Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

MODUL KALKULUS LANJUT SATU TIPE B (OPEN ENDED) 12.8 NILAI MAKSIMUM DAN NILAI MINIMUM Disusun oleh : Linda Dwi Ariyani 13310198 (3F)

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "MODUL KALKULUS LANJUT SATU TIPE B (OPEN ENDED) 12.8 NILAI MAKSIMUM DAN NILAI MINIMUM Disusun oleh : Linda Dwi Ariyani 13310198 (3F)"— Transcript presentasi:

1 MODUL KALKULUS LANJUT SATU TIPE B (OPEN ENDED) 12.8 NILAI MAKSIMUM DAN NILAI MINIMUM Disusun oleh : Linda Dwi Ariyani (3F)

2 Definisi Misalkan f fungsi dengan daerah asal S, dan misalkan p ₀ titik didalam S. f (p ₀ ) adalah nilai maksimum global dari f pada S jika f(p ₀ ) ≥ f (p) untuk semua p di S. f (p ₀ ) adalah nilai minimum global dari f pada S jika f (p ₀ ) ≤ f (p) untuk semua p di S. f (p ₀ ) adalah nilai ekstrim global dari f pada S jika f (p ₀ ) adalah suatu nilai maksimum global atau suatu nilai minimum global. Kita peroleh definisi untuk nilai maksimum lokal dan nilai minimum lokal jika dalam i dan ii kita syaratkan bahwa pertidaksamaan berlaku pada NS, dengan N lingkungan dari p ₀. f (p ₀ ) adalah nilai ekstrim lokal dari f jika f (p ₀ ) adalah nilai maksimum lokal atau minimum lokal. Misalkan f fungsi dengan daerah asal S, dan misalkan p ₀ titik didalam S. f (p ₀ ) adalah nilai maksimum global dari f pada S jika f(p ₀ ) ≥ f (p) untuk semua p di S. f (p ₀ ) adalah nilai minimum global dari f pada S jika f (p ₀ ) ≤ f (p) untuk semua p di S. f (p ₀ ) adalah nilai ekstrim global dari f pada S jika f (p ₀ ) adalah suatu nilai maksimum global atau suatu nilai minimum global. Kita peroleh definisi untuk nilai maksimum lokal dan nilai minimum lokal jika dalam i dan ii kita syaratkan bahwa pertidaksamaan berlaku pada NS, dengan N lingkungan dari p ₀. f (p ₀ ) adalah nilai ekstrim lokal dari f jika f (p ₀ ) adalah nilai maksimum lokal atau minimum lokal.

3 Teorema A Teorema Eksistensi Maks-Min Jika f kontinu pada suatu himpunan tutup dan terbatas S, maka f mencapai baik nilai maksimum (global) maupun nilai minimum (global) di sana. Teorema Eksistensi Maks-Min Jika f kontinu pada suatu himpunan tutup dan terbatas S, maka f mencapai baik nilai maksimum (global) maupun nilai minimum (global) di sana.

4 Tiga Jenis Titik-titik kritis f pada S

5 Contoh 1 : Diketahui f (x,y) yang dinyatakan bahwa fungsi tersebut memiliki nilai ekstrim. Tentukan fungsi tersebut !

6 Penyelesaian

7

8

9 Contoh 2

10 Penyelesaian

11

12

13 Teorema B Teorema Titik Kritis Misalkan f didefinisikan pada suatu himpunan S yang mengandung p ₀. jika f (p ₀ ) adaalah suatu nilai ekstrim, maka p ₀ haruslah berupa suatu titik kritis; yakni, p ₀ berupa salah satu dari : Sebuah titik perbatasan; atau Sebuah titik stasioner; atau Sebuah titik singular dari f. Teorema Titik Kritis Misalkan f didefinisikan pada suatu himpunan S yang mengandung p ₀. jika f (p ₀ ) adaalah suatu nilai ekstrim, maka p ₀ haruslah berupa suatu titik kritis; yakni, p ₀ berupa salah satu dari : Sebuah titik perbatasan; atau Sebuah titik stasioner; atau Sebuah titik singular dari f.

14 Contoh 3

15 Penyelesaian

16

17

18 Contoh 4

19 Penyelesaian

20

21

22 Teorema C Uji Parsial-Kedua Andaikan bahwa f (x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu disuatu lingkungan dari (x ₀,y ₀ ) dan bahwa Δ f (x ₀, y ₀ )= 0. Misalkan D=D(x ₀,y ₀ )=f(x ₀,y ₀ ) f yy (x ₀,y ₀ ) – f ² y (x ₀,y ₀ ) Maka : Jika D > 0 dan f(x ₀,y ₀ ) < 0,maka f (x ₀,y ₀ ) adalah nilai maksimum lokal; Jika D < 0 dan f(x ₀,y ₀ ) < 0,maka f (x ₀,y ₀ ) adalah nilai minimum lokal; Jika D > 0, maka f (x ₀,y ₀ ) bukam nilai ekstrim ((x ₀,y ₀ ) adalah titik pelana); Jika D = 0, pengujian tidak memberi kesimpulan. Uji Parsial-Kedua Andaikan bahwa f (x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu disuatu lingkungan dari (x ₀,y ₀ ) dan bahwa Δ f (x ₀, y ₀ )= 0. Misalkan D=D(x ₀,y ₀ )=f(x ₀,y ₀ ) f yy (x ₀,y ₀ ) – f ² y (x ₀,y ₀ ) Maka : Jika D > 0 dan f(x ₀,y ₀ ) < 0,maka f (x ₀,y ₀ ) adalah nilai maksimum lokal; Jika D < 0 dan f(x ₀,y ₀ ) < 0,maka f (x ₀,y ₀ ) adalah nilai minimum lokal; Jika D > 0, maka f (x ₀,y ₀ ) bukam nilai ekstrim ((x ₀,y ₀ ) adalah titik pelana); Jika D = 0, pengujian tidak memberi kesimpulan.

23 Contoh 5 Diketahui f (x,y) yang dinyatakan bahwa fungsi tersebut memiliki nilai minimum. Tentukan fungsi tersebut !

24 Penyelesaian a. Solusi 1, Misal, f (x,y) = x² - 4x + y² + 4 fxx (x,y) = 2 fyy (x,y) = 2 fxy (x,y) = 0 fyx (x,y) = 0 D (x ₀,y ₀ ) = fxx (x ₀,y ₀ ). fyy (x ₀,y ₀ ) - f²xy(x ₀,y ₀ ) = 2. 2 – 0 = 4 Jadi, menurut teorema C, f (x,y) = x² - 4x + y² + 4 memiliki nilai minimum lokal.

25 c. Solusi 2, Misal, f (x,y) = 4x² - 4x + y² fxx (x,y) = 8 fyy (x,y) = 2 fxy (x,y) = 0 fyx (x,y) = 0 D (x ₀,y ₀ ) = fxx (x ₀,y ₀ ). fyy (x ₀,y ₀ ) - f²xy(x ₀,y ₀ ) = 8. 2 – 0 = 16 Jadi, menurut teorema C f (x,y) = 4x² - 4x + y² memiliki nilai minimum lokal.

26 c. Solusi 3 : Misal, f (x,y) = 9x² + 25y² + 9x fxx (x,y) = 18 fyy (x,y) = 50 fxy (x,y) = 0 fyx (x,y) = 0 D (x ₀,y ₀ ) = fxx (x ₀,y ₀ ). fyy (x ₀,y ₀ ) - f²xy(x ₀,y ₀ ) = – 0 = 900 Jadi, menurut teorema C f (x,y) = 9x² + 25y² + 9x memiliki nilai minimum lokal dan masih banyak solusi lainnya.

27 Contoh 6 Jika diketahui f(x,y) sebuah nilai minimum dan nilai D (x ₀,y ₀ ) = 4, tentukan fungsi tersebut !

28 Penyelesaian a. Solusi 1: Misal, f(x,y) = x² + y² - 16 fxx (x,y) = 2 fyy (x,y) = 2 fxy (x,y) = 0 D (x ₀,y ₀ ) = fxx (x ₀,y ₀ ). fyy (x ₀,y ₀ ) - f²xy (x ₀,y ₀ = 2. 2 – 0 = 4 Jadi, menurut teorema C f (x,y) = x² + y² - 16 memiliki nilai minimum lokal dan masih banyak solusi lainnya.

29 b. Solusi 2 : Misal, f(x,y) = x² + y² - 2x – 6y + 14 fxx (x,y) = 2 fyy (x,y) = 2 fxy (x,y) = 0 D (x ₀,y ₀ ) = fxx (x ₀,y ₀ ). fyy (x ₀,y ₀ ) - f²xy (x ₀,y ₀ = 2. 2 – 0 = 4 Jadi, menurut teorema C f (x,y) = x² + y² - 2x – 6y + 14memiliki nilai minimum lokal dan masih banyak solusi lainnya.

30 c. Solusi 3 : Misal, f(x,y) = x² + y² + 4x – 2 fxx (x,y) = 2 fyy (x,y) = 2 fxy (x,y) = 0 D (x ₀,y ₀ ) = fxx (x ₀,y ₀ ). fyy (x ₀,y ₀ ) - f²xy (x ₀,y ₀ = 2. 2 – 0 = 4 Jadi, menurut teorema C f (x,y) = x² + y² + 4x – 2 memiliki nilai minimum lokal dan masih banyak solusi lainnya.

31 Latihan Soal

32 Kunci Jawaban

33

34

35

36

37

38

39

40

41 4) a. Solusi 1 : Misal, f (x,y) = 6x² + y² fxx (x,y) = 12 fyy (x,y) = 2 fxy (x,y) = 0 fyx (x,y) = 0 D (x ₀,y ₀ ) = fxx (x,y). fyy (x,y) - f² (x ₀,y ₀ ) = – 0 = 24 Jadi, menurut teorema C fungsi yang memiliki nilai minimum yaitu f (x,y) = 6x² + y².

42 b. Solusi 2 : Misal, f (x,y) = 2x² + 3y² + 5 fxx (x,y) = 4 fyy (x,y) = 6 fxy (x,y) = 0 fyx (x,y) = 0 D (x ₀,y ₀ ) = fxx (x,y). fyy (x,y) - f² (x ₀,y ₀ ) = 6. 4 – 0 = 24 Jadi, menurut teorema C fungsi yang memiliki nilai minimum yaitu f(x,y)=2x² + 3y² + 5.

43 c. Solusi 3 : Misal, f (x,y) = 4x² + y³ - 7 fxx (x,y) = 8 fyy (x,y) = 3 fxy (x,y) = 0 fyx (x,y) = 0 D (x ₀,y ₀ ) = fxx (x,y). fyy (x,y) - f² (x ₀,y ₀ ) = 8. 3 – 0 = 24 Jadi, menurut teorema C fungsi yang memiliki nilai minimum yaitu f(x,y)= 4x² + y³ - 7 dan masih banyak solusi yang lainnya.


Download ppt "MODUL KALKULUS LANJUT SATU TIPE B (OPEN ENDED) 12.8 NILAI MAKSIMUM DAN NILAI MINIMUM Disusun oleh : Linda Dwi Ariyani 13310198 (3F)"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google