MATRIKS Trihastuti Agustinah.

Presentasi berjudul: "MATRIKS Trihastuti Agustinah."— Transcript presentasi:

1 MATRIKS Trihastuti Agustinah

2 DEFENISI Susunan segiempat (rectangular array) dari bilangan-bilangan
Ukuran (size) matriks: banyaknya baris dan kolom Matriks hanya memiliki 1 kolom  vektor kolom Matriks hanya memiliki 1 baris  vektor baris Notasi: matriks  huruf besar kuantitas numerik dalam matriks  huruf kecil

3 Notasi entry Entri pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A  aij
Matriks Amxn: Notasi kompak [aij]mxn atau [aij] Entri pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A juga dinotasikan: (A)ij = aij

4 Notasi (lanj.) Notasi matriks baris dan kolom:
Huruf kecil cetak tebal Contoh: Matriks A dengan n-baris dan n-kolom Matriks bujursangkar orde-n Entri a11, a22, …, ann  diagonal utama dari A

5 Operasi-operasi matriks (1)
Matriks A dan B adalah sama Ukuran sama Entri yang bersesuaian sama Jadi, A=B ↔ (A)ij=(B)ij atau aij=bij Contoh: Jika x = 4, maka A=B

6 Operasi-operasi matriks (2)
Ukuran matriks A dan B adalah sama Jumlah A+B Matriks Jumlahkan entri-entri yang bersesuaian Selisih A–B

7 Operasi-operasi matriks (3)
A: matriks dan c: skalar Hasilkali cA Matriks Perkalian tiap entri A dengan c

8 Contoh 1

9 Kombinasi linear Matriks A1, A2, …, An berukuran sama
c1, c2, …, cn adalah skalar Ekspresi disebut kombinasi linear dari A1, A2, …, An dengan koefisien c1, c2, …, cn

10 Contoh 2 Matriks dari contoh 1
kombinasi linear dari A, B dan C dengan koefisien 2, -1 dan 1/3

11 Hasilkali matriks Matriks Amxr dan Brxn Hasilkali AB: Contoh:

12 Partisi matriks (1) Matriks dibagi / dipartisi ke dalam matriks yang lebih kecil menyisipkan garis vertikal atau horizontal diantara baris atau kolom Contoh:

13 Partisi matriks (2) Contoh:

14 Perkalian matriks melalui kolom dan baris (1)
Perkalian matriks tanpa menghitung semua hasilkalinya Cara melakukan perkalian: Matriks kolom ke-j dari AB = A [kolom ke-j dari B] Matriks baris ke-i dari AB = [baris ke-i dari A] B

15 Perkalian matriks melalui kolom dan baris (2)
Jika matriks baris dari A: a1,a2, …, am dan matriks kolom dari B: b1,b2, …, bn Maka: dan

16 Contoh 3 Matriks kolom ke-2 dari AB: Matriks baris pertama AB:

17 Perkalian matriks: kombinasi linear
Cara alternatif perkalian matriks

18 Contoh 4 Perkalian matriks: Dengan kombinasi linear

19 Contoh 4 (lanj.) Perkalian matriks: Dengan kombinasi linear

20 Sistem linear: bentuk matriks
Sistem persamaan linear m persamaan n unknown

21 Sistem linear (2) Pers. matriks Perkalian matriks

22 Sistem linear (3) Notasi pers. matriks Augmented matriks

23 Transpos Definisi: jika A matriks mxn, maka transpos A, AT adalah matriks nxm hasil pertukaran baris dan kolom dari A Transpos matriks A bujursangkar:

24 Trace Matriks A bujursangkar
Trace A: jumlah dari entri-entri pada diagonal utama

25 Sifat-sifat operasi matriks
Asumsi ukuran matriks berikut sesuai Operasi berikut adalah valid

26 Matriks nol Matriks yang seluruh entrinya nol Operasi matriks nol

27 Matriks identitas Matriks bujursangkar dengan entri pada diagonal utama bernilai 1 dan yang lain nol Notasi: I Jika ukuran diperhatikan: In A matriks mxn, maka

28 Invers matriks A dan B matriks bujursangkar berukuran sama
Terdapat hubungan AB=BA=I Maka A disebut dapat-dibalik (invertible) dan B disebut invers dari A Contoh: matriks A dan B Buktikan bahwa matriks B adalah invers dari A

29 Sifat-sifat invers (1) Jika B dan C adalah invers dari A, maka B=C. Buktikan! Perkalian A dengan invers A = matriks identitas AA-1 = I atau A-1A = I A dan B berukuran sama AB dapat-dibalik (AB)-1 = B-1A-1

30 Contoh 4 Matriks:  Invers dari matriks tersebut dan

31 Sifat-sifat invers (2) Matriks A orde-2 berikut dapat dibalik bila
ad–bc≠0 Rumus:

32 Pangkat dari matriks (1)
A matriks bujursangkar A0=I n>0 Jika A dapat-dibalik, pangkat negatif dari A:

33 Pangkat dari matriks (2)
Jika A dapat-dibalik, maka A-1 dapat-dibalik dan (A-1)-1 = A An dapat-dibalik dan (An)-1 = (A-1)n k: skalar, matriks kA dapat-dibalik dan Contoh: Dapatkan A-3

34 Sifat-sifat transpos Ukuran matriks memungkinkan terjadinya operasi berikut: ((A)T)T = A (A  B)T = AT  BT (kA)T = kAT (AB)T = BTAT Jika A dapat-dibalik, maka AT juga dapat-dibalik (AT)-1 = (A-1)T

35 Matriks elementer Matriks nxn disebut matriks elementer:
diperoleh dari matriks identitas In melalui satu operasi baris elementer Contoh matriks elementer dan operasinya Kalikan kedua dari I2 dengan -3 Pertukarkan baris kedua dengan baris keempat dari I4

36 Matriks elementer Contoh matriks elementer dan operasinya
Tambahkan 3 kali baris ketiga dari I3 pada baris pertama Kalikan baris pertama dari I3 dengan 1

37 Note: Operasi baris elementer:
Kalikan baris dengan konstanta tidak nol Pertukarkan dua baris Tambahkan perkalian baris pada baris lainnya

38 Perkalian matriks dengan matriks elementer
Matriks elementer E: hasil operasi baris pada Im A: matriks mxm EA: matriks hasil dari operasi baris yang sama seperti pada A Contoh: matriks

39 Perkalian matriks dengan matriks elementer
Matriks elementer E: Tambahkan 3 kali baris pertama dari I3 pada baris ketiga Matriks EA: Tambahkan 3 kali baris pertama pada baris ketiga dari A

40 Metode membalik matriks (invers)
Cara mendapatkan invers dari matriks A Lakukan operasi baris elementer  reduksi A menjadi I Lakukan operasi yang sama pada I Prosedur: Bentuk matriks: [A | I] Lakukan operasi baris sehingga A tereduksi menjadi I Matriks yang diperoleh memiliki bentuk [I | A-1]

41 Prosedur: invers matriks
Contoh: dapatkan invers dari Bentuk matriks [A : I] Tambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan -1 kali baris pertama pada baris ketiga

42 Prosedur: invers matriks
Tambahkan 2 kali baris kedua pada baris ketiga Kalikan baris ketiga dengan -1 Tambahkan 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan -3 kali baris ketiga pada baris pertama

43 Prosedur: invers matriks
Tambahkan -2 kali baris kedua pada baris pertama Invers A:

44 Matriks tidak dapat-dibalik
Matriks Anxn tidak dapat-dibalik Tidak dapat direduksi menjadi In Bentuk reduksi eselon baris minimal ada satu baris nol Komputasi dihentikan Contoh:

45 Matriks diagonal Matriks bujursangkar
Entri nondiagonal utama bernilai nol Dnxn: Ditulis juga dalam bentuk:

46 Matriks diagonal Pangkat matriks diag.:
Dapat-dibalik ↔ seluruh entri diagonal utama tidak ada yang bernilai nol Invers matriks diag. Pangkat matriks diag.:

47 Perkalian matriks dengan matriks diag.
Perkalian matriks A dengan matriks diag. dari sisi kiri: tiap entri diagonal dikalikan dengan baris matriks A yang bersesuaian Perkalian matriks A dengan matriks diag. dari sisi kanan: tiap entri diagonal dikalikan dengan kolom A yang bersesuaian

48 Matriks segitiga (triangular)
Lower triangular Upper triangular

49 Matriks simetris Matriks bujursangkar A = AT
Jika dan hanya jika aij = aji Contoh:

50 Hasilkali matriks Matriks Amxn dan ATnxm
Hasilkali AAT (berukuran mxm) dan ATA (berukuran nxn) matriks bujursangkar simetris Contoh: Dapatkan AAT dan ATA

51 terimakasih