HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL Pertemuan 11 Matakuliah : METODE NUMERIK I Tahun : 2008 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL Pertemuan 11
METODE PICARD Perhatikan Persamaan differensial berikut: Bina Nusantara
Selesaikan persamaan ( Selesaikan persamaan (*) dengan substitusi y0 diperoleh nilai pendekatan y berikutnya 1. Diberikan syarat awal y = y0 untuk x = x0 2. Hitung 3. Hitung 4. Hitung dan seterusnya. Bina Nusantara
Contoh : Selesaikan Persamaan : y(0) = 1 2. y1 = 1 + =1+ = 1+ [x2+ x]ox = 1 + x + x2 3. y2 = 1 + ( 2x +y1)dx =1+ (2x +1 + x + x2)dx = 1 + x + 3x2/2 + x3/3 ( 2x +y1)dx ( 2x + 1 ) dx atau Bila diselesaikan secara analitik diperoleh Bina Nusantara
Dengan memasukkan syarat awal , y(0) = 1, didapat c = 3. Sehingga Cont, Dengan memasukkan syarat awal , y(0) = 1, didapat c = 3. Sehingga Cont, Bina Nusantara
METODE TAYLOR Pendekatan Deret Taylor sebagai penyelesaian persamaan diferensial untuk ∆X atau h tertentu adalah sebagai berikut: Bina Nusantara
Gunakan Deret Taylor order 2 untuk menyelesaikan PDB berikut Bina Nusantara
y’’(x0)= d/dx(dy/dx) = -y’(x0)+1=-0+1 =1 Hitung: y(x0)=1 y’(x0)=-y0+x0+1=-1+0+1=0 y’’(x0)= d/dx(dy/dx) = -y’(x0)+1=-0+1 =1 Selanjutnya substitusikan ke persamaan deret Taylor order 2, andaikan h=0,1 Untuk X1 =0,1, maka Dapat dilanjutkan untk nilai x berikutnya, hasilnya dapat dilihat pada tabel berikut Bina Nusantara
X Bina Nusantara
Metode Euler Perhatikan turunan pertama suatu fungsi Substitusikan ke persamaan berikut Bina Nusantara
Metode Euler secara umum dapat dinyatakan dengan atau Bina Nusantara
Selesaikan PDB berikut menggunakan metode Euler Bina Nusantara
Hasilnya adalah sebagai berikut Bina Nusantara
Soal Latihan Gunakan Metode Deret Taylor order 2 dan Metode Euler 2. y’=-y+x, pada 0≤x≤2, y(0)=1, h=0,5 dan h=0,2 Bina Nusantara