Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

OPTIMASI MULTIVARIABEL DENGAN KENDALA KESAMAAN Fungsi kontinu  Min f(x) Kendala g j = 0, di mana j = 1, 2,... m Vektor R n, syarat m  n...

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "OPTIMASI MULTIVARIABEL DENGAN KENDALA KESAMAAN Fungsi kontinu  Min f(x) Kendala g j = 0, di mana j = 1, 2,... m Vektor R n, syarat m  n..."— Transcript presentasi:

1 OPTIMASI MULTIVARIABEL DENGAN KENDALA KESAMAAN Fungsi kontinu  Min f(x) Kendala g j = 0, di mana j = 1, 2,... m Vektor R n, syarat m  n...

2 Penyelesaian dengan 3 cara : 1. Metode Substitusi Langsung a. nyatakan n variabel dengan (n-m) variabel lain b. substitusikan m kendala ke fungsi tujuan, fungsi tujuan mengandung n-m variabel c. selesaikan optimasi n-m variabel tanpa kendala Contohnya

3 Contoh: Minimumkan f(x 1, x 2, x 3 )= ½(x x x 3 2 ) Kendalag 1 = x 1 - x 2 = 0 g 2 = x 1 +x 2 +x 3 -1 Jawab: g 1 = 0  x 1 = x 2 g 2 = 0  x 1 +x 1 +x 3 -1=0  x 3 =1-2x 1 f(x 1, x 2, x 3 )= ½(x x (1-2x 1 ) 2 )=½(2x 1 2 +(1-2x 1 ) 2 )  f(x 1 ) = ½(4x 1 +2(1-2x 1 )(-2)) = 2x 1 -2(1-2x 1 ) = 0  x 1 -(1-2x 1 )= 0  x x 1 = 0  3x 1 = 1 x 1 = 1/3, x 2 = 1/3 x 3 = 1-2/3 = 1/3 = 2+4=6>0, f(1/3,1/3,1/3)= 1/6  Optimum Minimum

4 2. Metode Constrained Variation a. Untuk n = 2, m = 1 agar f(x 1 *, x 2 * ) merupakan optimum x 1 *, x 2 * harus memenuhi b. Syarat perlu agar f(x * ) merupakan optimum Contohnya...

5 Minimumkan f = 9-8x 1 - 6x 2 - 4x 3 + 2x x x x 1 x 2 +2x 1 x 3 Kendala x 1 +x 2 +2x 3 = 3 Jawab: n = 3, m = 1, Ambil y 3 = x 3, y 2 = x 2 sehingga y 1 = x 1 k = m + 1 = x 2 + 2x x 1 +2x 2 +2x = -6+4x 2 +2x x 1 -2x 2 -2x 3 = 2+2x 2 +2x 1 -2x 3 = 0  x 1 – x 2 + x 3 – 1 = 0...(1) Lanjutkan

6 k = m + 2 = 3 = n -4+2x 3 +2x x 1 +2x 2 +2x = -4+2x 3 +2x x 1 -4x 2 -4x 3 = 12-2x 3 -6x 1 -4x 2 = 2(6-x 3 -3x 1 -2x 2 )= 0  3x 1 +2x 2 +x 3 -6= 0... (2) 3x 1 +2x 2 +x 3 -6 = 0... (2) x 1 – x 2 +x 3 –1 = 0...(1) (-) 2x 1 + 3x = 0 x 2 = 5 - 2x 1 3

7 x 1 – x 2 +x 3 –1 = 0 x 3 = 8 - 5x x 1 3 +x 3 –1 = 0 3x 1 –5+2x 1 +3x 3 –3= 0 5x 1 +3x 3 – 8= 0 x 1 – x 1 – x 2 +2x 2 = x x 1 – 8 - 5x 1 3 = 3 3x x x 1 = 9 9x 1 = 12 x 1 = 4 ; 3 x 2 = 7 ; 9 x 3 = 4 9

8 3. Metode Multiplikator Jika titik-titik ekstrem dari fungsi Z = f(x;y) harus ditentukan dengan restriksi  (x;y)=0, maka berlaku persyaratan sebagai berikut:  (x;y)=0; Penentuan Titik Ekstrem < 0  max > 0  min Catatan: Metode tersebut juga berlaku untuk n variabel bebas dan m restriksi (n + m persamaan) Contohnya

9 Contoh: Fungsi Z = f(x;y) = x 2 + xy + y 2 Restriksi :  (x;y) = xy – 9 = 0 Tentukan titik ekstrimnya! Jawab : Xy – 9 = 0 2x + y +  y= 0 x + 2y +  x= 0 x 1;2 =  3 y 1;2 =  3  = - 3 Nilai ekstrem adalah P 1 (3;3;27) & P 2 (-3;-3;-27)

10 Penentuan Jenis Titik Ekstrem : Oleh karena itu: Untuk P 1 berlaku:  = 2*9 – 2(1-3)*3*3 + 2*9 = 72 > 0  Minimum Untuk P 2 berlaku:  = 2*9 – 2(1+3)*(-3)*(-3) + 2*9 = -36 > 0  Maksimum

11 Metode Lagrange Prinsipnya adalah menambahkan satu variabel  1. Syarat perlu agar f(x 1 *,x 2 * ) merupakan jawaban masalah optimasi Minimasi f(x 1 *,x 2 * ) Kendala g(x 1,x 2 ) = 0 adalah 

12 2. Misalkan x suatu vektor masalah optimasi f(x) terhadap kendala g(x) = 0 didapat dengan  f(x) =  g(x), dan g(x) = 0 L(x i,  ) =  f(x i ) +  g(x i ) Vektor x, y memenuhi persamaan tersebut = titik kritis 3. Syarat cukup agar f(x * ) merupakan minimum relatif Definit Positif 4.Optimasi multivariabel dengan kendala pertidaksamaan Prinsipnya adalah menambah variable slack tak negatif y j 2 sehinggaminimum f(x) dan kendala g j (x)  0, j = 1, 2,... m menjadi G j (x,y) = g j (x) + y j 2 = 0, j = 1, 2,... m Titik x * dimana f(x * ) minimum dengan syarat Kuhn-Tucker Dimana i = 1, 2,... n,  j  0, j  j i J 1 = kendala aktif J 2 = kendala tidak aktif

13 Jika kumpulan kendala aktif tidak diketahui, maka:, i = 1, 2,... n, j = 1, 2,... m Contoh: 1.Minimasi f(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 2 +x x 3 +40x x Kendala g 1 = x  0 g 2 = x 1 +x  0 g 3 = x 1 +x 2 +x  0

14 1.Minimasi f(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 2 +x x 3 +40x x Kendala g 1 = x  0 g 2 = x 1 +x  0 g 3 = x 1 +x 2 +x  0 Syarat Kuhn-Tucker Contoh:  2x  1 +  2 +  3 = 0 2x  2 +  3 = 0 2x 3 +  3 = 0  j g j = 0, j = 1, 2, 3  1 (x 1 -50) = 0  2 (x 1 +x ) = 0  3 (x 1 +x 2 +x ) = 0  j  0, j = 1, 2, 3,  1  0,  2  0,  3  0 Dari  1 (x 1 -50) = 0   1 = 0 atau x 1 = 50

15 (i) Jika x 1 = 50  2x  1 +  2 +  3 = 0 2x  2 +  3 = 0 2x 3 +  3 = 0  3 = -2x 3  2 = -20-2x 2 -  3 = -20-2x 2 +2x 3  1 = -40-2x 1 -  2 -  3 = x 2 Substitusi:  2 (x 1 +x ) = 0  3 (x 1 +x 2 +x ) = 0 Sehingga: (-20-2x 2 +2x 3 )(x 1 +x ) -2x 3 (x 1 +x 2 +x ) = 0 Sistem ini mempunyai 4 jawaban, yaitu: x 2 +2x 3 = 0, x 1 +x 2 +x x 2 +x 3 = 0 50+x 2 +x = x 2 = 0 x 2 = 0 x 1 = 50, x 2 = 45 melanggar x 1 +x 2  100 x 3 = 150-x 1 -x 2 x 3 = = 55 x 1 = 50, x 2 = 45, x 3 = 55

16 x 2 +2x 3 = 0, -2x 3 = 0  x 3 = 0, x 2 = -10 x 1 = 50, x 2 = -10, x 3 = 0, melanggar x 1 +x 2  x 1 +x = 0, -2x 3 = 0  x 3 = 0, 50+x 2 = 100  x 2 = 50 x 1 = 50, x 2 = 50, x 3 = 0, melanggar x 1 +x 2 +x 3  x 1 +x = 0, x 1 +x 2 +x 3 – 150 = 0 50+x 2 = 100, x 3 =150 x 2 = 50 x 3 = 50 x 1 = 50, x 2 = 50, x 3 = 50 Jawaban ini memenuhi kendala  3 = -2x 3 = 100,  2 = = -20,  1 = = -20  1 = -20,  2 = -20,  3 = -100 x 1 = 50, x 2 = 50, x 3 = 50 Sehingga titik optimum : x 1 * = x 2 * = x 3 * = 50

17 2.Maksimumkan f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2, x 1 >0, x 2 >0 Kendala g(x 1,x 2 )= x 1 2 +x = 0 Jawab: L(x 1,x 2,  ) = x 1 x 2 +  (x 1 2 +x ) (1) dan (2)-x 2 /x 1 = -x 1 /x 2 x 2 2 = x 1 2 (3) x 1 2 +x = 0 2x 1 2 = 4 x 1 2 = 2 x 1 =  2, x 2 =  2  = 1/2


Download ppt "OPTIMASI MULTIVARIABEL DENGAN KENDALA KESAMAAN Fungsi kontinu  Min f(x) Kendala g j = 0, di mana j = 1, 2,... m Vektor R n, syarat m  n..."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google