Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

ANALISIS GALAT (Error) Pertemuan 2 Matakuliah: METODE NUMERIK I Tahun: 2008.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "ANALISIS GALAT (Error) Pertemuan 2 Matakuliah: METODE NUMERIK I Tahun: 2008."— Transcript presentasi:

1

2 ANALISIS GALAT (Error) Pertemuan 2 Matakuliah: METODE NUMERIK I Tahun: 2008

3 Bina Nusantara Galat atau ralat atau kesalahan (error) adalah selisih antara nilai sejati (sebenarnya) dengan nilai hampirannya Dalam metoda numerik, galat berarti selisih antara nilai hasil perhitungan analitik (nilai sejati = a) dengan nilai hasil Perhitungan numerik (nilai hampiran = â) Galat relatif e r = (e m / â) x 100 % Galat mutlak e m = |a - â|

4 Bina Nusantara Contoh: Misalkan nilai sejati (a) = 10,45 dan nilai hampiran (â) = 10,5, maka galat mutlaknya adalah: e m = |a - â| = |10,45 – 10,5|= 0,01 Dengan galat mutlak kita tidak mengetahui seberapa dekat (teliti) hasil hampiran yang kita peroleh terhadap nilai sejatinya Contoh: Perhitungan -1  e m1 = |100,5 – 99,8| = 0,7 Perhitungan -2  e m2 = |10,5 – 9,8| = 0,7 Dari dua perhitungan tsb, perhitungan mana yang lebih teliti?

5 Bina Nusantara Jawaban: e r1 = (0,7/99,8) x 100 % = 0, 7014 %  ketelitian 99,2986 % e r2 = (0,7/9,8) x 100 % = 7,14286 %  ketelitian 92,8571 % Perhitungan -1 lebih teliti.

6 Bina Nusantara Sumber Error/Galat numerik 1.Galat pemotongan (trancation error) 2.Galat pembulatan (round-off error) Galat pemotongan timbul akibat penggunaan rumus hampiran sebagai pengganti rumus eksak Misalnya Deret Taylor f(x) = f(x 0 ) + f (’) (x 0 ) (x-x 0 ) + ½! f (”) (x 0 ) (x-x 0 ) 2 + 1/3! f (3) (x 0 ) (x-x 0 ) 3 + … + 1/n! f (n) (x 0 ) (x-x 0 ) n + R n (x) Rn(x) = {1/(n+1)!} f (n+1) (  ) x (n+1),  x 0 <  < x R n (x) adalah galat pemotongan

7 Bina Nusantara Contoh Cos x = 1 – 1/2! x 2 + 1/4! x 4 + …  1/(2n)! X (2n) + R n (x) = 1 – ½! x 2 +R 1 (x) = 1 – ½! x 2 + ¼! x 4 + R 2 (x) = 1 – ½! x 2 + ¼! x 4 – 1/6! x 6 + R 3 (x) = 1 – ½! x 2 + ¼! x 4 – 1/6! x 6 + ¼! x 8 + R 4 (x) R 1 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -1 R 2 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -2 R 3 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -3 R 4 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -4

8 Bina Nusantara Galat pembulatan timbul akibat penggunaan alat hitung (misalnya, kalkulator, komputer) yang kemampuannya terbatas Contoh: 1. Kalkulator/komputer dalam menyajikan bilangan 1/3 = … yang tidak pernah tepat 1/3. Untuk perhitungan tiga desimal, 1/3 = Terdapat galat pembulatan = … Untuk perhitungan 6 desimal, 1/3 = Terdapat galat pembulatan = … 2. Dalam sistim bilangan biner, (0.1) 10 = ( …) 2  (0.1) 10

9 Bina Nusantara Penyajian bilangan Dalam komputasi numerik, pada umumnya bilangan riil disajikan dalam format “floating point” atau disebut “titik kambang” yang dinormalkan. Format floating point ternormalisasi: x =  m.  p  tanda; m mantisa;  bilangan pokok; p eksponen m = 0.d 1 d 2 d 3 …d k   -1  m <1 Untuk sistim bilangan desimal, maka  =  m <1; 1  d1 < 9; 0  dk < 9 Untuk sistim bilangan biner, maka  =  m <1; d1=1 ; 0  dk  1

10 Bina Nusantara Contoh: 1. Sistim bilangan desimal sering juga ditulis E+04 (= 7392) sering juga ditulis E+02 (= ) sering juga ditulis E-03 (= )

11 Bina Nusantara 2. Sistim bilangan biner Untuk komputer 32 bit word, 1 bit untuk tanda, 7 bit untuk eksponen bertanda dan 24 bit untuk mantisa Pangkat bertanda Tanda 0 = + 1 = - Mantisa X = =

12 Bina Nusantara Contoh: 1. a = 3,141592; â = 3,142 â mendekati a teliti sampai tiga desimal

13 Bina Nusantara Bilangan â disebut mendekati a sampai pada d digit- digit yang signifikan bila d adalah bilangan positif terbesar yang memenuhi: Batas Penghampiran

14 Bina Nusantara Error Measures True value = Approximate value + Error  = Error = True value - Approximate value  r = relative error d = significant digits

15 Bina Nusantara Example Pi ~ Better approximation x = Find the error, relative error and the number of significant digits in the approximation.

16 Bina Nusantara Error Perkiraan  A is the approximate error between the current approximate value and our previous approximate value

17 Bina Nusantara Contoh Estimate exp(x) for x = 0.5 by adding more and more terms to the sequence and computing the errors after adding each new term. Add terms until the estimate is valid to three significant digits. From a calculators x =

18 Bina Nusantara Contoh Gunakan hanya termin I dari barisan Gunakan termin I, II dan seterusnya dari barisan # TerminHasil 

19 Bina Nusantara Deret Taylor Deret Taylor dapat digunakan untuk memperkirakan nilai suatu fungsi pada satu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunannya pada titik lainnya. Setiap fungsi kontinu dapat didekati dengan suatu polinomial. Teorema: Suatu fungsi yang mempunyai turunan sampai orde (n+1) dan kontinu dalam selang [a,b] dan memuat X 0, maka f dapat diperluas (diekspansikan) dalam deret Taylor, yaitu: f(x) = f(x 0 ) + f (’) (x 0 ) (x-x 0 ) + ½! f (”) (x 0 ) (x-x 0 ) 2 + 1/3! f (3) (x 0 ) (x-x 0 ) 3 + … + 1/n! f (n) (x 0 ) (x-x 0 ) n + R n R n =truncated error

20 Bina Nusantara Secara geometris, deret Taylor mempunyai arti: apabila harga suatu fungsi diketahui di x = x 0, maka harga fungsi tersebut dapat dihitung disekitar x 0 Contoh:  1 = 1; Tentukan  1,01=? Jawban: f(x) =  x = (x) 1/2, dengan x = 1,01 dan x 0 = 1 dan x – x 0 = 0,01  f (‘) (x) = ½ x -1/2,   f (‘) (1) = ½ = 0,5 f (“) (x) = -1/4 x -3/2,  f (“) (1) = - ¼ = - 0,25 f (3) (x) = 3/8 x -5/2,  f (3) (1) = 3/8 = 0,375 f (4) (x) = -15/16 x -7/2,  f (4) (1) = -15/16 = - 0,9375

21 Bina Nusantara n01234 f (n) (1)10,5-0,250,375- 0,9375 f(x) = f(x 0 ) + f (’) (x 0 ) (x-x 0 ) + ½! f (”) (x 0 ) (x-x 0 ) 2 + 1/3! f (3) (x 0 ) (x-x 0 ) 3 + … + 1/n! f (n) (x 0 ) (x-x 0 ) n + … = 1 + (0,5)(0,01) + (0,5)(-0,25)(0,01) 2 + (0,16667)(0,375)(0,01) 3 + (0,04167)(-0,9375)(0,01) 4 + … = 1, (perhitungan tujuh desimal) Selanjutnya

22 Bina Nusantara Misalkan dua buah bilangan a 1 dan a 2 dengan nilai hampirannya masing-masing â 1 dan â 2 Maka: a 1 = â 1  e 1  e r1 = e 1 / â 1 a 2 = â 2  e 2  e r2 = e 2 / â 2 Perambatan galat dari a 1 dan a 2 pada: 1.Penjumlahan A = a 1  a 2 = (â 1  e 1 )  (â 2  e 2 ) = (â 1  â 2 )  (e 1 + e 2 ) = (â 1  â 2 )  e A e A = e 1 + e 2, yaitu galat absolut dari penjumlahan (  ) PerambatanGalat

23 Bina Nusantara 2. Perkalian B = a 1. a 2 = (â 1  e 1 ).(â 2  e 2 ) = (â 1. â 2 )  (â 1 e 2 + â 2 e 1 + e 1 e 2 ) = (â 1. â 2 )  e B e B = (â 1 e 2 + â 2 e 1 + e 1 e 2 )  e rB = e r1 +e r2 3. Pembagian P= (â 1 / â 2 )  e P  e P =

24 Bina Nusantara Soal Latihan 1.Diketahui b= , Bila b dinyatakan dalam 4 desimal, berapakah relatif errornya? 2. π=3, …, bila π dinyatakan dalam 6 desimal, hitunglah error relatif jika: a. dilakukan pemotongan tanpa pembulatan? b. dilakukan pemotongan dengan pembulatan? 3. Diketahui p=2,25 dan q=100 (nyatakan batas mutlak desimal sebagai error) a. Tentukan error mutlak dari p.q b. Tentukan error relatif dari p+q Catatan : Misalnya 10,2 adalah bilangan 1 desimal maka batas mutlaknya (0,1)/2 =0,05


Download ppt "ANALISIS GALAT (Error) Pertemuan 2 Matakuliah: METODE NUMERIK I Tahun: 2008."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google