HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN POLINOMIAL Pertemuan 4 Matakuliah : K0342 / Metode Numerik I Tahun : 2006 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN POLINOMIAL Pertemuan 4

HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERTEMUAN-4 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN POLINOMIAL

So Bentuk umum persamaan polinomial: Dengan ak adalah konstanta bilangan riil dan an  0 Persamaan polinomial termasuk pada persamaan nirlanjar So Dapat diselesaikan baik dengan metoda terbuka maupun metoda tertutup tetapi kurang effisien untuk n yang besar. KENAPA?

1. Metoda Müller Menentukan akar-akar persamaan polinomial: Muller menggunakan pendekatan proyeksi parabola melalui tiga titik pada sumbu x sebagai pengganti proyeksi garis melalui dua titik pada sumbu x seperti pada metoda Secant Misalkan tiga titik tsb adalah: [ x0,f(x0)]; [ x1,f(x1)]; [ x2,f(x2)] Misalkan persamaan parabola melalui tiga titik tersebut adalah: Maka: ……………..(1)

Misalkan: Disubtitusikan ke persamaan (1), diperoleh: ……………….(2)

Akar persamaan polinomial diperoleh dengan iterasi berikut: …………………..(3) Contoh: ,tentukan akar persamaan Jawaban: Misalkan: x0 = 4.5; x1 = 5.5; x2 = 5 f(4.5) = 20.625; f(5.5) = 82.875; f(5) = 48 = c h0 = 1; h1 = -0.5 0 = 62.25; 1 = 69.75 a = 15 b = 62.25

Dengan rumus iterasi: Diperoleh:

Iterasi berikutnya adalah dengan menggunakan: X0 = 5.5; x1 = 5 dan x2 = 3.976487 Kemudian dihitung kembali, h0; h1; 0 dan 1 untuk memperoleh nilai a, b dan c Hasil iterasinya adalah sbb.: n xn n (%) 5 - 1 3.976487 25.74 2 4.00105 0.6139 3 4.00000 0.0262 4 0.0000119

2. Metoda Bairstow dibagi dengan: (x2 – rx – s ) yang menghasilkan: Dengan sisa pembagian:

Hubungan rekurensi (recurrence relationship) dengan pembagian Fungsi kuadrat diperoleh: bn = an bn-1 = an-1 + r b0 bi = ai + r bi+1 + s bi+2, untuk i = (n-2), (n-3),…, 2,1,0 Untuk membuat pembagian menuju nol, maka b0 dan b1 harus menuju nol. b0 dan b1 masing-masing fungsi dari r dan s

Turunan parsial dapat ditentukan dengan cara pembagian sintetik seperti menentukan koefisien b yaitu dengan menuliskan: Sehingga: dimana: Untuk i= n – 2 sampai dengan i= 1

Contoh: Tentukan akar persamaan polinomial orde 5 berikut: Gunakan perkiraan awal r0 = s0 = -1 kemudian iterasikan sampai Galat relatif kurang dari 1 % Jawaban: Dari pembagian sintetik menentukan koefisien b diperoleh: b5 = a5 = 1; b4 = -4.5; b3 = 6.25; b2 = 0.375; b1 = - 10.5 dan b0 = 11.375 Dari pembagian sintetik menentukan koefisien c diperoleh: c5 = b5 = 1; c4 = -5.5; c3 = 10.75; c2 = - 4.875; c1 = - 16.375

Maka: -16.375  r – 4.875  s = -11.375 - 4.875  r + 10.75  s = 10.5  r = 0.3558 dan  s = 1.1381 Iterasi pertama untuk r dan s adalah: r1 = r0 +  r = -1 + 0.3558 = - 0.6442 s1 = s0 +  s = -1 + 1.1381 = 0.1381 r( r1 ) = | (0.3558/-0.6442| 100 % = 55.23 % s( s1) = | (1.1381/ 0.1381| 100 % = 824.1 % Karena galat relatif masih tinggi, perhitungan dilanjutkan dengan iterasi ke-2

Dari pembagian sintetik menentukan koefisien b diperoleh: b5 = a5 = 1; b4 = -4.1442; b3 = 5.5578; b2 = - 2.0276; b1 = - 1.8013 dan b0 = 2.1304 Dari pembagian sintetik menentukan koefisien c diperoleh: c5 = b5 = 1; c4 = -4.7884; c3 = 8.7806; c2 = - 8.3454; c1 = 4.7874 Maka: 4.7874  r – 8.3454  s = -2.1304 – 8.3454  r + 8.7806  s = 1.8013  r = 0.1331 dan  s = 0.3316 Iterasi ke dua untuk r dan s adalah: r2 = r1 +  r = - 0.6442 + 0.1331 = - 0.5111 s1 = s0 +  s = 0.1381 + 0.3316 = 0.4697

r( r2 ) = | (0.1331/-0.5111| 100 % = 26.0 % s( s2) = | (0.3316/ 0.4697| 100 % = 70.6 % Karena galat relatif masih tinggi, perhitungan dilanjutkan dengan iterasi ke-3, dan seterusnya Setelah iterasi ke-4 diperoleh haga r dan s yaitu: Jadi r = r4 = -0.5 dan s = s4 = 0.5 r4 = - 0.5 dengan r( r4 ) = 0.063 % s4 = 0.5 dengan s( s4) = 0.040 % Persamaan kuadarat: (x2 – rx – s ) = (x2 + 0.5x – 0.5 ) adalah merupakan faktor dari f(x) Dua akar pertama dari f(x) diperoleh yaitu:

Hasil pembagian f(x) dengan (x2 + 0.5x – 0.5 ) yaitu: Akar-akar dari f3 (x) ini dicari dengan menggunakan r = - 0.5 dan s = 0.5 sebagai perkiraan awal Setelah lima iterasi diperoleh: r = 2 dan s = - 1.249 dan persamaan kuadrat (x2 – rx – s ) = (x2 - 2x + 1.249 ) adalah faktor dari f3(x) Akar ke tiga dan ke empat dari f(x) diperoleh yaitu:

Hasil pembagian f3(x) dengan (x2 - 2x + 1.249 ) yaitu: f1(x) = x – 2. Jadi akar ke lima dari f(x) yaitu x5 = 2 3. Metoda Birge-Vieta Birge-Vieta mengembangkan metoda Newton khusus untuk mencari akar-akar persamaan polinomial Rumus iterasi metoda Newton:

f(x) dan f’(x) dievaluasi dengan aturan Horner secara rekursif untuk memperoleh koefisien b seperti yang telah digunakan Bairstow sehingga diperoleh hubungan rekurensi koefisien sbb: bn = an bi = ai + xn bi+1 Dengan i = n – 1 sampai 0 dan f(xn) = b0 Bila dibagi dengan (x – xn) diperoleh fungsi g(x) orde (n – 1) dengan sisa pembagian b0, dan f(x) = (x – xn) g(x) + b0 dimana:

Turunan pertama dari f(x) = (x – xn) g(x) + b0 yaitu: f’(x) = (x – xn) g’(x) + g(x) f’(xn) = g(xn) yaitu suatu polinomial orde (n – 1) dan dapat dievaluasi dengan aturan Horner untuk memperoleh hubungan rekurensi koefisien c yaitu: cn = bn ci = bi + xn ci+1 Dengan i = n – 1 sampai 1 dan g(xn) = c1 Rumus iterasi Bierge-Vieta untuk persamaan polinomial:

i ai bi=ai+x0 bi+1 ci=bi+x0 ci+1 3 1 2 1.3 2.6 -1 0.69 4.07 -0.103 Contoh: Tentukan akar persamaan polinomial f(x) = x3 – x – 1 disekitar X0 = 1.3 Jawaban: Dari hubungan rekurensi pembagian sintetik untuk menentukan koefisien b dan c diperoleh: i ai bi=ai+x0 bi+1 ci=bi+x0 ci+1 3 1 2 1.3 2.6 -1 0.69 4.07 -0.103

i ai bi=ai+x1 bi+1 ci=bi+x1 ci+1 3 1 2 1.325 2.265 -1 0.755625 4.267 Iterasi pertama memberikan: Iterasi ke dua: i ai bi=ai+x1 bi+1 ci=bi+x1 ci+1 3 1 2 1.325 2.265 -1 0.755625 4.267 0.001203

i ai bi=ai+x2 bi+1 ci=bi+x2 ci+1 3 1 2 1.324718 2.64434 -1 0.154878 Iterasi ke dua memberikan: Iterasi ke tiga: i ai bi=ai+x2 bi+1 ci=bi+x2 ci+1 3 1 2 1.324718 2.64434 -1 0.154878 4.26434 0.000004

Iterasi ke tiga memberikan: r( x3 ) = | (-0.0000002/1.3247179)| 100 % = 0.00002 %

G O D L U C K