BAB 7 ALJABAR BOOLEAN

DEFINISI ALJABAR BOOLEAN Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner  dan  dan sebuah operator uner  dan misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Maka tupel (B, +, . , ‘ ) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c ∈ B berlaku aksioma-aksioma atau postulat berikut.

Identitas ( i ) a + 0 = a ( ii ) a  1 = a Komutatif ( i ) a + b = b + a ( ii ) a  b = b  a Distributif ( i ) a (b + c) = (a  b) + (a  c) ( ii ) a + (b  c) = (a + b) (a + c) Komplemen Untuk setiap a ∈ B terdapat elemen unik a  ∈ B sehingga (i) a + a = 1 (ii) a  a  = 0 Aksioma di atas disebut postulat Huntington.

ALJABAR BOOLEAN DUA-NILAI Aljabar Boolean dua-nilai didefinisikan pada sebuah himpunan B dengan dua buah elemen 0 dan 1 (sering dinamakan bit-singkatan dari binary digit), yaitu : B = {0,1}, operator biner + dan  ,serta operator uner 

Kaidah untuk operator biner  ab 1

Kaidah untuk operator biner + a + b 1

Kaidah operator uner  a a 1

EKSPRESI BOOLEAN Pada aljabar Boolean dua nilai B = {0, 1}. Kedua elemen B disebut elemen biner atau bit (singkatan binary bit). Peubah (variable) x disebut peubah Boolean atau peubah biner jika nilainya hanya dari B Ekspresi Boolean dibentuk dari elemen-elemen B dan/atau peubah-peubah yang dpt dikombinasikan satu sama lain dengan operator +,  , dan .

Definisi Ekspresi Boolean : Misalkan (B, +,  ,  ) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, + , . , ‘ ) adalah : Setiap elemen di dalam B, Setiap peubah, Jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2 , e1  e2 , e1 adalah ekspresi Boolean.

Prinsip Dualitas DEFINISI : Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dgn cara mengganti  dengan + + dengan  0 dengan 1 1 dengan 0 dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.

HUKUM-HUKUM ALJABAR BOOLEAN : Kita dpt memperoleh hukum-hukum aljabar Boolean dari hukum-hukum aljabar Himpunan(proposisi) dgn cara mempertukarkan :  dengan + atau ν dengan +  dengan  atau Λ dengan  U dengan 1 atau T dengan 1  dengan 0 atau F dengan 0

FUNGSI BOOLEAN DEFINISI Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai : f : Bn  B Yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

Contoh-contoh Fungsi Boolean f(x) = x f(x,y) = x’y + xy’ + y’ f(x,y) = x’y’ f(x,y) = (x + y)’ f(x,y,z) = xyz’

4 peubah w x y z 1 3 peubah 2 peubah x y z 1 x y 1

Contoh Diketahui fungsi Boolean f(x,y,z) = xyz’, nyatakan h dalam tabel kebenaran. x y z z’ f(x,y,z) = xy z’ 1

Penjumlahan dan Perkalian Dua Fungsi Misalkan f dan g adalah dua buah fungsi Boolean dengan n peubah, maka penjumlahan f + g didefinisikan sebagai : (f+g)(x1+ x2+… +xn)= f(x1+ x2+… +xn) + g(x1+ x2+… +xn) Sedangkan perkalian f.g didefinisikan sebagai : (f.g)(x1+ x2+… +xn)= f(x1+ x2+… +xn) g(x1+ x2+… +xn)

Komplemen Fungsi Bila sebuah fungsi dikomplemenkan, maka akan diperoleh fungsi komplemen. Fungsi komplemen berguna pada saat melakukan penyederhanaan fungsi Boolean. Fungsi komplemen dari suatu fungsi f dapat dicari dengan 2 cara, yaitu : Menggunakan Hukum De Morgan. Menggunakan prinsip Dualitas.

Contoh Misalkan f(x,y,z) = x(y’z’+yz), tentukan fungsi komplemennya! Cara pertama : menggunakan hukum De Morgan hukum De Morgan untuk dua peubah x1 dan x2 (x1+x2)’ = x1’. x2’ dan dualnya (x1. x2)’ = x1’+x2’ hukum De Morgan untuk tiga peubah x1, x2 dan x3 (i) (x1+x2+x3)’ = (x1+y)’ yang dalam hal ini y = x2+x3 = x1’. y’ = x1’(x2+x3)’ = x1’. x2’. x3’ Penyelesaian: f(x,y,z) = (x(y’z’+yz))’ = x’+(y’z’+yz)’ = x’+(y’z’)’. (yz)’ Jadi f ‘(x,y,z) = x’+(y+z)(y’+z’)

Cara kedua : menggunakan prinsip dualitas. Penyelesaian: Misalkan f(x,y,z) = x(y’z’+yz), maka dual dari ekspresi Booleannya adalah x+(y’+z’)(y+z) komplemen tiap literal dari dual diatas menjadi x’+(y+z)(y’+z’) Jadi f ‘(x,y,z) = x’+(y+z)(y’+z’)

BENTUK KANONIK Ada dua macam bentuk term (suku), yaitu minterm (hasil kali) dan maxterm (hasil jumlah) Suku-suku di dlm ekspresi Boolean dengan n peubah x1, x2,…, xn dikatakan minterm jika ia muncul dlm bentuk Dan dikatakan maxterm jika ia muncul dlm bentuk

Ekspresi Boolean yang dinyatakan sbg penjumlahan dari satu atau lebih minterm atau perkalian dari satu atau lebih maxterm disebut dalam Bentuk Kanonik. Ada dua macam bentuk kanonik : Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP), nama lain SOP adalah bentuk normal disjungtif (disjunctive normal form) Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS), nama lain POS adalah bentuk normal konjungtif (conjunctive normal form)

BENTUK BAKU Dua bentuk kanonik adalah bentuk dasar yang diperoleh dgn membaca fungsi dari tabel kebenaran. Cara lain utk mengekspresikan fungsi Boolean adalah bentuk baku (standard). Dua tipe bentuk baku adalah bentuk baku SOP dan bentuk baku POS

APLIKASI ALJABAR BOOLEAN : Aplikasi aljabar boolean pada jaringan pensaklaran (switching network). Aplikasi aljabar boolean pada rangkaian digital elektronik.

Aplikasi Aljabar Boolean Aljabar Boolean memiliki aplikasi yang luas dalam bidang keteknikan, antara lain di bidang jaringan pensaklaran dan rangkaian digital. Jaringan Pensaklaran (Switching Network) a x b Keluaran b ada jika dan hanya jika saklar x ditutup  x a x y b Keluaran b ada jika dan hanya jika x dan y keduanya ditutup  xy

a x b y c Keluaran c ada jika dan hanya jika x atau y ditutup  x + y

Sirkuit Elektronik Komputer dan peralatan elektronik lain dibuat dari sejumlah rangkaian atau sirkuit (circuit). Elemen dasar dari sirkuit adalah gerbang (gate). Sirkuit elektronik dimodelkan dengan sejumlah gerbang logika (logic gate). x y x+y y x xy x x’ Gerbang OR dua-masukan Gerbang NOT (inverter) Gerbang AND dua-masukan

Nyatakan fungsi f(x,y,z) = xy+x’y kedalam rangkaian logika. Cara pertama x xy y Nyatakan fungsi f(x,y,z) = xy+x’y kedalam rangkaian logika. xy+x’y x’ x y x’y Cara kedua x y Cara ketiga x y

misalnya gerbang NOR disusun oleh kombinasi gerbang OR dan gerbang NOT x x (x+y)’ (xy)’ y y Gerbang NOR Gerbang NAND x x (x  y)’ x  y y y Gerbang XOR Gerbang XNOR Keempat gerbang di atas merupakan kombinasi dari gerbang-gerbang dasar, misalnya gerbang NOR disusun oleh kombinasi gerbang OR dan gerbang NOT

PENYEDERHANAAN FUNGSI BOOLEAN Tiga metode yang dapat digunakan utk menyederhanakan fungsi Boolean : Secara aljabar, menggunakan hukum-hukum aljabar Boolean. Metode Peta Karnaugh. Metode Quine-McCluskey (metode tabulasi)

METODE PETA KARNAUGH Peta Karnaugh adalah sebuah diagram/peta yang terbentuk dari kotak-kotak (berbentuk bujursangkar) yang bersisian. Tiap kotak merepresentasikan sebuah minterm. Tiap kotak dikatakan bertetangga jika minterm-minterm yang merepresentasikannya berbeda hanya 1 buah literal. Peta Karnaugh dapat dibentuk dari fungsi Boolean yang dispesifikasikan dgn ekspresi Boolean maupun fungsi yang direpresentasikan dengan tabel kebenaran.

Tabel kebenaran minterm dan maxterm 2 peubah. y Minterm Maxterm Suku Lambang 1 x’y’ x’y xy’ xy m0 m1 m2 m3 x + y x + y’ x’ + y x ’+ y’ M0 M1 M2 M3

TABEL KEBENARAN MINTERM DAN MAXTERM 3 PEUBAH y z Minterm Maxterm Suku Lambang x’y’z’ m0 x+y+z M0 1 x’y’z m1 x+y+z’ M1 x’yz’ m2 x+y’+z M2 x’yz m3 x+y’+z’ M3 xy’z’ m4 x’+y+z M4 xy’z m5 x’+y+z’ M5 xyz’ m6 x’+y’+z M6 xyz m7 M7

TABEL KEBENARAN MINTERM DAN MAXTERM 4 PEUBAH w x y z Minterm Maxterm Suku Lambang 1

PETA KARNAUGH DGN DUA PEUBAH Misalkan dua peubah di dalam fungsi Boolean adalah x dan y. Baris pada peta Karnaugh utk peubah x dan kolom utk peubah y. Baris pertama diidentifikasi nilai 0 (menyatakan x’), sedangkan baris kedua dengan 1 (menyatakan x). Kolom pertama diidentifikasi nilai 0 (menyatakan y’), sedangkan kolom kedua dengan 1 (menyatakan y) x y 0 1 x’y’ x’y xy’ xy

PETA KARNAUGH DGN TIGA PEUBAH Untuk fungsi Boolean dengan 3 peubah (misalkan x, y, z), jumlah kotak di dlm peta Karnaugh meningkat menjadi 23 = 8. Terdiri dari 2 baris dan 4 kolom. Setiap kotak merepresentasikan minterm dari kombinasi baris dan kolom yang bersesuaian. yz x 00 01 11 10 x’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’ 1 xy’z’ xy’z xyz xyz'

PETA KARNAUGH DGN 4 PEUBAH Untuk fungsi Boolean dengan 4 peubah ,misalkan w, x, y, z. Jumlah kotak di dlm peta Karnaugh menjadi 24 = 16. Terdiri dari 4 baris dan 4 kolom. Baris pada peta Karnaugh utk peubah wx dan kolom utk peubah yz. yz wx 00 01 11 10 w’x’y’z’ w'x’y’z w'x’yz wx’y’z’ w’xy’z’ w’xy’z w’xyz w’xyz’ wxy'z’ wxy'z wxyz wxyz' wx'y’z’ wx'y’z wx'yz wx'yz’

LANGKAH-LANGKAH METODE QUINE-MC CLUSKEY Nyatakan tiap minterm dalam n peubah menjadi string bit yang panjangnya n, yang dalam hal ini peubah komplemen dinyatakan ‘0’, peubah yang bukan komplemen dengan ‘1’ Kelompokkan tiap minterm berdasarkan jumlah ‘1’ yang dimilikinya.

LANGKAH-LANGKAH METODE QUINE-MC CLUSKEY 3. Kombinasikan minterm dalam n peubah dengan kelompok lain yang jumlah ‘1’nya berbeda satu, sehingga diperoleh bentuk prima (prime-implicant) yang terdiri dari n – 1 peubah. Minterm yang dikombinasikan diberi tanda “” 4. Kombinasikan minterm dalam n-1 peubah dengan kelompok lain yang jumlah ‘1’nya berbeda satu, sehingga diperoleh bentuk prima yang terdiri dari n-2 peubah.

LANGKAH-LANGKAH METODE QUINE-MC CLUSKEY 5. Teruskan langkah 4 sampai diperoleh bentuk prima yang sesederhana mungkin. 6. Ambil semua bentuk prima yang tidak bertanda “”. Buatlah tabel baru yang memperlihatkan minterm dari ekspresi Boolean semula yang dicakup oleh bentuk prima tersebut (tandai dengan “X”. Setiap minterm harus dicakup oleh paling sedikit satu buah bentuk prima.

LANGKAH-LANGKAH METODE QUINE-MC CLUSKEY 7. Pilih bentuk prima yang memiliki jumlah literal paling sedikit, namun mencakup sebanyak mungkin minterm dari dari ekspresi Boolean semula. Hal ini dapat dilakukan dengan cara berikut :

LANGKAH-LANGKAH METODE QUINE-MC CLUSKEY Tandai kolom-kolom yang mempunyai satu buah tanda “X” dengan tanda “*”, lalu beri tanda “” di sebelah kiri bentuk prima yang berasosiasi dengan tanda “*” tersebut. Bentuk prima ini telah dipilih untuk fungsi Boolean sederhana. Untuk setiap bentuk prima yang telah ditandai dengan “”, beri tanda minterm yang dicakup oleh semua bentuk prima tsb dengan tanda “”

LANGKAH-LANGKAH METODE QUINE-MC CLUSKEY c. Periksa apakah masih ada minterm yang belum dicakup oleh bentuk prima terpilih. Jika ada, pilih dari bentuk prima yang tersisa yang mencakup sebanyak mungkin minterm tersebut. Beri tanda “” bentuk prima yang dipilih itu serta minterm yang dicakupnya. d. Ulangi langkah c sampai seluruh minterm sudah dicakup oleh semua bentuk prima.

SOAL 1 Sederhanakan fungsi Boolean f(w,x,y,z)=∑(1,4,6,7,8,9,10,11,15) dengan Quine-McCluskey

f(w,x,y,z)=∑(1,4,6,7,8,9,10,11,15)   minterm w x y z suku lambang w'x'y'z' m0 1 w'x'y'z m1 w'x'yz' m2 w'x'yz m3 w'xy'z' m4 w'xy'z m5 w'xyz' m6 w'xyz m7 wx'y'z' m8 wx'y'z m9 wx'yz' m10 wx'yz m11 wxy'z' m12 wxy'z m13 wxyz' m14 wxyz m15

f(w,x,y,z)=∑(1,4,6,7,8,9,10,11,15)   minterm w x y z suku lambang w'x'y'z' m0 1 w'x'y'z m1 w'x'yz' m2 w'x'yz m3 w'xy'z' m4 w'xy'z m5 w'xyz' m6 w'xyz m7 wx'y'z' m8 wx'y'z m9 wx'yz' m10 wx'yz m11 wxy'z' m12 wxy'z m13 wxyz' m14 wxyz m15 w x y z 1 4 8 6 9 10 7 11 15

w x y z term 1 √ 1,9 − 8,9,10,11 4 4,6 8,10,9,11 8 8,9 6 8, 10 9 6,7 10 9,11 7 10,11 11 7,15 15 11,15

f(w,x,y,z)=x'y'z+w'xz'+xyz+wx' 1 4 6 7 8 9 10 11 15 √ 1,9 * 4,6 6,7 7,15 11,15 8,9,10,11   1,9 term −001 x'y'z 4,6 01−0 w'xz' 7,15 −111 xyz 8,9,10,11 10−− wx' f(w,x,y,z)=x'y'z+w'xz'+xyz+wx'

SOAL 2 Sederhanakan fungsi Boolean f(w,x,y,z)=∑(0,1,2,8,10,11,14,15) dengan Quine-McCluskey

f(w,x,y,z)=∑(0,1,2,8,10,11,14,15) f(w,x,y,z)=∑(0,1,2,8,10,11,14,15)   minterm w x y z suku lambang w'x'y'z' m0 1 w'x'y'z m1 w'x'yz' m2 w'x'yz m3 w'xy'z' m4 w'xy'z m5 w'xyz' m6 w'xyz m7 wx'y'z' m8 wx'y'z m9 wx'yz' m10 wx'yz m11 wxy'z' m12 wxy'z m13 wxyz' m14 wxyz m15   minterm w x y z suku lambang w'x'y'z' m0 1 w'x'y'z m1 w'x'yz' m2 w'x'yz m3 w'xy'z' m4 w'xy'z m5 w'xyz' m6 w'xyz m7 wx'y'z' m8 wx'y'z m9 wx'yz' m10 wx'yz m11 wxy'z' m12 wxy'z m13 wxyz' m14 wxyz m15

w x y z 1 2 8 10 11 14 15 f(w,x,y,z)=∑(0,1,2,8,10,11,14,15) minterm w   minterm w x y z suku lambang w'x'y'z' m0 1 w'x'y'z m1 w'x'yz' m2 w'x'yz m3 w'xy'z' m4 w'xy'z m5 w'xyz' m6 w'xyz m7 wx'y'z' m8 wx'y'z m9 wx'yz' m10 wx'yz m11 wxy'z' m12 wxy'z m13 wxyz' m14 wxyz m15 w x y z 1 2 8 10 11 14 15

Term w x y z Term w x y z Term w x y z 0 0 0 0 0 √ 0,1 0 0 0 - 0,2,8,10 - 0 - 0 0,2 0 0 - 0 √ 0,8,2,10 - 0 - 0 1 0 0 0 1 √ 0,8 - 0 0 0 √ 2 0 0 1 0 √ 10,11,14,15 1 - 1 - 8 1 0 0 0 √ 2,10 - 0 1 0 √ 10,14,11,15 1 - 1 - 8,10 1 0 - 0 √ 10 1 0 1 0 √ 10,11 1 0 1 - √ 11 1 0 1 1 √ 10,14 1 - 1 0 √ 14 1 1 1 0 √ 11,15 1 - 1 1 √ 15 1 1 1 1 √ 14,15 1 1 1 - √

f(w, x, y, z’) = w’x’y’ + x’z’ + wy minterm Bentuk prima 0 1 2 8 10 11 14 15 √ 0,1 x x √ 0,2,8,10 x x x x √ 10,11,14,15 x x x x * * * * * * √ √ √ √ √ √ √ √ 0,1 yang bersesuaian dengan term 000− w’x’y’ 0,2,8,10 yang bersesuaian dengan term − 0 − 0 x’z’ 10,11,14,15 yang bersesuaian dengan term 1 − 1 − wy f(w, x, y, z’) = w’x’y’ + x’z’ + wy

SOAL LATIHAN Sederhanakan fungsi Boolean f(x,y,z) = (1,3,4,5,6) dengan Peta Karnaugh & Quine Mc-Cluskey 2. Sederhanakan fungsi Boolean f(x,y,z) = (4,6,7,15) dengan Quine Mc-Cluskey