Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Dasar probabilitas. 2 Sample space, sample points, events Sample space, , adalah sekumpulan semua sample points,  yang mungkin; dimana  Contoh 1.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Dasar probabilitas. 2 Sample space, sample points, events Sample space, , adalah sekumpulan semua sample points,  yang mungkin; dimana  Contoh 1."— Transcript presentasi:

1 Dasar probabilitas

2 2 Sample space, sample points, events Sample space, , adalah sekumpulan semua sample points,  yang mungkin; dimana  Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:  ={Gambar,Angka} Contoh 2. Menggelindingkan dadu:  ={1,2,3,4,5,6} Contoh 3. Jumlah pelanggan dalam antrian:  ={0,1,2,…} Contoh 4. Waktu pendudukan panggilan (call holding time):  ={x  x>0} Events A,B,C,…   adalah himpunan bagian (yang dapat diukur) dari sample space Contoh 1. Angka genap pada sebuah dadu:A={2,4,6} Contoh 2. Tidak ada pelanggan yang mengantri : A={0} Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={x  x>3}  adalah kumpulan semua events Event yang pasti : sample space  merupakan elemen dari  Event yang tidak mungkin : himpunan kosong  yang juga merupakan anggota 

3 3 Kombinasi event Union (gabungan) :“A atau B” : A  B={  A atau  B} Irisan: “A dan B” : A  B={  A dan  B} Komplemen : “bukan A”:A c ={  A} Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila : A  B=  Sekumpulan event {B1,B2,…} merupakan partisi dari event A jika (i) B i  B j =  untuk semua i  j (ii)  i B i =A

4 4 Probabilitas (peluang) Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A) P(A)  [0,1] Sifat-sifat peluang

5 5 Conditional Probability (Peluang bersyarat) Asumsikan bahwa P(B)>0 Definisi : Conditional probability dari suatu event A bila diketahui event B terjadi didefinisikan sebagai berikut Dengan demikian

6 6 Teorema Probabilitas Total Bila {B i } merupakan partisi dari sample space  Lalu {A  B i } merupakan partisi dari event A, maka berdasarkan sifat probabilitas yang ketujuh pada slide nomor 4 Kemudian asumsikan bahwa P(B i )>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 dapat didefinisikan teorema probabilitas total sbb

7 7 Contoh: Suatu berkas saluran terdiri dari 2 saluran : P(k)= Prob bahwa saluran baik. P(0)=0,2;P(1)=0,3; P(2)=0,5 Dan E(k)=Prob bahwa suatu panggilan diblok, bila diketahui k saluran baik. E(0)=1;E(1)=2/3 dan E(2)=2/5 Berapa besar probabilitas suatu panggilan diblok?dan Berapa besar probabilitas suatu panggilan tidak di blok?

8 8 0,2 0,3 0, /3 1/3 2/5 3/5 Di blok Tidak di blok 0 sal.baik 1 sal baik 2 sal. baik

9 9 Jawab: Prob suatu panggilan di blok= P(0).E(0)+P(1).E(1) +P(2).E(2)= 0,2.1 +0,3.(1/3) +0,5.(2/5)=0,6 Prob suatu panggilan tidak di blok= 0,2.0 +0,3.(2/3)+0,5.(3/5) =0,4

10 10 Teorema Bayes Bila {B i } merupakan partisi dari sample space  Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(B i )>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita peroleh Ini merupakan teorema Bayes Peluang P(B i ) disebut peluang a priori dari event B i Peluang P(B i  A) disebut peluang a posteriori dari event B i (bila diketahui event A terjadi)

11 11 Kesalingbebasan statistik dari event (Statistical independence of event) Definisi : Event A dan B saling bebas (independent) jika Dengan demikian Demikian pula

12 12 Peubah acak (random variables) Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil [real-valued]) adalah fungsi bernilai riil dan dapat diukur yang didefinisikan pada sample space  ;X:    Setiap titik sample (sample points)  dihubungkan dengan sebuah bilangan riil X(  ) Dapat diukur memiliki arti bahwa semua himpunan yang berbentuk berasal dari kumpulan event , yaitu Peluang event yang seperti itu dinyatakan oleh P{X  x}

13 13 Sebuah koin dilempar (menghasilkan head (H) atau tail (T) Sample space: Misalnya peubah acak X merupakan jumlah total tail (T) dalam ketiga eksperimen pelemparan koin tersebut, maka : Contoh

14 14 Indikator dari suatu event Misalkan A   merupakan suatu event Definisi : indikator dari suatu event A adalah peubah acak yang didefinisikan sbb: Maka

15 15 Probability Distribution Function (PDF) Definisi : PDF dari suatu peubah acak X adalah fungsi F X :   [0,1] yang didefinisikan sebagai berikut PDF menentukan distribusi dari peubah acak Peluang P{X  B}, dimana B   dan {X  B}  Sifat

16 16 Kesalingbebasan statistik dari peubah acak (Statistical independence of random variables) Definisi : Peubah acak X dan Y saling bebas jika untuk semua x dan y Definisi : Peubah acak X 1, …,X n saling bebas jika untuk semua i dan x i

17 17 Maximum dan minimum dari peubah acak yang saling bebas Misalkan peubah acak X 1,…,X n saling bebas Bila X max :=max{X 1,…,X n }, maka Bila X min :=min{X 1,…,X n }, maka

18 18 Peubah acak diskrit Definisi : himpunan A  disebut diskrit bila Terbatas : A={x 1,…,x n }, atau Tak terbatas : A={x 1,x 2,…} Definisi : peubah acak X disebut diskrit bila terdapat sebuah himpunan diskrit S x  sedemikian hingga Maka P{X=x}  0 untuk semua x  S x P{X=x}  0 untuk semua x  S x Himpunan S x disebut himpunan nilai (value set)

19 19 Misalkan X adalah peubah acak diskrit Distribusi X ditentukan oleh peluang titik p i Definisi : probability mass function (pmf) dari X adalah merupakan fungsi p X :   [0,1] yang didefinisikan sbb Pada kasus ini, PDF merupakan fungsi step Peluang titik (point probabilities)

20 20 Contoh

21 21 Kesalingbebasan peubah acak Peubah acak diskrit X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika untuk semua x i  S X dan y j  S y

22 22 Ekspektasi (harapan,rataan) Definisi : Harga ekspektasi (rata-rata/mean value) dari X dinyatakan oleh Catatan 1: ekspektasi akan ada hanya jika Catatan 2 : Jika, maka Sifat-sifat

23 23 Contoh: Suatu berkas saluran terdiri dari 10 saluran: Jumlah sal yang di duduki P(Xi)Xi.P(Xi) ,20 0,19 0,16 0,13 0,10 0,07 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 0,19 0,32 0,39 0,40 0,35 0,30 0,28 0,24 0,18 0,10 Total1 2,75

24 24 Nilai di atas menunjukkan harga rata- rata dari jumlah saluran yang di duduki terus menerus dalam 1 jam sibuk (A). Sehingga dari contoh, nilai 2,75 menunjukkan bahwa dalam 1 jam sibuk diharapkan 2,75 saluran di duduki.

25 25 1 Jam

26 26 Variance Definisi : Variance dari X didefinisikan sbb Rumus yang bermanfaat Sifat-sifat

27 27 Covariance Definisi : Covariance antara X dan Y didefinisikan sbb Rumus yang bermanfaat Sifat-sifat

28 28 Parameter lain yang berhubungan dengan distribusi Deviasi standard dari X Koefisien perubahan (coefficient of variation) dari X Momen ke-k dari X

29 29 Misalkan X1,…,Xn saling bebas dan teridistribusi secara identik (independent and identically distributed [IID]) dengan  dan variance  2 Rata-rata-nya(average/sample mean) Maka Rata-rata dari peubah acak IID

30 30 Law of large numbers (LLN)

31 31 Distribusi Bernoulli Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang mungkin Sukses (1) : “Probabilitas di duduki” (P) Gagal (0): “Probabilitas bebas” (q= 1-P) Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 untuk peluang 1-p)

32 32 Distribusi binomial Menyatakan jumlah sukses dalam sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli); n = jumlah total eksperimen p = peluang sukses dalam suatu eksperimen

33 n Prob. P(X=i) saluran diduduki = P(x):

34 34 Contoh: Suatu berkas saluran terdiri dari 12 saluran, dengan probabilitas diduduki untuk setiap saluran 0,3. tentukan probabilitas: a. Tak ada saluran yang diduduki? b. 10 saluran diduduki?

35 35 Distribusi geometrik Menyatakan jumlah sukses yang terjadi sampai didapatkan kegagalan yang pertama dari sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli) p = peluang sukses dalam suatu eksperimen

36 36 Sifat memoryless Distribusi geometrik mempunyai sifat memoryless yaitu untuk semua i,j  {0,1…}

37 37 Minimum dari peubah acak geometrik

38 38 Distribusi Poisson Limit dari distribusi binomial dimana n  dan p  0, sedemikian hingga np  a

39 39 Contoh Asumsikan 200 pelanggan terhubung ke sentral lokal Trafik setiap pelanggan adalah 0.01 Pelanggan saling bebas Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200,0.01) Pendekatan Poisson X  Poisson(2,0) Peluang titik

40 40 Sifat-sifat distribusi Poisson i.Penjumlahan (sum) : Bila X 1 ~Poisson(a 1 ) dan X 2 ~Poisson(a 2 ) saling bebas, maka X 1 + X 2 ~Poisson(a 1 + a 2 ) ii.Random sample : Misalkan X~Poisson(a) menyatakan jumlah elemen dalam suatu himpunan, dan Y menyatakan ukuran random sample dari himpunan tersebut (setiap elemen diambil secara saling bebas dengan peluang p), maka Y~Poisson (pa) iii.Random sorting: Misalkan X dan Y seperti pada (ii), dan Z=X-Y, maka Y dan Z adalah saling bebas (bila X tidak diketahui) dan Z~Poisson ((1-p)a)

41 41 Peubah acak kontinu Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang dapat diintegralkan f X :  +, sedemikian hingga untuk semua x  Fungsi f X disebut probability density function (pdf) Himpunan S X, dimana f X >0 disebut value set Sifat-sifat

42 42 Contoh

43 43 Ekspektasi dan parameter lain Ekspektasi (nilai rata-rata/mean value) dari X didefinisikan sbb Note 1: Ekspektasi ada hanya jika Note 2: Jika, maka Sifat sama dengan distribusi diskrit Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi diskrit

44 44 Distribusi Uniform (X~U(a,b), a

45 45 Distribusi Eksponensial (X~Exp( ), >0) Versi kontinu dari distribusi geometrik (peluang gagal  dt)

46 46 Sifat memoryless Distribusi eksponensial mempunyai sifat memoryless untuk semua x,y  (0,  ) P{X>x+y  X>x}=P{X>y} Aplikasi Asumsikan bahwa call holding time terdistribusi secara eksponensial dengan mean (rata-rata) h Misalnya suatu panggilan telah berakhir selama x menit. Dengan sifat memoryless, hal ini memberi informasi tentang lamanya waktu holding time yang masih tersisa : juga terdistribusi seperti holding time yang asli Ekspektasi dari holding time sisa adalah selalu h

47 47 Minimum dari peubah acak eksponensial

48 48 Distribusi normal (Gaussian) ternormalisasi (X ~ N(0,1))

49 49 Distibusi normal (Gaussian)

50 50 Sifat-sifat distribusi Gaussian

51 51 Central Limit Theorem (CLT)


Download ppt "Dasar probabilitas. 2 Sample space, sample points, events Sample space, , adalah sekumpulan semua sample points,  yang mungkin; dimana  Contoh 1."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google