Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

VARIABEL RANDOM. VARIABEL RANDOM DISKRIT Pada pembahasan sebelumnya, C mempunyai elemen-elemen yang bukan bilangan. Contoh : - pada pelemparan koin, C.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "VARIABEL RANDOM. VARIABEL RANDOM DISKRIT Pada pembahasan sebelumnya, C mempunyai elemen-elemen yang bukan bilangan. Contoh : - pada pelemparan koin, C."— Transcript presentasi:

1 VARIABEL RANDOM

2 VARIABEL RANDOM DISKRIT Pada pembahasan sebelumnya, C mempunyai elemen-elemen yang bukan bilangan. Contoh : - pada pelemparan koin, C = { muka, belakang } - pada pelemparan dadu, C = { muka1,…,muka6} Bagaimana merubah ruang sampel yang elemennya bukan bilangan menjadi bilangan?

3 Definisikan suatu fungsi X yang memetakan ruang sampel C ke himpunan bilangan riil, atau X : C Daerah hasil dari fungsi X dinotasikan dengan A, sehingga dapat ditulis X( C ) = A. Fungsi X ini dinamakan variabel random. Apabila A merupakan himpunan diskrit yaitu himpunan yang elemen-elemennya berhingga atau tak berhingga tapi dapat dikorespondensikan satu-satu dengan himpunan bilangan bulat, maka X dinamakan variabel random diskrit. Apabila A berupa interval atau gabungan dari beberapa interval maka X dinamakan variabel random kontinu. Note : Nilai dari X dinotasikan dengan x.

4 Contoh : Pada pelemparan koin, ruang sampelnya C = {c;c adalah muka atau c adalah belakang}. Misalkan X : C sedemikian hingga X(c) = 0 jika c adalah muka = 1 jika c adalah belakang X disebut fungsi bernilai riil yang didefinisikan pada ruang sampel C dan nilai dari fungsi X adalah A = {0,1}. Dalam perhitungan selanjutnya, yang digunakan adalah A bukan lagi C.

5 Misalkan terdapat suatu fungsi X yang didefinisikan pada ruang sampel C sedemikian hingga X( c ) = x R.Sehingga ruang nilai dari X adalah A =.. Apabila C merupakan himpunan bilangan riil maka A = C. Apabila C C berhubungan dengan A A, yaitu maka dimana menyatakan probabilitas kejadian A. Notasi lain = = P(A). : probabilitas yang diinduksi oleh X

6 Akan ditunjukkan bahwa memenuhi definisi fhp. 1.. Jadi. 2. Misalkan A 1 dan A 2 subset dari A yang tidak beririsan atau. Misalkan. Berarti. Jadi atau. Karena A 1 dan A 2 disjoint sets, maka C 1 dan C 2 juga disjoint sets. Jadi = Sehinnga. Secara umum : apabila

7 3.. Berarti. Jadi terbukti bahwa adalah fhp. Contoh: Sebuah mata uang dilempar 2 kali dan akan diamati jumlah muka yang muncul. Ruang sampel / C = {c; c adalah MM,MB,BM atau BB} Misalkan X adalah variabel random yang menyatakan banyaknya muka yang muncul. Jadi, X(c) = 0, jika c adalah BB = 1, jika c adalah BM atau MB = 2, jika c adalah MM Ruang nilai dari X adalah A = {0,1,2} atau A = {x; x = 0,1,2}.

8 Misalkan A = {1}, berapakah P(A) ? A = {1} berhubungan dengan C = {c; c adalah BM atau MB}, sehingga P(A) = P( C ) = 2/4. Atau dapat ditulis : Karena A = {1}, maka P(A) = Pr(X A) = Pr(X = 1) = 2/4. Akan ditentukan Pr(X=0) atau Pr(X=2). Misalkan C 1 = {c; c adalah BB}C 2 = {c; c adalah MB} C 3 ={c;c adalah BM}C 4 ={c;c adalah MM} Dimisalkan bahwa C 1,C 2,C 3 dan C 4 equally likely atau P(C i )=1/4, i = 1,2,…,4.

9 Karena X : banyaknya muka yang muncul, maka : Kejadian A 1 = {0} terjadi jhj kejadian C 1 terjadi Kejadian A 2 = {1} terjadi jhj kejadian C 2 atau C 3 terjadi Kejadian A 3 = {2} terjadi jhj kejadian C 4 terjadi Jadi Pr(X=0) = P(C 1 ) = ¼ Pr(X=1) = = P(C 2 ) + P(C 3 ) = 2/4 Pr(X=2) = P(C 4 ) = ¼ Dalam bentuk tabel atau rumus: atau x012 Pr(X = x)1/41/21/4

10 Probability Density Function (pdf) Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan dari A ke himpunan bilangan riil R, atau. Pengaitan untuk fungsi f harus memenuhi : , dimana P(A) adalah fhp dan A A. Apabila ketiga syarat di atas terpenuhi, maka f disebut pdf (probability density function) atau pmf (probability mass function) dari variabel random diskrit X.

11 Contoh : Dari contoh sebelumnya,misalkan dimana A ={0,1,2}. - A 1 ={0}, P(A 1 )= = Pr(X=0) = f(0) Karena Pr(X=0) = ¼, maka f(0) = ¼ - A 2 ={1}, P(A 2 ) = =Pr(X=1) = f(1) Karena Pr(X=1) = ½, maka f(1) = ½ - A 3 ={2}, P(A 3 )= = Pr(X=2) = f(2) Karena Pr(X=2) = ¼, maka f(2) = ¼ Jadi,

12 VARIABEL RANDOM KONTINU DAN pdf Apabila A merupakan interval atau gabungan dari beberapa interval, maka X yang memetakan dari C ke A disebut variabel random kontinu. Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke himpunan bilangan riil R, atau yang pengaitannya memenuhi : , dimana P(A) adalah fhp dan A A. Apabila ketiga hal di atas dipenuhi maka f disebut pdf (probability density function) dari variabel random kontinu X.

13 Jika A = {a} maka P (A) = = Pr(X=a) = = 0 Berarti jika X variabel random kontinu maka Pr(X=a) = 0 dan Pr(a < X< b) =. Contoh : Misalkan P(A) adalah fhp dari X dimana, dimana f(x) adalah pdf dari X yang didefinisikan sbb : Misalkan A 1 ={x : 0 < x < 1}, A 2 ={x : 2 < x < 3}, maka P(A 1 )= dan P(A 2 )=. Karena maka

14 FUNGSI DISTRIBUSI (Cumulative Distribution Function/cdf) Misalkan diberikan suatu fungsi F yang didefinisikan pada himpunan bilangan riil R. Fungsi ini memetakan dari himpunan bilangan riil R ke himpunan bilangan riil R,yaitu : dengan pengaitan dimana X variabel random dan P adalah fhp. Fungsi yang didefinisikan di atas disebut fungsi distribusi (cdf) dari variabel random X yang mempunyai distribusi tertentu. Untuk variabel random diskrit : Untuk variabel random kontinu :

15 Catatan : Jika X variabel random kontinu, maka pdf dari X yaitu f(x) mempunyai paling banyak berhingga titik-titik diskontinu di dalam suatu interval berhingga. Hal ini berarti : 1. Fungsi distribusi F(x) kontinu dimana-mana. 2. Turunan dar F(x) terhadap x ada dan sama dengan pdf f(x) di setiap titik dimana f(x) kontinu, atau F’(x) = f(x). Jika X variabel random diskrit, maka pdf dari X yaitu f(x) bukanlah turunan dari F(x) terhadap x pada Lebesgue measure, tetapi f(x) adalah turunan dari F(x) terhadap x pada counting measure (Radon - Nykodym). Turunan sering disebut density, karena itulah f(x) yang merupakan turunan dari F(x) terhadap x disebut probability density function.

16 Contoh: Misalkan X variabel random diskrit yang mempunyai pdf sbb : Tentukan fungsi distribusi (cdf) dari X dan grafiknya !

17 Misalkan X variabel random kontinu yang mempunyai pdf Tentukan fungsi distribusi (cdf) dari X dan gambarkan!

18 Tugas untuk latihan : Soal no. 1.47,1.48,1.49,1.50,1.69


Download ppt "VARIABEL RANDOM. VARIABEL RANDOM DISKRIT Pada pembahasan sebelumnya, C mempunyai elemen-elemen yang bukan bilangan. Contoh : - pada pelemparan koin, C."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google