Hampiran numerik fungsi (Interpolasi dan Regressi) Pertemuan 6 Matakuliah : K0342 / Metode Numerik I Tahun : 2006 Hampiran numerik fungsi (Interpolasi dan Regressi) Pertemuan 6 TIK: Mahasiswa dapat membandingkan kelebihan/kekurangan berbagai metoda untuk menghampiri suatu fungsi

Hampiran numerik fungsi (Interpolasi dan Regressi) PERTEMUAN - 6 Hampiran numerik fungsi (Interpolasi dan Regressi) TIK: Mahasiswa dapat membandingkan kelebihan/kekurangan berbagai metoda untuk menghampiri suatu fungsi

http://www.chem.uoa.gr/applets/AppletPoly/Appl_Poly2.html

Curva Fitting Interpolasi Linier. Untuk mencari interpolasi antara dua titik xi dan xi+1 dibuat sebuah garis lurus di antara kedua titik tersebut seperti pada gambar berikut

y= f(x), dapat dicari dengan rumus yaitu dari persamaan garis Sebagai contoh , pandang data sederhana berikut ini Dari data ini dapat dikembangkan fungsi :

Bentuk 3 polinomial f(x) a0, a1 dan a2 tidak diketahui

Dengan menggunakan matrik didapat Dapat juga dilakakukan dengan eliminasi Gauss sehingga diperoleh

Lagrange Interpolation Interpolasi ini digunakan untuk mencari dependen variable y = f(x) pada intermediate value diantara x yang diberikan Dibentuk fungsi dimana merupakan polinomial Lagrange

Bentuk umum dari Polinomial Lagrange adalah

Untuk data di atas diperoleh dengan polinomial lagrange

Contoh : Nyatakan y sebagai fungsi dari x dari data-data berikut ini

Suku dengan faktor x – xi sama dengan nol untuk x = xi Polynomial Newton p(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + a3(x – x0)(x – x1)(x – x2) + … + an-1(x – x0)(x – x1)(x – x2) … (x – xn-2) Suku dengan faktor x – xi sama dengan nol untuk x = xi Use this and rule that p(xi) = yi to find ai a0 = y0, a1 = (y1 – y0) / (x1 – x0) y2 = a0 + a1(x2 – x0) + a2(x2 – x0)(x2 – x1) Solve for a2 using results for a0 and a1

Polynomial Newton y2 = a0 + a1(x2 – x0) + a2(x2 – x0)(x2 – x1) Data determine coefficients Develop scheme known as divided difference table to compute ak

Tabel Divided Difference x0 y0 a0 a1 x1 y1 a2 x2 y2  a3 x3 y3

Contoh Divided Difference a0 a1 10 a2 20 40  a3 30 100

Contoh Divided Difference Divided difference table gives a0 = 0, a1 = 1, a2 = .1, and a3 = 1/600 Polynomial p(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + a3(x – x0)(x – x1)(x – x2) = 0 + 1(x – 0) + 0.1(x – 0)(x – 10) + (1/600)(x – 0)(x – 10)(x – 20) = x + 0.1x(x – 10) + (1/600)x(x – 10)(x – 20) Check p(30) = 30 + .1(30)(20) + (1/600) (30)(20)(10) = 30 + 60 + 10 = 100 (correct)

Constant Step Size Divided differences work for equal or unequal step size in x If Dx = h is a constant we have simpler results Fk = Dyk/h = (yk+1 – yk)/h Sk = D2yk/h2 = (yk+2 – 2yk-1 + yk)/h2 Tk = D3yk/h3 = (yk+3 – 3yk+2 + 3yk+1 – yk)/h3 Dnyk is called the nth forward difference Can also define backwards and central differences

Double click dibawah ini untuk mencari polinomial Newton (NDD)

Terima Kasih