Luas ‘ = 100 – 2L 2P + 2L = 200 P + L = 100 P = 100 - L 100 – 2L = 0 2L = 100 L = 50 Luas kandang = p x L Luas = P.L Luas = ( 100 – L). L Luas = 100L – L2 Untuk L = 50 maka P=100-50=50

Contoh soal : Jumlah dua bilangan adalah 30, tentukan kedua bilangan tersebut agar hasil kalinya maksimum Jawab. Misal bilangan tersebut a dan b maka a + b = 30; a = 30 – b, misal Hasil kali kedua bilangan = P P = a x b = (30 – b)xb = 30b – b2 Nilai stasioner jika P’ = 0 P’ = 30 – 2b 30 – 2b = 0 2b = 30 b = 15 Untuk b = 15 maka a=15

Teorema : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal Jika pada dan pada Maka f(c) merupakan nilai lokal f(c) f(c) c c f(c) nilai min lokal f(c) nilai maks lokal Disebelah kiri c monoton naik (f ’>0) dan disebelah kanan c monoton turun (f’<0) Disebelah kiri c monoton turun (f ’<0) dan disebelah kanan c monoton naik (f’>0)

Algoritma Pengujian turunan pertama : 1. Selesaikan f ’(x)= 0 untuk mendapatkan harga kritis 2. Gambarkan harga kritis tersebut pada garis bilangan, dengandemikian terbentuk sejumlah selang 3. Tentukan tanda f ‘ (x) pada tiap selang 4. Misalkan x bertambah setelah tiap harga kritis x=c; maka f(x) mempunyai harga maksimum (=f(c) ) jika f ‘ (x) berubah dari + ke - f(x) mempunyai harga minimum (=f(c) ) jika f ‘ (x) berubah dari – ke + f(x) tidak mempunyai mempunyai harga maksimum maupun minimum di (x=c) jika f ‘ (x) tidak mengalami perubahan tanda

Teorema 5.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal Misalkan . Jika ,maka f(c) merupakan nilai lokal f Contoh :Tentukan nilai ekstrim dari Jawab: Tidak ada f’(x) x 2 4 ++++++ --------- ------------ +++++++ Dengan menggunakan uji turunan pertama : di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai

Kemonotonan Fungsi Definisi Fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk f(x2) f(x1) x1 x2 I Fungsi f(x) monoton naik pada selang I

monoton turun pada interval I jika untuk f(x1) f(x2) x1 x2 I Fungsi f monoton turun pada selang I

Fungsi Menaik dan Menurun Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan tertentu. Lereng nol y = f(x) Lereng negatif fungsi menurun f’(a) > 0, y = f(x) menaik f’(a) < 0, y = f(x)menurun Lereng positif fungsi menaik Lereng nol

Teorema 5.1 : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka Fungsi f(x) monoton naik pada I jika Fungsi f(x) monoton turun pada I jika Contoh Tentukan selang kemonotonan dari Jawab : f(x) monoton naik f(x) monoton turun pada (0,2) dan (2,4). Tidak ada 2 4 ++++++ --------- ------------ +++++++ f’(x) x

Kecekungan Fungsi y y x x Grafik fungsi cekung keatas Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila naik pada interval I, dan f(x) dikatakan cekung kebawah pada interval I bila turun pada interval I. Teorema Uji turunan kedua untuk kecekungan Jika , maka f cekung ke atas pada I. Jika , maka f cekung ke bawah pada I. y y x x Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah

Tentukan selang kecekungan dari contoh Tentukan selang kecekungan dari Jawab : Tidak ada - - - - - +++ f”(x) x 2 Grafik f cekung keatas pada dan cekung kebawah pada selang

Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu y B. Asimtot fungsi Definisi : Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni (i) Asimtot Tegak Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika (iii) Asimtot Miring Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika dan

Asimtot tegak a a x=a asimtot tegak x=a asimtot tegak Dalam kasus dan dan MA1114 KALKULUS I

Garis y = b asimtot datar karena Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hingga Tapi, jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri oleh Grafik fungsi(tidak dipotong lagi)

Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai x hingga. y=f(x) Garis y = ax + b asimtot miring Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai x hingga. Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar dan asimtot miring

(ii) Asimtot datar : Jawab : (i) Asimtot tegak : x = 2, karena dan Contoh Tentukan semua asimtot dari Jawab : (i) Asimtot tegak : x = 2, karena dan (ii) Asimtot datar : Maka asimtot datar tidak ada

(iii) Asimtot miring Asimtot miring y = x

Titik belok Definisi 5.4 Misal f(x) kontinu di x = b. Maka (b,f(b)) disebut titik belok dari kurva f(x) jika : terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah kiri dari x =b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelah kanan dari x =b fungsi f cekung ke bawah atau sebaliknya x = b adalah absis titik belok, jika atau tidak ada.

Tentukan titik belok (jika ada) dari ------------- +++++++ f”(x) x ● Di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0)= -1 maka (0,-1) merupakan titik belok f”(x) x +++++++ +++++++ ● Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahan kecekungan

Contoh: Diketahui Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot d. Gambarkan grafik f(x) a. Fungsi f(x) monoton naik pada selang monoton turun pada selang (0,2) dan (2,4). di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai di x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai b. Grafik f cekung keatas pada dan cekung kebawah pada selang , tidak ada titik belok c. Asimtot tegak x = 2, asimtot miring y = x, tidak ada asimtot datar

d. Grafik f(x) Tidak ada ++++++ ----- ----- ++++++ 2 4 x Tidak ada --------------------- +++++++++++ 2 x 6 2 4 -2 y=x