Metode Dekomposisi LU Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Metode Numerik Ir. Kutut Suryopratomo, MT, MSc Teknik Fisika, Universitas Gadjah Mada

Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem Persamaan Linier (SPL) banyak dijumpai dalam keteknikan, terlebih saat berurusan dengan penyelesaian persamaan diferensial parsial. SPL melibatkan n persamaan dengan n variabel (xi) yang harus ditentukan nilainya:

Sistem Persamaan Linier SPL bisa ringkas ditulis dalam bentuk matriks:

Metode2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Metode penyelesaian SPL secara umum ada 2 macam, yaitu: Metode eliminasi: Gauss Gauss-Jordan Dekomposisi LU Metode iterasi: Jacobi Gauss-Seidel

Metode2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Di sini hanya akan dibahas 3 metode dari semua yang disebutkan tadi, yaitu: Metode Eliminasi Gauss Metode Dekomposisi LU Metode Iterasi Gauss-Seidel

Penyelesaian SPL (Sistem Persamaan Linier) Metode Dekomposisi LU Penyelesaian SPL (Sistem Persamaan Linier)

Ide Dasar Metode Dekomposisi LU Matriks koefisien [A] dalam SPL [A][X] = [B] Didekomposisi menjadi 2 matriks tridiagonal bawah [L] dan atas [U]:

Ide Dasar Metode Dekomposisi LU Elemen dalam matriks tridiagonal bawah [L] adalah faktor pengali dalam proses eliminasi kolom. Elemen dalam matriks tridiagonal atas [U] adalah elemen dalam matriks hasil eliminasi.

Ide Dasar Metode Dekomposisi LU Hasil dekomposisi dipakai untuk manipulasi sbb: Kesimpulannya: [X] bisa diperoleh dari [U][X] = [Y], dengan [Y] bisa diperoleh dari [L][Y] = [B].

Ide Dasar Metode Dekomposisi LU  SPL [A][X] = [B] bisa diselesaikan dengan dekomposisi LU melalui 3 tahap berikut: Dekomposisi [A] menjadi matriks tridiagonal bawah [L] dan atas [U] Selesaikan [L][Y] = [B] untuk mendapatkan [Y] Selesaikan [U][X] = [Y] untuk mendapatkan [X]

Contoh: Tabel data Waktu, t (detik) Kecepatan, v (m/s) 5 106,8 8 177,2 Tabel merekam data kecepatan roket pada tiga saat waktu. Kecepatan bisa dimodelkan dengan polinom orde-2: v(t)=a0+a1.t+a2t2 Dengan persamaan ini bisa ditentukan kecepatan pada waktu dalam rentang 5-12 detik. Waktu, t (detik) Kecepatan, v (m/s) 5 106,8 8 177,2 12 279,2

Contoh: Sebaran data

Contoh: Sistem Persamaan Linier

Contoh: Dekomposisi [A] Eliminasi kolom 1 Baris 2 dikurangi baris 1 yang dibobot dengan (a21/a11) = 1/1 = 1.

Contoh: Dekomposisi [A] Eliminasi kolom 1 Baris 3 dikurangi baris 1 yang dibobot dengan (a31/a11) = 1/1 = 1.

Contoh: Dekomposisi [A] Eliminasi kolom 2 Baris 3 dikurangi baris 2 yang dibobot dengan (a32/a22) = 7/3.

Contoh: Hasil dekomposisi [A] SPL asal [A][X]=[B] kini menjadi [L][U][X]=[B].

Contoh: Evaluasi [Y] dari [L][Y]=[B] Dari [L][Y] = [B] bisa diperoleh [Y] sbb:

Contoh: Evaluasi [X] dari [U][X]=[Y] Dari [U][X] = [Y] bisa diperoleh [X] sbb:

Contoh: Persamaan hasil Hubungan kecepatan dan waktu dalam rentang waktu 5 sampai 12 detik adalah:

Matriks kebalikan dari matriks persegi (square) Matriks Inverse Matriks kebalikan dari matriks persegi (square)

Kegunaan Matriks Invers Matriks invers bisa digunakan untuk, misalnya menyelesaikan SPL. Idenya demikian:

Matriks Invers Definisi Kebalikan (inverse) matriks persegi [A] didefinisikan sebagai [K] yang memenuhi hubungan: dengan [I] adalah matriks identitas:

Invers Matriks Ide Dasar Matriks [K] yang merupakan invers [A]: atau: bisa ditentukan per kolom dengan cara sama seperti menyelesaikan SPL.

Invers Matriks Ide Dasar  Kolom 1 matriks [K] diperoleh dari penyelesaian SPL: Kolom 2 matriks [K] diperoleh dari penyelesaian SPL:

Invers Matriks Ide Dasar Kolom 3 matriks [K] diperoleh dari penyelesaian SPL: Dst sampai akhirnya kolom n matriks [K] diperoleh dari: Masing2 SPL bisa diselesaikan dengan metode eliminasi / dekomposisi LU.

Invers Matriks Contoh Penerapan SPL pada contoh sebelumnya ditinjau lagi untuk diselesaikan dengan matriks invers:

Invers Matriks Contoh Penerapan [K] = [A]-1 ditentukan dari hubungan: dengan menerapkan metode eliminasi Gauss atau dekomposisi LU.

Invers Matriks Contoh Penerapan [K] lalu bisa ditentukan dengan eliminasi / dekomposisi LU. Di sini diambil metode LU. Untuk kolom-1:

Invers Matriks Contoh Penerapan Rincian untuk kolom-1:

Invers Matriks Contoh Penerapan Untuk kolom-2:

Invers Matriks Contoh Penerapan Rincian untuk kolom-2:

Invers Matriks Contoh Penerapan Untuk kolom-3:

Invers Matriks Contoh Penerapan Rincian untuk kolom-3:

Invers Matriks Contoh Penerapan Dengan [A]-1 = [K] maka [X] = [A]-1 [B]

Invers Matriks Contoh Penerapan Hubungan kecepatan dan waktu dalam rentang waktu 5 sampai 12 detik adalah: