Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

BAB VII INTEGRAL TAK TENTU. 7.1 Anti turunan dan integral tak tentu Pada bab terdahulu kita telah membahas turunan dari suatu fungsi, yaitu jika dikatahui.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "BAB VII INTEGRAL TAK TENTU. 7.1 Anti turunan dan integral tak tentu Pada bab terdahulu kita telah membahas turunan dari suatu fungsi, yaitu jika dikatahui."— Transcript presentasi:

1 BAB VII INTEGRAL TAK TENTU

2 7.1 Anti turunan dan integral tak tentu Pada bab terdahulu kita telah membahas turunan dari suatu fungsi, yaitu jika dikatahui f(x) maka proses differensiasi dari f(x) akan menghasilkan turunan f(x) dan ditulis dengan f’(x). Pada bab ini kita akan membahas kebalikan dari proses differensiasi atau lebih dikenal dengan proses integrasi. Jika pada proses differensiasi menghasilkan turunan maka pada proses integrasi akan menghasilkan anti turunan. Misal diketahui fungsi f maka proses integrasi adalah proses menentukan F(x) sedemikian rupa sehingga F’(x) = f(x). F(x) dinamakan anti turunan dari f(x).

3 Sebagai contoh F(x) = x 3 adalah anti turunan f(x) = 3x 2, karena, Akan tetapi masih terdapat banyak anti turunan dari x 3, seperti x 3 + 1, x 3 + , x 3 – e dll. Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap (x3 + bilangan konstan) merupakan anti turunan ( disebut juga primitif ) dari 3x2. Jika bilangan konstan kita lambangkan dengan C maka anti turunan dari 3x 2 adalah x 3 + C. Proses untuk menentukan anti turunan dari f(x) disebut proses integrasi dan ditulis dalam bentuk,

4 Simbol “∫” disebut tanda integral dan persamaan 7.1 dibaca “integral tak tentu dari f(x) terhadap x adalah F(x) ditambah bilangan konstan”. f(x) adalah integran, F(x) + C adalah anti turunan dari f(x), C adalah konstanta integrasi, sedangkan faktor dx menunjukkan bahwa peubah integrasi adalah x. 7.2 Rumus-rumus integral tak tentu

5 V. Rumus-rumus teknis Berikut diberikan rumus-rumus teknik integral yang bersifat standar dan dapat dipakai langsung untuk menentukan anti turunan (primitif) dari suatu fungsi.

6

7

8 Selesaikan Contoh 7.1 Penyelesaian

9 Contoh 7.2 Penyelesaian Contoh 7.3

10 7.3 Integrasi dengan substitusi Rumus-rumus integral tak tentu yang telah dijelaskan pada pasal 7.2 hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral- integral dari fungsi yang sederhana saja. Pada pasal ini kita akan menggunakan metode untuk mngubah variabel dari integran agar menjadi bentuk standar. Sehingga tidak dapat digunakan untuk mengevaluasi integral seperti ∫ dx atau ∫sin3x dx. Dari rumus terdahulu telah diketahui bahwa, Jika h(x) adalah fungsi komposisi F o g maka h(x) = F(g(x)). Sehingga,

11 Jika u = g(x)  du = g’(x)dx (**) Substitusi (*) ke (**) didapat, (*)

12 Contoh 7.4 Penyelesaian Misal u = 1–2x  du = –2 dx Contoh 7.5 Penyelesaian

13 Misal u = x2 – 1  du = 2x dx Dalam mengevaluasi integral sering kali kita menjumpai integran dalam bentuk perkalian fungsi-fungsi. Salah satu teknik untuk mengevalusai integral tersebut adalah dengan menggunakan teknik integrasi bagian demi bagian atau sering juga digunakan istilah integral parsial. Pada saat kita mempelajari turunan, kita telah mengetahui bahwa, 7.4 Integrasi bagian demi bagian (Integration by parts)

14 Misal u = g(x) dan v = h(x) Persamaan 7.3 digunakan untuk menyelesaikan integral bagian demi bagian atau integral parsial. Dalam membuat permisalan u, biasanya kita tentukan prioritas- prioritas agar penyelesaian menjadi lebih sederhana. Prioritas tersebut adalah sebagai berikut. i) ln x ii) xn  n = bilangan bulat positif iii) ekx

15 Contoh 7.6 Penyelesaian Misal u = x  du = dx v = e x  dv = e x Contoh 7.7 Penyelesaian Misal u = ln2xdv= (x-1)dx

16 Contoh 7.8 Penyelesaian Misal u = x2dv = sinx dx du = 2x dxv = –cosx

17 Misal u = 2xdv = cosx dx du = 2 dx v= sin x = 2x sinx + 2 cosx +C (**)

18 Substitusi (**) ke (*) didapat Contoh 7.9 Penyelesaian : Misal u = exdv = cosx dx du = ex dx v = sinx

19 Misal u = ex dv = sinx dx du = ex dx v = –cos x Substitusi (**) ke (*) didapat,

20 Fungsi pecah adalah fungsi rasional yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x), dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomial dan Q(x)  Integrasi fungsi pecah Dalam bentuk rumus fungsi pecah dapat ditulis dalam bentuk,

21 Jika ∫f(x)dx tidak dapat diselesaikan dengan metode substitusi, maka gunakan metode pecahan parsial. Langkah-langkah yang dapat digunakan adalah sebagai berikut: 1. Periksa derajad P(x) dan Q(x). Jika derajad P(x) lebih besar dari derajad Q(x) maka cari hasil bagi P(x)/Q(x). Jika derajad P(x) lebih kecil dari Q(x) maka langsung ke nomor Faktorkan Q(x) a. Untuk faktor ax n pecahan parsialnya ditulis dalam bentuk, b. Untuk faktor (ax+b) n pecahan parsialnya adalah,

22 c. Untuk faktor (ax2+bx+c)n pecahan parsialnya adalah, Koeffisien-koeffisien A 1, A 2, A 3, …, A n dapat diganti dengan A, B, C dst. Contoh 7.10 Karena derajad P(x) lebih kecil dari derajad Q(x) maka faktorkan Q(x). Penyelesaian

23 Untuk menentukan nilai A, B, dan C, bandingkan pembilang pada (**) dengan pembilang pada soal, sehingga didapat, A+B+C = 1 –A+2B-3C = 5 –6A = –12 Tiga persamaan tersebut menghasilkan A = 2 ; B = 4/5 ; C = -9/5

24 Dengan memasukkan harga A, B dan C ke (*) maka didapat, Contoh 7.11 Selesaikan Penyelesaian

25 Karena derajad P(x) lebih tinggi dari derajad Q(x) maka lakukan pembagian. x 3 + 6x 2 + 5x – 12 x 4 + 7x x 2 – 10x – 7 x + 1 x 4 + 6x 3 + 5x 2 – 12x x 3 + 7x 2 + 2x – 7 x 3 + 6x 2 + 5x – 12 x 2 – 3x + 5

26 7.6.1 Integrasi fungsi sinu, cosu, tanu, cotu, secu dan cscu 7.6. Integrasi fungsi trigonometri Bukti

27

28

29

30

31 Langkah untuk menyelesaikan ∫sinmu du dan∫cosmu du adalah sebagai berikut Integrasi fungsi sin m u dan cos m u

32 1.Jika m adalah bilangan bulat positif ganjil yang lebih besar dari satu, maka sin m u ditulis dalam bentuk sin m-1 u sin u Sedangkan cos m u ditulis cos m-1 u cos u. Selanjutnya gunakan identitas trigonometri, sin 2 u + cos 2 u = 1 dan metode substitusi 2. Jika m adalah bilangan bulat positif genap yang lebih besar dari dua, maka sin m u ditulis dalam bentuk (sin 2 u) m/2. Sedangkan cos m u ditulis (cos 2 u) m/2. Selanjutnya gunakan identitas trigonometri, Contoh 7.12

33 Penyelesaian Misal u = cosx  –du = sinx dx Contoh 7.12

34 Contoh 7.13 Penyelesaian Misal u = sinx  du = cosx dx

35 Contoh 7.14 Penyelesaian

36 Contoh 7.15 Penyelesaian

37 7.6.3 Integrasi fungsi trigonometri sin m u cos n u Untuk menyelesaikan integral yang mengandung integran sin m u cos n u berikut diberikan langkah- langkah penyelesaian. 1. Jika m adalah bilangan bulat ganjil  3, maka c. Lakukan substitusi u = cosx 2. Jika n adalah bilangan bulat ganjil  3, maka c. Lakukan substitusi u = sinx

38 3. Jika m dan n adalah bilangan genap  2, maka b. Gunakan identitas trigonometri, Contoh 7.16 Penyelesaian Misal u = cosx  –du = sinx dx

39 Contoh 7.17 Penyelesaian

40

41 7.6.4 Integrasi fungsi trigonometri tan m u sec n u Untuk menyelesaikan integral yang mengandung integran tan m u sec n u berikut diberikan langkah-langkah penyelesaian 1. Jika m adalah biilangan bulat ganjil  3, maka c) Lakukan substitusi u = sec x

42 2. Jika n adalah bilangan bulat genap  2, maka : a) tan m x sec n x ditulis dalam bentuk tan m x sec n-2 x sec 2 x d)Jika m adalah bilangan genap dan n adalah bilangan ganjil, berkemungkinan metode yang digunakan adalah integral parsial b) Gunakan identitas trigonometri sec 2 x = tan 2 x + 1 c) Lakukan substitusi u = tanx Contoh 7.18 Penyelesaian

43 Misal u = sec x  du = secx tanx dx Jadi 7.7. Integrasi fungsi trigonometri invers

44 Bukti dw = du  w = u ∫v dw=vw – ∫w dv Gunakan rumus integral parsial Contoh 7.19 Penyelesaian

45 Bukti dw = du  w = u Gunakan rumus integral parsial ∫v dw=vw – ∫w dv

46 Bukti

47

48

49 Langkah awal untuk menyelesaikan integral fungsi irrasional adalah dengan mengu8bah integran yang berbentuk irrasional menjadi rasional. Biasanya untuk mencapai hal tersebut kita lakukan substitusi trigonometri. 7.8 Integrasi dengan substitusi trigonometri Integrasi fungsi irrasional Pada pasal ini akan dibahas beberapa fungsi irrasional.

50 a x u Bukti Dari gambar disamping didapat a sinu = x  a cos u du = dx

51 Bukti Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx x a u (7.17)

52 Bukti Dari gambar disamping didapat a tanu = x  a sec2u du = dx (7.18) x a u

53 Bukti Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx x a u (7.19)

54 Bukti a x u Dari gambar disamping didapat a sinu = x  a cos u du = dx (7.20)

55 x a u (7.21) Dari gambar diatas didapat Misal v = sinu  dv = cosu du Bukti

56

57 x a u Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx

58 7.8.2 Integrasi fungsi yang mempunyai bentuk 1/(x2+a2) x a u Bukti Dari gambar diatas didapat, a tanu = x  a sec -1 u du = dx

59 Dari pembahasan yang telah diuraiankan diatas dapat disimpulkan bahwa: a) Jika integran mengandung maka substitusi x = a sinu b) Jika integran mengandung maka substitusi x = a tanu c) Jika integran mengandung maka substitusi x = a secu d) Jika integran mengandung maka substitusi x = a tanu a 2 + x 2

60 Jika ax 2 +bx+c merupakan faktor terkecil dan d(ax 2 +bx+c)  (Ax+B)dx, maka Bukti

61 Misal, du = dx

62 Substitusi nilai u, m dan n, didapat,

63 Contoh 7.20 Penyelesaian A = 1 ; B = -2 ; a = 1 ; b = 2 ; c = 5

64 Jika integran hanya memuat bentuk irrasional dari satu jenis fungsi, misalnya f(x), maka kita dapat menggunakan substitusi u =, dimana n adalah kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-pangkat akar Integrasi fungsi irrasional yang sejenis Contoh 7.21 Penyelesaian

65 7.8.5 Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka kita dapat melakukan substitusi sebagai berikut.

66 Contoh 7.22 Penyelesaian Misal u = x – 3 → du = dx

67 7.8.6 Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka lakukan substitusi Contoh 7.23 Penyelesaian

68

69

70


Download ppt "BAB VII INTEGRAL TAK TENTU. 7.1 Anti turunan dan integral tak tentu Pada bab terdahulu kita telah membahas turunan dari suatu fungsi, yaitu jika dikatahui."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google