TRANSFORMASI RANGKAIAN

TRANSFORMASI RANGKAIAN
Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Transformasi Sumber Ideal
Transformasi Laplace fungsi kawasan waktu : V(s) = ₤ [v(t)] dan I(s) = ₤ [i(t)] Dengan v(t) adalah sumber tegangan ideal dan i(t) adalah sumber arus ideal. Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jurusan Elektro STT Telkom
Sumber Tegangan Independen Sumber Arus Independen Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Sumber Tegangan dikontrol Tegangan k tak berdimensi Sumber Arus dikontrol Arus Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Sumber Tegangan dikontrol Arus k dalam ohm Sumber Arus dikontrol Tegangan k dalam mho (atau Siemens) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Transformasi Elemen Pasif linear
Untuk masing-masing elemen pasif, rasio tegangan terminal terhadap arus yang mengalir disebut IMPEDANSI Z. Sedangkan kebalikan impedansi disebut dengan ADMITANSI Y. Dalam domain s dituliskan : Z(s) = V(s)/I(s) Volt/Ampere atau Ohm (Ω) Y(s) = I(s)/V(s) Ampere/Volt atau Siemens (S) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Transformasi Resistor
Karakteristik terminal resistor dalam domain waktu : R = v(t)/i(t) v(t) = R. i(t) i(t) = (1/R). v(t) = G. v(t) Setelah ditransformasi Laplace : V(s) = R. I(s) I(s) = G. V(s) Dari persamaan-persamaan di atas didapat : ZR(s) = R (Ω) YR(s) = G (S) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Rangkaian di kawasan waktu dan di kawasan frekuensi (model impedansi dan model admitansi) dapat ditunjukkan pada gambar berikut : a). Rangkaian kawasan waktu b). Model Impedansi c). Model Admitansi Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Transformasi Kapasitor
v(t) = (1/C) ∫ i(t) dt + v(t0) t0 i(t) = C. d v(t)/dt Transformasi Laplace : V(s) = I(s)/(C.s) + v(t0)/s I(s) = C[s.V(s) – v(t0)] = C.s.V(s) – C. v(t0) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Kondisi awal pada persamaan di atas bila dibuat = nol, maka : V(s) = I(s)/(C.s) I(s) = C.s.V(s) Sehingga dapat dituliskan : Zc(s) = 1/(C.s) (Ω) Yc(s) = C.s (S) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

a). Rangkaian Kapasitor di kawasan waktu b). Model Seri Kapasitor c). Model Paralel Kapasitor Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Contoh Soal Tentukan model seri dan model paralel dari kapasitor 2,5 mikro farad dengan tegangan awal 5 volt. Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Solusi : Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah sebagai berikut : Impedansinya sebesar : Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Impedansi tersebut diseri dengan sumber tegangan v(0)/s = 5/s V.sec Sehingga dapat digambarkan model seri sebagai berikut : Admitansi Y(s) = C.s = 2, s (S), diparalel dengan sumber arus C.v(0) = (2,5 x 10-6 F).(5V) = 12,5 mikro Ampere.sec Sehingga dapat digambarkan model paralel sebagai berikut : Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Sehingga dapat digambarkan model paralel sebagai berikut : Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Transformasi Induktor
i(t) = (1/L) ∫ v(t) dt + i(t0) to v(t) = L. d i(t)/dt Setelah ditransformasi Laplace : I(s) = V(s)/(L.s) + i(t0)/s V(s) = L [s.I(s) - i(t0) ] = L.s.I(s) - L. i(t0) Impedansi : ZL(s) = L.s (Ω) Admitansi : YL(s) = 1/(L.s) (S) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

a). Rangkaian Induktor di kawasan waktu b). Model Paralel Induktor c). Model Seri Induktor Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Contoh Soal Tentukan model seri dan model paralel dari induktor 20 mH dengan arus awal 0,3 A. Solusi : Rangkaian tersebut dalam kawasan waktu adalah sebagai berikut : Impedansinya sebesar : Z(s) = L.s = s (Ω) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Admitansinya sebesar : Y(s) = 1/(L.s) = 1/( s) = 50/s (S) Sumber tegangannya : L.i(0) = ( )(0,3 A) = 6 mVsec Sumber Arus : i(0)/s = 0,3/s A sec Sehingga model paralel dan model seri dapat digambarkan sebagai berikut : Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Contoh Soal Aplikasi Diberikan rangkaian sebagai berikut : Buat rangkaian transformasinya!!!! Solusi : Untuk t  0 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Untuk t  0 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Latihan : Buat rangkaian transformasi dari rangkaian berikut ini : Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Contoh Soal Aplikasi Hitung dan gambarkan iL(t) dari rangkaian berikut ini : Solusi : Untuk t  0 iL(o-) = 10/(450+50) = 20 mA Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Untuk t  0 VT(s) = (5/s) V sec ZT(s) = ,02 s + 50 = 0,02 [s + 62, ] Ω IL(s) = VT(s)/ ZT(s) = 250/[s(s + 62, )] + 0,02/( s + 62, ) A .sec iL(t) = ₤-1 [250/{s(s + 62, )}] + ₤-1 [0,02/(s + 62, )] A = [250/(62,5 .103)] [1 – exp-62, t] u(t) + 0,02. exp-62, t u(t) = [ exp-62, ] u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Latihan : Hitung dan gambarkan vc(t) untuk rangkaian berikut : Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Invers Transformasi Laplace Satu Sisi
Untuk mengembalikan dari spektrum (kawasan frekuensi) ke kawasan waktu X(s) → x(t) σ+jΩ x(t) ≡ (1/2jΠ) ∫ X(s) est ds σ-jΩ Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Dapat diselesaikan melalui definisi di atas atau melihat pasangan TLSS-nya. Sinyal T.Laplace δ(t) 1 u(t) 1/s (tne-at/n !) u(t) 1/[(s+a)n+1] Cos Ωt u(t) s/[s2+Ω2] Sin Ωt u(t) Ω /[s2+Ω2] e-at Cos Ωt u(t) (s+a)/[(s+a)2+Ω2] e-at Sin Ωt u(t) Ω /[(s+a)2+Ω2] Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Pasangan TLSS-nya (lanjutan). Sinyal T.Laplace u(t)-2u(t-T0/2) + 2u(t-T0) (1/s) (1-e-sT0/2)/( 1+e-sT0/2) (SinΩt - Ωt Cos Ωt) u(t) 2Ω3 / [s2 + Ω2]2 (Ωt SinΩt) u(t) 2Ω2s / [s2 + Ω2]2 Ωt e-at Sin Ωt u(t) [2Ω2(s+a)] / [(s+a)2 + Ω2]2 e-at (Sin Ωt - Ωt Cos Ωt) u(t) 2Ω3 /[(s+a)2 + Ω2]2 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

a). Solusi dengan penyesuaian koefisien (cara langsung)
Contoh : Diberikan fungsi rasional : X(s) = (2s + 1)/(s3 + 3s2 -4s) Bentuk ekspansi parsiil : X(s) = (2s+1)/[s(s+4)(s-1)] = A/s + B/(s+4) + C/(s-1) = [A(s+4)(s-1) + B.s.(s-1) + C .s (s+4)]/[s(s+4)(s-1)] (2s+1)/ [s(s+4)(s-1)] = [(A+B+C)s2 + (3A-B+4C)s – 4A]/[s(s+4)(s-1)] Maka : A+B+C = 0 3A-B+4C = 2 -4A = 1→ A = 0,25 B+C = 0,25 -B+4C = 2,75 C= 3/5 = 0,6 dan B = -0,35 X(s) = -0,25/s – 0,35/(s+4) + 0,6/(s-1) x(t) = [-0,25 – 0,35 e-4t + 0,6 et] u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

b). Ekspansi parsiil untuk akar D(s) simple pole
X(s) = N(s)/D(s) = A1/(s-p1) + A2/(s-p2) Ak/(s-pk) An/(s-pn) (s-pk) X(s) = (s-pk) A1 /(s-p1) + (s-pk) A2 /(s-p2) +...+(s-pk) Ak /(s-pk) (s-pk) An/(s-pn) Maka : Ak = (s-pk) X(s) │ s=pk Contoh : Untuk kasus sebelumnya : X(s) = A/s + B/(s+4) + C/(s-1) = (2s+1)/[s(s+4)(s-1)] A = s X(s) │ = (2s+1)/[(s+4)(s-1)]│= -0,25 s= s=0 B = (s+4) X(s) │= (2s+1)/[s(s-1)] │ = -7/20 = -0,35 s= s=-4 C = (s-1) X(s) │= (2s+1)/[s(s+4)] │= 3/5 = 0,6 s= s=1 Jadi : X(s) = -0,25/s ,35/(s+4) + 0,6/(s-1) x(t) = [-0,25 – 0,35 e-4t + 0,6 et] u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

c). Akar D(s) multiple pole-simple
X(s) = A1/(s-p1) Ai,1/(s-pi) + Ai,2/(s-pi) Ai,r/(s-pi)r An/(s-pn) Dimana : Ai,r = (s-pi)r X(s)│ s=pi Ai,r-1 = (d/ds)[(s-pi)r X(s)]│ Ai,r-2 = (1/2!)(d2/ds2)[(s-pi)r X(s)]│ . Ai,r-k = (1/k!)(dk/dsk)[(s-pi)r X(s)]│ Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Contoh : X(s) = (2s2-3s)/(s3-4s2+5s-2) = (2s2-3s)/(s-2)(s-1)2 = A/(s-2) + A1,1/(s-1) + A1,2/(s-1)2 Dimana : A1,2 = (s-1)2 X(s)│ = (2s2-3s)/(s-2)(s-2) │= -1/(-1) = 1 s= s=1 A1,2 = (d/ds) [(2s2-3s)/(s-2)]│ = [(s-2)(4s-3) - (2s2-3s)]/(s-2)2 │= [(-1)1 – (-1)]/1 = 0 s= s=1 A = (s-2) X(s) │ = (2s2-3s)]/(s-1)2 │= (8-6)/1 = 2 s= s=2 Jadi X(s) = 2/(s-2) + 1/(s-1)2 ↕ x(t) = [2e2t + t et] u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

d). Ekspansi Parsiil : D(s) kompleks konjugate simple pole
Contoh : X(s) = (s+3)/[s2+4s+13] = (s+2)/[(s+2)2 + 32] + 1/[(s+2)2 + 32] ↕ x(t) = [e-2t cos3t + (1/3) e-2t sin 3t] u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

e). D(s) kompleks konjugate multiple pole
Contoh : X(s) =[9s5+94s4+706s3+2628s2+4401s+3750]/[s(s+2)(s2+6s+25)2] Untuk (s2+6s+25)2 maka akar-akarnya -3+j4 dan -3-j4 X(s)=A/s+B/(s+2)+(C+jD)/(s+3+j4)+(C-jD)/(s+3-j4)+(E+jF)/(s+3+j4)2+(E-jF)/(s+3-j4)2 Dimana : A = s. X(s) │ = 3 s=0 B = (s+2) X(s) │ = -2 s=-2 E+jF = [(s+3+j4)2 X(s)] │ = 4+j3 s=-3-j4 C+jD = (d/ds) [s+3+j4)2 X(s)] │ = 2+j3 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Jadi : X(s) = 3/s – 2/(s+2) + (2+j3)/(s+3+j4) + (2-j3)/(s+3-j4)2+(4+j3)/(s+3+j4)+(4-j)/(s+3-j4)2 ↕ x(t) = [3-2e-2t+(2+j3)e-(3+j4)t+(2-j3)e(-3+j4)t+(4+j3)te-(3+j4)t+(4-j3)te(-3+j4)t] u(t) = [3-2e-2t+e-3t(4 cos4t+ 6 sin4t) +te-3t(8 cos4t + 6 sin4t)] u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

f). Metode Grafis Untuk mengevaluasi koefisien parsiil dari X(s) dengan cara menggambarkan vektor diagram semua pole-zero sistem. Diketahui : X(s) = N(s)/D(s) = k[(s-z1)(s-z2)......(s-zm)]/[(s-p1)(s-p2)....(s-pn)] Nilai dari X(s) di s=s1 : X(s1) = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke s1)/ (perkalian jarak langsung setiap pole ke s1) Evaluasi pole pk dari X(s) Ak = (s-pk) X(s)│ s=pk Ak = k (perkalian jarak langsung setiap zero ke pk)/(perkalian jarak langsung setiap pole ke pk) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Contoh : X(s) = 12(s+1)(s+4)/[s(s+2)(s+1+j2)(s+1-j2)] = A/s + B/(s+2) + (C+jD)/(s+1+j2) + (C-jD)/(s+1-j2) Gambar semua pole dan zero : Kemudian evaluasi koefisien C-jD, berarti mengevaluasi ke vektor s+1-j2 (letak pole di s = -1+j2). Hitung semua jarak dari setiap pole dan zero yang ada terhadap titik -1+j2. Didapat : C-jD = 12 (√13 33,7o)( 290o)/[( 490o)( √5153,4o)( √526,6o)] = 4,32-146,3o = -3,6 – j2,4 C+jD = -3,6 + j 2,4 Dengan cara yang sama didapat : A = [(12) (1) (4)]/[(2) (√5)(√5)] = 4,6 B = [(12) (1180o ) (2)]/[(2180o )(√5) (√5)] = 2,4 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

APLIKASI TLSS Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

a). Solusi Persamaan Diferensial
Sifat diferensiasi : ₤[dx/dt] = s X(s) – x(0) Bentuk umum : ₤[dnx/dtn] = sn X(s) – sn-1 x(0) – sn-2 dx(0)/dt dn-1(0)/dtn-1 Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Contoh : Persamaan Diferensial Orde Dua : d2x(t)/dt2 + 4 dx(t)/dt + 3 x(t) = 2 Dengan x(0) = 2 dan dx(0)/dt = 1 Transformasi Laplace-kan kedua sisi dan dimasukkan kondisi awal. s2 X(s) -2s [s X(s) -2] + 3 X(s) = 2/s X(s) [s2 + 4s +3] = 2/s + 2s + 9 X(s) = [2 + (2s + 9) s]/[s (s+3) (s+1)] = A/s + B/(s+3) + C/(s+1) A = s X(s) │ = 2/3 s=0 B = (s+3) X(s) │ = -7/6 s=-3 C = (s+1) X(s) │ = 5/2 s=-1 X(s) = (2/3)/s – (7/6)/(s+3) + (5/2)/(s+1) ↕ x(t) = [2/3 – (7/6) e-3t + (5/2) e-t] u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

b). Respons Impuls Sistem Contoh soal : Cari respons impuls h(t) dari persamaan diferensial sistem berikut ini : dy(t)/dt + 3y(t) = 2 x(t) + dx(t)/dt dengan y(0) = 0 dan x(0)= 0 Solusi : ₤ : sY(s) – y(0) + 3Y(s) = 2X(s) + s X(s) – x(0) Y(s)[s+3] = X(s) [s+2] H(s) = Y(s)/X(s) = (s+2)/(s+3) = (s+3-1)/(s+3) = (s+3)/(s+3) – 1/(s+3) = 1 – 1/(s+3) h(t) = δ(t) – e-3t u(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

c). Solusi Lengkap Rangkaian RLC Telah dibahas lengkap di atas Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

d). Analisis Sistem Waktu Kontinyu Diberikan Sistem Waktu Kontinyu Linear Tak Berubah Terhadap Waktu (SWK LTW) ditunjukkan dengan hubungan Input dan Output sebagai berikut : anyn(t) +an-1yn-1(t) +…+ a0y(t) = b0x(t) + ….+ bmxm(t) Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Respons steady state : Y(s) = H(s). X(s) ↕ y(t) = ₤-1 [H(s).X(s)] Stabilitas Sistem SWK : H(s) = N(s)/D(s) SWK stabil jika dan hanya jika : a). Stabil dalam arti BIBO b). Respons impuls secara mutlak terintegrasi c). Limit h(t) = 0 t→ d). Akar riil D(s) < 0 e). Letak pole di sebelah kiri sumbu imajiner Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

Arigato Gozaimasu Signal&System Jurusan Elektro STT Telkom

TRANSFORMASI RANGKAIAN

Presentasi serupa

Presentasi berjudul: "TRANSFORMASI RANGKAIAN"— Transcript presentasi:

Presentasi serupa

Tentang proyek

Tanggapan

Masuk

Otorisasi melalui jaringan sosial:

TRANSFORMASI RANGKAIAN

Presentasi serupa

Presentasi berjudul: "TRANSFORMASI RANGKAIAN"— Transcript presentasi:

Presentasi serupa

Tentang proyek

Tanggapan