IV. INTEGRAL IV. INTEGRAL 4.1. PENGERTIAN 4.2. ATURAN TRAPESIUM 4.3. ATURAN SIMPSON 4.4. ATURAN GAUSS QUADRATURE

PENGERTIAN y=f(x) x=b x=a Adalah luas daerah yang dibatasi oleh garis x=a, garis x=b, kurva y=f(x), dan sb-x

1. ATURAN TRAPESIUM Kurva pada interval x=a s/d x=b diganti dengan y=f(x) Kurva pada interval x=a s/d x=b diganti dengan sebuah garis lurus sehingga terbentuk sebuah trapesium yang mempunyai luas: x=a x=b Terdapat kesalahan positif (hasil yang diperoleh lebih besar dari nilai yang sebenarnya).

n=2 I2 I1 Interval x = a s/d x = b dibagi menjadi dua sub Interval sama lebarnya. n=2 y=f(x) x=b I2 x=a x1 I1 h h

Multipel Segmen: xn x0 h f(xi) f(xi-1) Ii Luas trapesium ke i:

tr tr

Contoh Diketahui: Hitung integral itu menggunakan pendekatan trapesium dengan a. n = 1 b. n = 2 d. n = 8 Diketahui: Contoh c. n = 4

Jawab f(x) = x2 - 4x + 5 a. Untuk n = 1 maka h = 4 dan didapat nilai-nilai fungsi berikut: i xi f(xi) 1,00 2,00 1 5,00 10,00

f(x) = x2 - 4x + 5 b. Untuk n = 2 maka h = 2 dan didapat nilai-nilai fungsi berikut: i xi f(xi) 1,00 2,00 1 3,00 2,00 2 5,00 10,00

f(x) = x2 - 4x + 5 c. Untuk n = 4 maka h = 1 dan didapat nilai-nilai fungsi berikut: i xi f(xi) 1,00 2,00 2,00 1,00 1 2 3,00 2,00 3 4,00 5,00 4 5,00 10,00

f(x) = x2 - 4x + 5 i xi f(xi) 2 f(xi) 1,00 2,00 1 1,50 1,25 2 3 2,50 4 d. Untuk n = 8 maka h = 0,5 dan didapat nilai-nilai fungsi berikut: i xi f(xi) 2 f(xi) 1,00 2,00 1 1,50 1,25 2 3 2,50 4 3,00 5 3,50 3,25 6 4,00 5,00 7 4,50 7,25 8 10,00 2,50 2,00 4,00 6,50 10,00 14,50 42,00

2. ATURAN SIMPSON Pendekatan derajat dua. Untuk mendapatkan fungsi derajat dua diperlukan tiga titik (dua sub interval) y=f(x) x0=a x2=b f2(x) Pers. kurva derajat dua: x1 h

n=2 y=f(x) f2(x) x0=a x2=b h x1

n=4 I2 x0=a x4=b x2 I1

Multipel Segmen: n genap xn x0

Contoh Diketahui: Hitung integral itu menggunakan pendekatan simpson dengan a. n = 2 b. n = 4 c. n = 8

Jawab a. Untuk n = 2 maka h = 1,0 dan didapat nilai-nilai fungsi berikut: i xi f(xi) 0,00 0,00 1 1,00 2,718282 2 2,00 109,1963

b. Untuk n = 4 maka h = 0,5 dan didapat nilai-nilai fungsi berikut: xi f(xi) 0,00 0,00 0,50 0,64201 1 2 1,00 2,71828 3 1,50 14,23160 4 2,00 109,19630

c. Untuk n = 8 maka h = 0,25 dan didapat nilai-nilai fungsi berikut: xi f(xi) 0,00 0,00 1 0,25 0,26612 2 0,50 0,64201 3 0,75 1,31629 4 1,00 2,71828 5 1,25 5,96342 6 1,50 14,23160 7 1,75 37,41665 8 2,00 109,19630

3. GAUSS-QUADRATURE Transformasi b x f(x) -1 1 u F(u) Transformasi Integran f(x) dengan batas-batas dari x = a s/d x = b ditransformasi ke integran F(u) dengan batas-batas dari u = -1 s/d u = 1.

TRANSFORMASI VARIABEL DARI x KE u: x = a0 + a1 u x = a u = -1 a = a0 - a1 (i) u = 1 b = a0 + a1 (ii) x = b Solusi simultan (i) dan (ii) adalah: Jadi hubungan variabel lama x dengan variabel baru u adalah

a b x f(x) -1 1 u F(u)

f(x) = x2 - 4x + 5 3 1 x f(x) Transformasi: u F(u) 1 -1

Pembobot c1 dan c2 adalah sedemikian hingga -1 1 u F(u) -1 1 u F(u) u1 u2 Pendekatan: Pembobot c1 dan c2 adalah sedemikian hingga terjadi keseimbangan antara kesalahan positif dengan kesalahan negatif.

Ke empat bilangan yang belum diketahui u1, u2, c1, dan c2 dicari sebagai berikut: F(u)=1 -1 1 (1) F(u) = u 1 -1 (2)

Solusi Simultan pers (1) s/d (4) adalah: -1 1 F(u)=u2 (3) F(u)=u3 -1 1 (4) Solusi Simultan pers (1) s/d (4) adalah: c1 = c2 = 1

Faktor-faktor pemberat c dan argumen fungsi u Rumus Umum Faktor-faktor pemberat c dan argumen fungsi u untuk sampai dengan 6 (enam) titik adalah sebagaimana diberikan dalam tabel 14.1: Numerical Methods For Engineer with Personal Computer Applications. Steven C Chapra

Contoh Diketahui: Hitung integral itu menggunakan pendekatan Gauss quadrature dengan a. 2 titik b. 3 titik c. 4 titik

Jawab: x =u + 1 a. 2 titik 0,50531 18,98747 + 19,49278

b. 3 titik Dari tabel: 0,13175 2,41625 22,98867 + 25,53667

c. 4 titik 0,04924 0,66541 5,26301 20,67753 + 26,65520