Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 1/47 TRANSFORMASI RANGKAIAN.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 1/47 TRANSFORMASI RANGKAIAN."— Transcript presentasi:

1 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 1/47 TRANSFORMASI RANGKAIAN

2 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 2/47 Transformasi Sumber Ideal Transformasi Laplace fungsi kawasan waktu : V(s)=₤ [v(t)] dan I(s)=₤ [i(t)] Dengan v(t) adalah sumber tegangan ideal dan i(t) adalah sumber arus ideal.

3 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 3/47  Sumber Tegangan Independen  Sumber Arus Independen

4 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 4/47  Sumber Tegangan dikontrol Tegangan k tak berdimensi  Sumber Arus dikontrol Arus k tak berdimensi

5 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 5/47  Sumber Tegangan dikontrol Arus k dalam ohm  Sumber Arus dikontrol Tegangan k dalam mho (atau Siemens)

6 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 6/47 Transformasi Elemen Pasif linear  Untuk masing-masing elemen pasif, rasio tegangan terminal terhadap arus yang mengalir disebut IMPEDANSI Z.  Sedangkan kebalikan impedansi disebut dengan ADMITANSI Y.  Dalam domain s dituliskan : Z(s) = V(s)/I(s) Volt/Ampere atau Ohm (Ω) Y(s) = I(s)/V(s)Ampere/Volt atau Siemens (S)

7 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 7/47 Transformasi Resistor  Karakteristik terminal resistor dalam domain waktu : R = v(t)/i(t) v(t) = R. i(t) i(t)= (1/R). v(t) = G. v(t)  Setelah ditransformasi Laplace : V(s)= R. I(s) I(s)= G. V(s)  Dari persamaan-persamaan di atas didapat : ZR(s) = R(Ω) YR(s)= G(S)

8 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 8/47  Rangkaian di kawasan waktu dan di kawasan frekuensi (model impedansi dan model admitansi) dapat ditunjukkan pada gambar berikut : a). Rangkaian kawasan waktu b). Model Impedansi c). Model Admitansi

9 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 9/47 Transformasi Kapasitor t v(t)= (1/C) ∫ i(t) dt + v(t 0 ) t 0 i(t) = C. d v(t)/dt  Transformasi Laplace : V(s)= I(s)/(C.s) + v(t 0 )/s I(s)= C[s.V(s) – v(t 0 )] = C.s.V(s) – C. v(t 0 )

10 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 10/47  Kondisi awal pada persamaan di atas bila dibuat = nol, maka : V(s)= I(s)/(C.s) I(s)= C.s.V(s)  Sehingga dapat dituliskan : Zc(s)= 1/(C.s)(Ω) Yc(s)= C.s(S)

11 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 11/47 a). Rangkaian Kapasitor di kawasan waktu b). Model Seri Kapasitor c). Model Paralel Kapasitor

12 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 12/47 Contoh Soal Tentukan model seri dan model paralel dari kapasitor 2,5 mikro farad dengan tegangan awal 5 volt.

13 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 13/47 Solusi : Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah sebagai berikut : Impedansinya sebesar :

14 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 14/47  Impedansi tersebut diseri dengan sumber tegangan v(0)/s = 5/s V.sec  Sehingga dapat digambarkan model seri sebagai berikut :  Admitansi Y(s) = C.s = 2, s (S),  diparalel dengan sumber arus C.v(0) = (2,5 x F).(5V) = 12,5 mikro Ampere.sec  Sehingga dapat digambarkan model paralel sebagai berikut :

15 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 15/47  Sehingga dapat digambarkan model paralel sebagai berikut :

16 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 16/47 Transformasi Induktor t i(t)= (1/L) ∫ v(t) dt + i(t 0 ) t o v(t)= L. d i(t)/dt Setelah ditransformasi Laplace : I(s)= V(s)/(L.s)+ i(t 0 )/s V(s)= L [s.I(s) - i(t 0 ) ] = L.s.I(s) - L. i(t 0 ) Impedansi : ZL(s) = L.s (Ω) Admitansi :YL(s)= 1/(L.s)(S)

17 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 17/47 a). Rangkaian Induktor di kawasan waktu b). Model Paralel Induktor c). Model Seri Induktor

18 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 18/47 Contoh Soal Tentukan model seri dan model paralel dari induktor 20 mH dengan arus awal 0,3 A. Solusi : Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah sebagai berikut : Impedansinya sebesar : Z(s) = L.s = s(Ω)

19 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 19/47  Admitansinya sebesar : Y(s) = 1/(L.s) = 1/( s) = 50/s (S)  Sumber tegangannya : L.i(0) = ( )(0,3 A) = 6 mVsec  Sumber Arus : i(0)/s = 0,3/sA sec  Sehingga model paralel dan model seri dapat digambarkan sebagai berikut :

20 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 20/47 Contoh Soal Aplikasi Diberikan rangkaian sebagai berikut : Buat rangkaian transformasinya!!!!  Solusi :  Untuk t  0

21 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 21/47  Untuk t  0

22 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 22/47 Latihan :  Buat rangkaian transformasi dari rangkaian berikut ini :

23 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 23/47 Contoh Soal Aplikasi Hitung dan gambarkan iL(t) dari rangkaian berikut ini :  Solusi :  Untuk t  0  iL(o-) = 10/(450+50) = 20 mA

24 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 24/47  Untuk t  0 V T (s) = (5/s) V sec Z T (s) = ,02 s + 50 = 0,02 [s + 62, ] Ω I L (s) = VT(s)/ ZT(s) = 250/[s(s + 62, )] + 0,02/( s + 62, ) A.sec i L (t) = ₤ -1 [250/{s(s + 62, )}] + ₤-1 [0,02/(s + 62, )] A = [250/(62, )] [1 – exp-62, t] u(t) + 0,02. exp-62, t u(t) = [ exp-62, ] u(t)

25 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 25/47

26 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 26/47 Latihan :  Hitung dan gambarkan vc(t) untuk rangkaian berikut :

27 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 27/47 Invers Transformasi Laplace Satu Sisi Untuk mengembalikan dari spektrum (kawasan frekuensi) ke kawasan waktu X(s) → x(t) σ+jΩ x(t) ≡ (1/2jΠ) ∫ X(s) est ds σ-jΩ

28 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 28/47  Dapat diselesaikan melalui definisi di atas atau melihat pasangan TLSS-nya. SinyalT.Laplace δ(t)1 u(t)1/s (t n e- at /n !) u(t)1/[(s+a)n+1] Cos Ωt u(t)s/[s2+Ω2] Sin Ωt u(t)Ω /[s2+Ω2] e- at Cos Ωt u(t)(s+a)/[(s+a)2+Ω2] e- at Sin Ωt u(t)Ω /[(s+a)2+Ω2]

29 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 29/47  Pasangan TLSS-nya (lanjutan). SinyalT.Laplace u(t)-2u(t-T0/2) + 2u(t- T0) (1/s) (1-e-sT0/2)/( 1+e- sT0/2) (SinΩt - Ωt Cos Ωt) u(t) 2Ω 3 / [s 2 + Ω 2 ] 2 (Ωt SinΩt) u(t)2Ω 2 s / [s 2 + Ω 2 ] 2 Ωt e -at Sin Ωt u(t)[2Ω 2 (s+a)] / [(s+a) 2 + Ω 2 ] 2 e-at (Sin Ωt - Ωt Cos Ωt) u(t) 2Ω 3 /[(s+a) 2 + Ω 2 ] 2

30 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 30/47 a). Solusi dengan penyesuaian koefisien (cara langsung) Contoh : Diberikan fungsi rasional : X(s) = (2s + 1)/(s 3 + 3s 2 -4s) Bentuk ekspansi parsiil : X(s) = (2s+1)/[s(s+4)(s-1)] = A/s + B/(s+4) + C/(s-1) = [A(s+4)(s-1) + B.s.(s-1) + C.s (s+4)]/[s(s+4)(s-1)] (2s+1)/ [s(s+4)(s-1)] = [(A+B+C)s2 + (3A-B+4C)s – 4A]/[s(s+4)(s-1)] Maka : A+B+C = 0 3A-B+4C = 2 -4A = 1 → A = 0,25 B+C = 0,25 -B+4C = 2,75 C= 3/5 = 0,6 dan B = -0,35 X(s) = -0,25/s – 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1) x(t) = [-0,25 – 0,35 e-4t + 0,6 et] u(t)

31 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 31/47 b). Ekspansi parsiil untuk akar D(s) simple pole X(s) = N(s)/D(s) = A1/(s-p1) + A2/(s-p2) Ak/(s-pk) An/(s-pn) (s-pk) X(s) = (s-pk) A1 /(s-p1) + (s-pk) A2 /(s-p2) +...+(s-pk) Ak /(s-pk) (s-pk) An/(s-pn) Maka : Ak = (s-pk) X(s) │ s=pk Contoh : Untuk kasus sebelumnya : X(s) = A/s + B/(s+4) + C/(s-1) = (2s+1)/[s(s+4)(s- 1)] A = s X(s) │ = (2s+1)/[(s+4)(s-1)] │ = -0,25 s=0 s=0 B = (s+4) X(s) │ = (2s+1)/[s(s-1)] │ = -7/20 = -0,35 s=-4 s=-4 C = (s-1) X(s) │ = (2s+1)/[s(s+4)] │ = 3/5 = 0,6 s=1 s=1 Jadi : X(s) = -0,25/s - 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1) x(t) = [-0,25 – 0,35 e -4t + 0,6 e t ] u(t)

32 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 32/47 c). Akar D(s) multiple pole-simple X(s) = A1/(s-p1) Ai,1/(s-pi) + Ai,2/(s-pi) Ai,r/(s-pi)r An/(s-pn) Dimana : Ai,r = (s-pi)r X(s) │ s=pi Ai,r-1 = (d/ds)[(s-pi)r X(s)] │ s=pi Ai,r-2 = (1/2!)(d2/ds2)[(s-pi)r X(s)] │ s=pi. Ai,r-k = (1/k!)(dk/dsk)[(s-pi)r X(s)] │ s=pi

33 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 33/47 Contoh : X(s) = (2s 2 -3s)/(s 3 -4s2+5s-2) = (2s 2 -3s)/(s-2)(s-1)2 = A/(s-2) + A1,1/(s-1) + A1,2/(s-1) 2 Dimana : A1,2 = (s-1)2 X(s) │ = (2s 2 -3s)/(s-2)(s-2) │ = -1/(-1) = 1 s=1 s=1 A1,2 = (d/ds) [(2s 2 -3s)/(s-2)] │ = [(s-2)(4s-3) - (2s2-3s)]/(s-2)2 │ = [(-1)1 – (-1)]/1 = 0 s=1 s=1 A = (s-2) X(s) │ = (2s2-3s)]/(s-1)2 │ = (8-6)/1 = 2 s=2 s=2 Jadi X(s) = 2/(s-2) + 1/(s-1) 2 ↕ x(t) = [2e 2t + t e t ] u(t)

34 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 34/47 d). Ekspansi Parsiil : D(s) kompleks konjugate simple pole Contoh : X(s) = (s+3)/[s2+4s+13] = (s+2)/[(s+2) ] + 1/[(s+2) ] ↕ x(t) = [e -2t cos3t + (1/3) e -2t sin 3t] u(t)

35 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 35/47 e). D(s) kompleks konjugate multiple pole Contoh : X(s) =[9s 5 +94s s s s+3750]/[s(s+2)(s 2 +6s+25) 2 ] Untuk (s 2 +6s+25) 2 maka akar-akarnya -3+j4 dan -3-j4 X(s)=A/s+B/(s+2)+(C+jD)/(s+3+j4)+(C-jD)/(s+3- j4)+(E+jF)/(s+3+j4) 2 +(E-jF)/(s+3-j4) 2 Dimana : A = s. X(s) │ = 3 s=0 B = (s+2) X(s) │ = -2 s=-2 E+jF = [(s+3+j4)2 X(s)] │ = 4+j3 s=-3-j4 C+jD = (d/ds) [s+3+j4)2 X(s)] │ = 2+j3 s=-3-j4

36 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 36/47 Jadi : X(s) = 3/s – 2/(s+2) + (2+j3)/(s+3+j4) + (2-j3)/(s+3-j4)2+(4+j3)/(s+3+j4)+(4- j)/(s+3-j4)2 ↕ x(t) = [3-2e -2t +(2+j3)e -(3+j4)t +(2-j3)e (- 3+j4)t +(4+j3)te -(3+j4)t +(4-j3)te (-3+j4)t ] u(t) = [3-2e -2t +e -3t (4 cos4t+ 6 sin4t) +te -3t (8 cos4t + 6 sin4t)] u(t)

37 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 37/47 f). Metode Grafis Untuk mengevaluasi koefisien parsiil dari X(s) dengan cara menggambarkan vektor diagram semua pole-zero sistem. Diketahui : X(s) = N(s)/D(s) = k[(s-z1)(s-z2)......(s-zm)]/[(s- p1)(s-p2)....(s-pn)] Nilai dari X(s) di s=s1 : X(s1) = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke s1)/ (perkalian jarak langsung setiap pole ke s1) Evaluasi pole pk dari X(s) Ak = (s-pk) X(s) │ s=pk Ak = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke pk)/(perkalian jarak langsung setiap pole ke pk)

38 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 38/47 Contoh : X(s) = 12(s+1)(s+4)/[s(s+2)(s+1+j2)(s+1-j2)] = A/s + B/(s+2) + (C+jD)/(s+1+j2) + (C-jD)/(s+1-j2) Gambar semua pole dan zero : Kemudian evaluasi koefisien C-jD, berarti mengevaluasi ke vektor s+1-j2 (letak pole di s = -1+j2). Hitung semua jarak dari setiap pole dan zero yang ada terhadap titik - 1+j2. Didapat : C-jD = 12 (√13 33,7o)( 290o)/[( 490o)( √5153,4o)( √526,6o)] = 4,32-146,3o = -3,6 – j2,4 C+jD = -3,6 + j 2,4 Dengan cara yang sama didapat : A = [(12) (1) (4)]/[(2) (√5)(√5)] = 4,6 B = [(12) (1180o ) (2)]/[(2180o )(√5) (√5)] = 2,4

39 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 39/47 APLIKASI TLSS

40 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 40/47 a). Solusi Persamaan Diferensial Sifat diferensiasi : ₤[dx/dt] = s X(s) – x(0) Bentuk umum : ₤[d n x/dt n ] = s n X(s) – s n-1 x(0) – s n-2 dx(0)/dt d n-1 (0)/dt n-1

41 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 41/47 Contoh : Persamaan Diferensial Orde Dua : d 2 x(t)/dt dx(t)/dt + 3 x(t) = 2 Dengan x(0) = 2 dan dx(0)/dt = 1 Transformasi Laplace-kan kedua sisi dan dimasukkan kondisi awal. s 2 X(s) -2s [s X(s) -2] + 3 X(s) = 2/s X(s) [s 2 + 4s +3] = 2/s + 2s + 9 X(s) = [2 + (2s + 9) s]/[s (s+3) (s+1)] = A/s + B/(s+3) + C/(s+1) A = s X(s) │ = 2/3 s=0 B = (s+3) X(s) │ = -7/6 s=-3 C = (s+1) X(s) │ = 5/2 s=-1 X(s) = (2/3)/s – (7/6)/(s+3) + (5/2)/(s+1) ↕ x(t) = [2/3 – (7/6) e -3t + (5/2) e -t ] u(t)

42 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 42/47 Contoh : Persamaan Diferensial Orde Dua : d 2 x(t)/dt dx(t)/dt + 3 x(t) = 2 Dengan x(0) = 2 dan dx(0)/dt = 1 Transformasi Laplace-kan kedua sisi dan dimasukkan kondisi awal. s 2 X(s) -2s [s X(s) -2] + 3 X(s) = 2/s X(s) [s 2 + 4s +3] = 2/s + 2s + 9 X(s) = [2 + (2s + 9) s]/[s (s+3) (s+1)] = A/s + B/(s+3) + C/(s+1) A = s X(s) │ = 2/3 s=0 B = (s+3) X(s) │ = -7/6 s=-3 C = (s+1) X(s) │ = 5/2 s=-1 X(s) = (2/3)/s – (7/6)/(s+3) + (5/2)/(s+1) ↕ x(t) = [2/3 – (7/6) e -3t + (5/2) e -t ] u(t)

43 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 43/47 b). Respons Impuls Sistem Contoh soal : Cari respons impuls h(t) dari persamaan diferensial sistem berikut ini : dy(t)/dt + 3y(t) = 2 x(t) + dx(t)/dt dengan y(0) = 0 dan x(0)= 0 Solusi : ₤ : sY(s) – y(0) + 3Y(s) = 2X(s) + s X(s) – x(0) Y(s)[s+3] = X(s) [s+2] H(s) = Y(s)/X(s) = (s+2)/(s+3) = (s+3-1)/(s+3) = (s+3)/(s+3) – 1/(s+3) = 1 – 1/(s+3) h(t) = δ(t) – e -3t u(t)

44 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 44/47 c). Solusi Lengkap Rangkaian RLC Telah dibahas lengkap di atas

45 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 45/47  d). Analisis Sistem Waktu Kontinyu  Diberikan Sistem Waktu Kontinyu Linear Tak Berubah Terhadap Waktu (SWK LTW) ditunjukkan dengan hubungan Input dan Output sebagai berikut :  a n y n (t) +a n-1 y n-1 (t) +…+ a 0 y(t) = b 0 x(t) + ….+ b m x m (t)

46 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 46/47 Respons steady state : Y(s) = H(s). X(s) ↕ y(t) = ₤-1 [H(s).X(s)] Stabilitas Sistem SWK : H(s) = N(s)/D(s) SWK stabil jika dan hanya jika : a). Stabil dalam arti BIBO b). Respons impuls secara mutlak terintegrasi c). Limit h(t) = 0 t →  d). Akar riil D(s) < 0 e). Letak pole di sebelah kiri sumbu imajiner

47 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 47/47 Arigato Gozaimasu


Download ppt "Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom 1/47 TRANSFORMASI RANGKAIAN."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google