Pertemuan 23 Diferensial Parsial.

Presentasi berjudul: "Pertemuan 23 Diferensial Parsial."— Transcript presentasi:

1 Pertemuan 23 Diferensial Parsial

2 Tujuan Mahasiswa dapat menggunakan Diferensial parsial untuk mencari niali ekstrim suatu fungsi

3 Nilai Ekstrim Nilai ekstrim dari sebuah fungsi yg mengandung lebih dari satu variabel bebas dpt dicari dgn pengujian sampai derivatif kedua-nya. Untuk y =f(x,z), mk y mencapai ekstrim jika y/x = 0 dan y/z = 0, sedang utk menentukan maks & min adalah : maks , bila ²y/x² < 0 & ²y/z² < 0 min, bila ²y/x² > 0 & ²y/z² > 0

4 Nilai Ekstrim(2) 2y/x2 = - 2 <0 dan 2y/z2 = - 2 <0
Contoh : Selidiki jenis ekstrim dari fungsi y = -x² + 12x - z² + 10z – 45 ? y/x=-2x ; y/z =-2z +10 -2x+12=0 x=6 -2z+10=0 z=5 y = -(6)²+12(6)-(5)²+10(5)-45 = 16 2y/x2 = - 2 <0 dan 2y/z2 = - 2 <0 Maka ttk ekstrim maksimum, ymaks = 16

5 Optimisasi Bersyarat Suatu optimisasi dimana fungsi yang hendak dioptimumkan menghadapi suatu kendala (constraint). Perhitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yg menghadapi kendala berupa sebuah fungsi lain, dapat diselesaikan dengan metoda : pengganda lagrange dan kuhn-tucker..

6 Pengganda Lagrange Mis fungsi yg dioptimumkan z=f(x,y) dan syarat yg dipenuhi u=g(x,y) , maka fungsi Lagrangenya : F(x,y, ) = f(x,y) +  g(x,y), nilai ekstrim dpt dicari dgn memformulasikan masing2 derivatif parsial pertamanya sama dgn nol. Fx(x,y, ) = fx + gx = 0 Fy(x,y, ) = fy +  gy = 0; =pengganda lagrange = var. tak tentu.

7 Contoh: Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z=2x+2y dgn syarat x² + y² = 8, & jenisnya?
F.Lagrange F = 2x + 2y + (x² + y² - 8) = 2x + 2y + x² + y² - 8  Agar F ekstrim, F’ = 0, Fx =2 + 2 x = 0   = -1/x ………… a) Fy =2 + 2 y = 0   = -1/y ………… b) x² + y² = 8  y² + y² = 8  y² =4 y = -2 & 2 Dan x = -2 & 2 Shg z =2x+2y = -8 & 8.

8 Penyelidikan nilai ekstrim:
Utk x=2 & y=2, =-1/2 Fxx = 2 = -1 <0 Fyy =2 = -1 <0 Maka ekstrim maksimum, dgn zmaks = 8 . Utk x=-2 & y=-2, =1/2 Fxx = 2 = 1>0 Fyy =2 = 1 >0 Maka ekstrim minimum, dgn zmin = -8 .

9 Metoda Kuhn-Tucker Adapun prosedurnya adalah : Z/x - (g/x) = 0
Z/y - (g/x) = 0 Uji :>0 berarti nilai x dan y yang mengoptimumkan persamaan berlaku juga untuk pertidaksamaan (binding).  < 0, berarti fungsi kendala tidak mengikat ( non binding)  = 0, maka lakukan pengujian terhadap nilai x dan y yang mengoptimumkan (tergantung tujuan apakah minimalisasi atau maximalisasi)