Untuk membuktikan hukum sinus perhatikan Gambar 2.29 berikut.    a b c A B C E D k h Gambar 3.29

 BDC  sin = h/a  h = a sin  (*)  ADC  sin = h/b  h = b sin  (**) Dari (*) dan (**)  a sin = b sin  (***) sin a sin b =  BDC  sin  = k/b  k = b sin (#) AEB  sin  = k/c  k = c sin  (##) Dari (#) dan (##)  b sin = c sin (###) sin c sin b =  Dari (***) dan (####) didapat sin c sin b = sin a (3.49) Persamaan 3.49 disebut Hukum Sinus

Untuk membuktikan hukum cosinus perhatikan Gambar 2.30 berikut. I. Hukum cosinus Untuk membuktikan hukum cosinus perhatikan Gambar 2.30 berikut.    a b c A B C E D k h Gambar 3.30

Perhatikan ADC  sin = h/b  h = b sin Perhatikan BDC (CD)2 = (BC)2 – (BD)2 = (BC)2 – (AB – AD)2 h2 = a2 – (c – b cos)2 b2 sin2  = a2 – c2 + 2bc cos – b2 cos2  b2 sin2  + b2 cos2  = a2 – c2 + 2bc cos b2 (sin2  + cos2 ) = a2 – c2 + 2bc cos b2 = a2 – c2 + 2bc cos Sehingga, a2 = b2 + c2 – 2bc cos atau cos  = (3.50) b2 + c2 – a2 2bc

Perhatikan BDC  sin = h/a  h = a sin Perhatikan ADC (CD)2 = (AC)2 – (AD)2 = (AC)2 – (AB – BD)2 h2 = b2 – (c – b cos  )2 a2 sin2  = b2 – c2 + 2ac cos  – a2 cos2  a2 sin2  + a2 cos2  = b2 – c2 + 2ac cos  a2 (sin2  + cos2 ) = b2 – c2 + 2ac cos  a2 = b2 – c2 + 2ac cos  Sehingga, b2 = a2 + c2 – 2ac cos  atau cos  = (3.51) a2 + c2 – b2 2ac

Perhatikan AEC  sin = k/b  k = b sin  Perhatikan AEB (AE)2 = (AB)2 – (BE)2 = (AB)2 – (BC – CE)2 k2 = c2 – (a – b cos )2 b2 sin2  = c2 – a2 + 2ab cos  – b2 cos2  b2 sin2  + b2 cos2  = c2 – a2 + 2ab cos  b2 (sin2  + cos2 ) = c2 – a2 + 2ab cos  b2 = c2 – a2 + 2ab cos  Sehingga, b2 = c2 – a2 + 2ab cos  atau cos  = (3.52) a2 + b2 – c2 2ab Persamaan 3.50 s.d. 3.52 disebut Hukum Cosinus

3.2.7.4 Fungsi trigonometri invers Kita telah mengetahui bahwa suatu fungsi akan mempunyai invers jika fungsi tersebut adalah fungsi satu ke satu, yaitu fungsi yang mempunyai nilai tunggal untuk setiap domain. Sebagai contoh f(x) = x3 + 1 adalah fungsi satu ke satu karena untuk setiap harga x yang tunggal akan menghasilkan f(x) yang tunggal pula. Sehingga dikatakan bahwa, f(x) = x3 + 1 mempunyai invers. Akan tetapi f(x) = x2 bukanlah fungsi satu ke satu karena untuk dua harga x yang berbeda akan menghasilkan harga f(x) yang tunggal. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x2 tidak mempunyai

Fungsi-fungsi trigonometri adalah fungsi-fungsi yang tidak termasuk dalam golongan fungsi satu ke satu. Sebagai contoh f(x) = sin x. Untuk harga x = 0, x =  dan x = 2 akan menghasilkan harga yang sama yaitu 0. Akan tetapi jika kita batasi domain fungsi trigonometri maka kita dapat membuat fungsi trigonometri menjadi fungsi satu ke satu. Jadi f(x) = sinx adalah fungsi satu ke satu jika - < x < . Begitu juga dengan fungsi-fungsi trigonometri lainnya.

Definisi-definisi : i) Fungsi sinus invers (ditulis sin-1 atau arcsin) didefinisikan sebagai, y = sin-1 x  x = sin y , untuk -1  x  1 dan -/2  y  /2. ii) Fungsi sinus invers (ditulis cos-1 atau arccos) didefinisikan sebagai , y = cos-1 x  x = cos y , untuk -1  x  1 dan 0  y  . iii) Fungsi tangent invers (ditulis tan-1 atau arctan) didefinisikan sebagai, y = tan-1 x  x = tan y , untuk setiap harga x dan -/2  y  /2 iv) Fungsi cotangent invers (ditulis cot-1 atau arccot) didefinisikan sebagai , y = cot-1 x  x = cot y , untuk setiap harga x dan 0  y  .

Definisi-definisi : v) Fungsi secant invers (ditulis sec-1 atau arcsec) didefinisikan sebagai , y = sec-1 x  x = sec y , untuk setiap harga x  1 dan 0  y  , kecuali y = /2 vi) Fungsi cosecant invers (ditulis cosec-1 atau arccosec) didefinisikan sebagai y = cosec-1 x  x = cosec y , untuk setiap harga x  1 dan 0  y  /2

y x O 1 2 –   Grafik sin-1 x –1

y x O 1 2  Grafik cos-1 x –1

Sifat-sifat fungsi trigonometri invers arcsin(sinx) = x untuk -/2  x  /2 sin(arcsinx) = x untuk 1  x  1 arccos(cosx) = x untuk 0  x   cos(arccosx) = x untuk -1  x  1 arctan(tanx) = x untuk -/2  x  /2 tan(arctanx) = x untuk semua harga x

Contoh 3.37 Tentukan harga y jika, a) y = sin-1 ( √ ) untuk  x  2 ) –  untuk  x   b) y = sin-1 (- √ 2 ) 1 –  untuk  x   Penyelesaian 1 2 2. a) y = sin-1 ( √  siny = √ )  4 Jadi y =  4 Jadi y = - b) y = sin-1 (- √) 1 2 –  siny = √ 2.

y x O 1 2 –   –1 4 - √ √ –

3.2.7.5 Fungsi hiperbolik A. Definisi Fungsi hiperbolik adalah fungsi yang mempunyai sifat yang serupa dengan fungsi trigonometri. Keserupaan antara kedua fungsi tersebut dapat dilihat dari definisi yang diberikan berikut ini. ex – e-x 2 sinh x = (3.53a) ex + e-x 2 cosh x = (3.53b) ex – e-x tanh x = (3.53c) ex +e-x ex – e-x coth x = (3.53d) ex +e-x

ex + e-x 2 sech x = (3.53e) ex – e-x 2 csch x = (3.53f) B. Identitas hiperbolik Dari persamaan 2.53a dan b didapat: sinh2 x = = ex – e-x 2 e2x –2+ e-2x 4 cosh2 x = = ex + e-x 2 e2x +2+ e-2x 4 cosh2 x – sinh2 x = e2x +2+ e-2x 4 e2x –2+ e-2x cosh2 x – sinh2 x = 1 (3.54)

Bagi persamaan 3.54 dengan cosh2x, didapat 1 – tanh2 x = sech2 x (3.55) Bagi persamaan 3.54 dengan sinh2x, didapat coth2 x – 1= cosech2 x (3.56) 3.2.7.6 Fungsi hiperbolik invers Pada definisi sebelumnya telah diketahui bahwa fungsi hiperbolik definisikan dalam bentuk fungsi eksponen. Hal ini berarti bahwa fungsi hiperbolik invers dapat ditulis dalam bentuk logaritma natural.

   Teorema-teorema sinh-1 x = ln(x + ) (3.57) x2 +1 Bukti y = sinh-1 x  x = sinh y = ey – e-y 2 2x – ey + e-y = 0  kalikan semua ruas dengan ey , didapat 2x ey – e2y + 1 = 0 atau e2y – 2x ey – 1 = 0 Dengan menggunakan pers. kuadrat  4x2 +4 2x  2 ey = = x  x2 +1 Berarti ey mempunyai dua nilai, yaitu: x +  x2 +1 x – atau

     Perlu diperhatikan bahwa, x2 +1  Nilai ey dan selalu positif untuk sembarang nilai x  x2 +1  Nilai x2 + 1 selalu lebih besar dari x untuk sembarang nilai x  Dari dua fakta diatas, kita dapat menyimpulkan bahwa x2 + 1  ey = x + (terbukti) cosh-1 x =  ln(x + ) , x  1 ; y  0 (3.58) x2 –1  cosh-1 x =  ln(x + ) , x  1 ; y  0 (3.58) x2 –1  1+ x 1 – x 1 2 ln tanh-1 x = , |x| < 1 (3.59)

  1+ x 1 coth-1 x = , |x| > 1 (3.60) ln 2 1 – x 1+ 1– x2 sech-1 x = ln , 0 > x  0 (3.61) 1– x2  1+ x cosech-1 x = ln , x > 0 (3.61) 1+ x2  1+ x

3.2.7.7 Fungsi genap dan ganjil Suatu fungsi dikatakan fungsi genap jika memenuhi : f(x) = f(–x) ( 3.63 ) Dikatakan ganjiljika memenuhi: f(–x) = –f(x) (3.64 ) Jika suatu fungsi tidak memenuhi persamaan 3.63 dan 3.64 maka persamaan tersebut bukan merupakan fungsi genap atau ganjil.

Contoh 3.38 Diketahui f(x) = x3 ii) f(x) = x2 + 3 iii) f(x) = x – 2 Tentukan apakah fungsi tsb. termasuk fungsi genap, ganjil atau tidak keduanya? Penyelesaian i) f(x) = x3  f(-x) =(–x)3 = –x3 = –f(x) Karena f(–x) = –f(x), maka x3 adalah fungsi ganjil. ii) f(x) = x2 + 3  f(–x) = (–x)2 + 3 = x2 + 3 = f(x) Karena f(–x) = f(x), maka x2 + 3 adalah fungsi genap. iii) f(x) = x – 2  f(–x) = –x – 2 = – (x+2) Karena f(x)  f(–x)  –f(x), maka x – 2 bukan fungsi genap atau ganjil.

Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga, f(x) = g(x) . h(x) (*) atau f(–x) = g(–x) . h(–x) (**) Jika g(x) dan h(x) adalah fungsi ganjil, maka berlaku g(–x)=–g(x) dan h(–x)=–h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat, f(–x) = g(x) . h(x) (***) Substitusi (*) ke (***) didapat ,: f(-x) = f(x) Kesimpulan Perkalian fungsi ganjil dengan fungsi ganjil menghasilkan fungsi genap

Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga, f(x) = g(x) . h(x) (*) atau f(–x) = g(–x) . h(–x) (**) Jika g(x) dan h(x) adalah fungsi genap, maka berlaku g(–x) = g(x) dan h(–x)= h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat, f(–x) = g(x) . h(x) (***) Substitusi (*) ke (***) didapat : f(–x) = f(x) Kesimpulan Perkalian fungsi genap dengan fungsi genap menghasilkan fungsi genap

Misal terdapat sebuah fungsi f(x) sedemikian rupa sehingga : f(x) = g(x) . h(x) ( * ) atau f(–x) = g(–x) . h(–x) ( ** ) Jika g(x) adalah fungsi genap dan h(x) adalah fungsi ganjil atau sebaliknya maka berlaku g(–x) = g(x) dan h(–x) = –h(x). Dengan melakukan substitusi ke (**) didapat, f(-x) = g(x) .{ –h(x)} = –{g(x) . h(x)}. Selanjutnya dengan mensubstitusi (*) ke (***) didapat, f(-x) = - f(x). Kesimpulan Perkalian fungsi genap dengan fungsi ganjil atau sebaliknya menghasilkan fungsi ganjil

3.2.9 Fungsi Periodik Suatu fungsi f(x) disebut fungsi eriodik jika fungsi tersebut terdefinisi untuk semua harga x dan terdapat bilangan positif sedemikian rupa sehingga , f( x + p ) = f ( x ) ( 3.64 ) dimana p adalah periode positif terkecil dari fungsi f(x). Fungsi-fungsi yang termasuk fungsi periodik diantaranya fungsi sinus dan cosinus. Sedangkan fungsi-fungsi x, x2, x3, ex dan ln x tidak termasuk fungsi periodik karena tidak memenuhi persamaan 3.64. Dengan mengacu pada persamaan 3.64 kita dapatkan bahwa : f(x+2p) = f{(x+p)+p} = f(x+p) = f(x) f(x+3p) = f{(x+2p)+p} = f(x+2p) = f(x)

Gambar 3.34 Grafik fungsi priodik Dengan mengacu pada persamaan 3.64 kita dapatkan bahwa : f(x+2p) = f{(x+p)+p} = f(x+p) = f(x) f(x+3p) = f{(x+2p)+p} = f(x+2p) = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f(x+np) = f(x) ; n = 1, 2, 3, . . . . . . . ( 3.65 ) p y x Gambar 3.34 Grafik fungsi priodik

Misal terdapat dua buah fungsi g(x) dan h(x). Jika fungsi f(x) adalah fungsi yang didefinisikan oleh : f(x) = ag(x) + bh(x), dimana a dan b adalah konstanta, maka berlaku : (x+p) = ag(x+p) + bh(x+p) ( 3.66 ) Jadi dapat disimpulkan ; jika g(x) + h(x) mempunyai periode p, makaf(x) juga mempunyai periode p. Contoh 3.39 Tentukan periode dari f(x) = sin x Penyelesaian sin (x+p) = sin x sin x cos p + cos x sin p = sin x  didapat p = 2