BAB V DIFFERENSIASI.

Presentasi berjudul: "BAB V DIFFERENSIASI."— Transcript presentasi:

1 BAB V DIFFERENSIASI

2 Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik
tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 5.1 A l Gambar 5.1

3 Akan tetapi jika terdapat dua buah titik pada suatu kurva
maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Perhatikan Gambar 5.2 A B l Gambar 5.2

4 Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis
singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yang terletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih suatu titik B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l1 yang mempunyai kemiringan ,

5 l1 l Gambar 5.3 y A B Kemiringan garis l1 = m1 Kemiringan garis l = m
x x x1 h Gambar 5.3

6 Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan
titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1 . Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam menjadi, (5.2) Persaman (5.2) adalah kemiringan garis l1 jika x mendekati x1. Jika kita perhatikan Gambar 5.3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1 jika x mendekati x1 adalah mendekati kemiringan garis l . Dalam bentuk limit dapat ditulis menjadi (5.3)

7 Persamaan 5.3 s.d. 5.5 adalah kemiringan garis l
pada titik (x, f(x)) Contoh 5.1 Diketahui f(x) = 3x2 + 5 Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a2) Penyelesaian

8 Jadi m = 6x (*) Persamaan garis singgung : y = mx + n (**) Karena garis singgung melalui titik (a,a2 ) , maka persamaan (*) menjadi m = 6a persamaan (**) menjadi a2 = 6a2 + n. Sehingga n = – 5a2 Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a2

9 5.2 Turunan Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 5.4 berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan f(x) menjadi turunan f(x) atau f’(x). Gambar 5.4 f(x) f’(x) Differensiasi Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan 5.3 dan Gambar 5.3 maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk,

10 (5.6) Jika persamaan 5.6 dapat dipenuhi berarti f(x) dapat didifferensiasikan (differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x. Contoh 4.2 Jika f(x) = 2x2 + 5x – 7, tentukan f’(x), f’(c) dan f’(3) Penyelesaian f(x) = 2x2 + 5x – 7 f(x+x) = 2(x+x)2 + 5(x+x) – 7 = 2x2 + 4xx +2(x)2 + 5x + 5x – 7 f(x+x) – f(x) = 4xx + 2(x)2 + 5x

11

12 5.3 Notasi turunan Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang f’ yaitu lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Perancis Louis Lagrange (1646 – 1716). Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai dy/dx, dy/dz, … dimana x dan z adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut, Jika terdapat suatu persamaan y = f(x), maka dy/dx = f’(x).

13 5.4 Differensiabilitas dan kontinuitas
Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x. Bukti Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiable jika memenuhi persamaan 5.6 yaitu,

14 Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x,
maka tidak secara otomatis f differensiable pada x. 5.5 Teorema-teorema Turunan bilangan konstan Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai, (5.7)

15 Bukti f(x) = c ; f(x+x) = c Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarang bilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai, (5.8) Bukti Dengan mengunakan teorema binomial didapat,

16 Contoh 5.3 Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x7 Penyelesaian,

17 Aturan penjumlahan Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, (5.9) h(x) = f(x) + g(x) h(x+x) = f(x+x) + g(x+x) =

18 Contoh 5.4

19 Aturan perkalian Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, (5.10) Bukti h’(x) = f(x).g’(x) + g(x).f’(x) (terbukti)

20 Contoh 5.5 Penyelesaian

21 Aturan pembagian Jika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, (5.11) Bukti

22 Contoh 5.6 Penyelesaian f(x) = 2x4 – 3x2 f’(x) = 8x3 – 6x g(x) = 4x3 g’(x) = 12x2

23 5.5.6 Turunan fungsi komposisi
Bukti Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f(g(x)). Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(x). (5.12)

24 u = g(x) u= g(x+x) – g(x)  g(x+x) = g(x) + u = u + u Jika u  0 maka x  0 y = f(g(x)) y = f(g(x+x)) – f(g(x))

25 Persamaan 5.12 disebut aturan rantai
Contoh 5.7 Tentukan jika y = (4x3 + 5x2 – x + 4)3 Penyelesaian Misal u = 4x3 + 5x2 – x + 4 ; y = u3

26 = 3(12x2 + 10x – 1)(4x3 + 5x2 – x + 4)2 5.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri (5.13) Bukti

27 = (sinx)(0) + (cosx)(1) = cos x (terbukti)

28 (5.14) Bukti

29 (5.15) Bukti = = (cosx)(0) - (sinx)(1) = -sinx (terbukti)

30 = (cosx)(0) – (sinx)(1) = – sinx (terbukti)
(5.16) Bukti

31 Contoh 5.8 Penyelesaian Misa u = –2x ; y = sin u Contoh 5.9 Penyelesaian

32 Contoh 5.10 Penyelesaian Misa u = sin2x v=cos3x

33 Contoh 5.11 Penyelesaian Misal u = sin 3x v = cos 4x

34 (5.17) Bukti u = sin x v = cos x (5.18)

35 Bukti Contoh 5.12 Penyelesaian Misal u = 3x y = 5 tan u

36 (5.19) Bukti u = cos x v = sin x (5.20) Bukti

37 Contoh 5.13 Penyelesaian

38 (5.21) Bukti (5.22) Bukti

39 (5.23) Bukti

40 (5.24) Bukti

41 Contoh 5.15 Penyelesaian

42 5.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers
(5.25) Bukti x y Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! sin y = x

43 (5.26) Bukti Contoh 5.16 Penyelesaian

44 Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
(5.27) Bukti Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! 1 y x cos y = x

45 (5.28) Bukti Contoh 5.17 Penyelesaian

46 (5.29)

47 Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini!
Bukti Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! tan y = x 1 y x

48 (5.30) Bukti Contoh 5.18 Penyelesaian

49 (5.31) Bukti

50 Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! cot y = x
1 (5.32) Bukti

51 Contoh 5.19 Penyelesaian (5.33) Bukti

52 Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! sec y = x
1 y x

53 (5.34) Bukti Contoh 5.20 Penyelesaian

54 (5.35) Bukti

55 Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! csc y = x
1 y x

56 (5.36) Bukti Contoh 5.21 Penyelesaian

57 5.8 Turunan fungsi eksponen
(5.37) Bukti

58 Dengan menggunakan teorema binomial didapat,
(5.38) (5.39)

59 Jika y = f(x) = ex Sehingga

60 Bukti (5.40) Contoh 5.22 Penyelesaian

61 5.9 Turunan fungsi logaritma
Misal u = a – bx 5.9 Turunan fungsi logaritma (5.41)

62 (5.42) Bukti

63 Contoh 5.23 Penyelesaian

64 (5.43) Bukti (5.44) Bukti

65 Contoh 5.24 Penyelesaian Diketahui a = 7

66

67