PRESENTASI KALKULUS LANJUT 1 Kelompok 9 Yuanita Dyah Ristianasari (4101414063) Ekawati Yuli Setyaningsih (4101414065) Amelia Octaviasari (4101414066)

dalam bahasan: INTEGRAL TAK WAJAR dan PENGENALAN DERET

INTEGRAL TAK WAJAR PADA SELANG HINGGA Untuk fungsi f yang terintegralkan Riemann pada selang [a,b], definisi integralnya adalah   Hanya mempunyai arti bila a dan b berhingga.

Konsep ini akan kita perluas untuk daerah asal fungsi f berbentuk: Selang hingga (a,b], [a,b) dan himpunan [a,c) (c,b], atau gabungan kasusnya. Selang tak higga [a,∞),(-∞,b], dan (-∞,∞), yang dapat juga memuat kasus hingga.

Untuk integral tak wajar pada selang hingga, terdapat tiga definisi untuk kasus ini:

Kasus 1 . Misalkan untuk setiap dengan fungsi f terintegralkan Riemann pada , dan andaikan Dalam hal ini integral tak wajar dari fungsi f pada (a,b] didefinisikan sebagai: Disini dikatakan bahwa integral tak wajar konvergen ke L. Kemudian, jika atau tidak ada, maka integral tak wajar dikatakan divergen.

x Y x=b x=a f c = a+ a 

Contoh: Fungsi kontinu pada selang (1,5] dengan integral tak wajar dari fungsi f pada selang [1,5] adalah Jadi integral tak wajar dari fungsi f pada selang [1,5] konvergen ke 4.

Kasus 2 2. Misalkan untuk setiap dengan , fungsi f terintegralkan Riemann pada [a,b- , , , dan andaikan Dalam hal ini integral tak wajar dari fungsi f pada [a,b) didefinisikan sebagai; Disini dikatakan bahwa integral tak wajar konvergen ke L. Kemudian, jika atau tidak ada, Integral tak wajar dikatakan divergen.

f x a b b- = d x=b x=a  Y

Kasus 3 3. Misalkan fungsi f terintegralkan pada himpunan [a,c) dengan integral tak wajar konvergen ke L dan konvergen ke M. Dalam hal ini integral tak wajar dari fungsi f pada [a,b] didefinisikan sebagai Disini dikatakan bahwa integral tak wajar konvergen ke L+M. jika ada satu integral tak wajar tersebut yang divergen, dikatakan divergen.

f x=c a c b X Y

Contoh Soal 1 Pembahasan 1. Tunjukkan integral tak wajar ini konvergen atau divergen. (Berkey halaman 503) * Pembahasan

INTEGRAL TAK WAJAR PADA SELANG TAK HINGGA Kita mempunyai tiga definisi untuk integral tak wajar pada selang tak hingga : . Misalkan fungsi f terintegralkan Riemann untuk setiap selang tertutup [a,b] dan andaikan

Dalam hal ini integral tak wajar dari fungsi f pada [a, ] didefinisikan sebagai: Disini dikatakan bahwa integral tak wajar konvergen ke L. kecuali jika atau tidak ada, integral tak wajar dikatakan divergen.

Dalam integral tak wajar, jika nilai integralnya ada maka dikatakan integral tersebut konvergen, dan jika tidak ada, maka dikatakan divergen. b→ ∞ Y X a b

2. Misalkan fungsi f terintegralkan Riemann untuk setiap selang tertutup [a,b] dan andaikan .Dalam hal ini integral tak wajar dari fungsi f pada ( didefinisikan sebagai: Disini dikatakan bahwa integral tak wajar konvergen ke L. Kemudian jika atau tidak ada, integral tak wajar dikatakan divergen.

Y X a a→-∞ b f

3. Misalkan fungsi f terintegralkan Riemann untuk setiap selang tertutup yang hingga, dengan integral tak wajar konvergen ke L dan konvergen M. dalam hal ini integral tak wajar dari fungsi f pada didefinisikan sebagai

Disini dikatakan bahwa integral tak wajar konvergen ke L+M Disini dikatakan bahwa integral tak wajar konvergen ke L+M. Jika salah satu integral tak wajar tersebut divergen, dikatakan divergen.

Y X f a b c

Contoh : Fungsi kontinu pada selang Integral tak wajar dari fungsi f pada selang ini adalah: Jadi integral tak wajar dri fungsi f pada selang konvergen ke

Integral tak wajar pada selang tak hingga mungkin juga memuat integral tak wajar pada selang hingga.

Misalkan fungsi f terintegralkan secara Riemann untuk setiap selang tertutup [a+ , b], > 0 dengan Andaikan pada selang [a,c] integral tak wajar konvergen ke L dan konvergen ke M. Dalam hal ini integral tak wajar dari fungsi f pada didefinisikan sebagai

Disini dikatakan bahwa integral tak wajar konvergen ke L + M. Jika salah satu integral tak wajar tersebut divergen , dikatakan divergen. Integral tak wajar pada selang tak hingga dan yang memuat integral tak wajar pada selang hingga didefinisikan dengan cara serupa.

Penyelesaian integral tak wajar: 1. Temukan ketakwajaran 2. Nyatakan sebagai limit integral wajar 3. Hitung integral wajarnya 4. Hitung limitnya 5. Nilai limitnya ada, dikatakan integral tak wajar bersifat konvergen

Contoh SOAL 2 Pembahasan 2. Tentukan hasil dari integral tak wajar berikut (K. Martono 2 hlm.252) * Pembahasan

PENGENALAN BARISAN DAN DERET

BARISAN MONOTON Definisi Barisan (a) dikatakan naik jika untuk setiap n = 1, 2, 3, ... (b) dikatakan tidak turun jika untuk setiap n = 1, 2, 3, ... (c) dikatakan turun jika untuk setiap (d) dikatakan tidak naik jika untuk

Suatu barisan yang tidak turun atau tidak naik disebut monoton, sedangkan barisan yang naik atau turun disebut monoton murni.

Pengujian kemonotonan a) Untuk sembarang barisan Klasifikasi Barisan turun Barisan naik Barisan tidak naik Barisan tidak turun

b) Untuk barisan dengan suku-suku positif Klasifikasi Barisan turun Barisan naik Barisan tidak naik Barisan tidak turun

Contoh (a) Barisan adalah naik. Bukti: Cara 1: Jelas dan Untuk berlaku ⟺ Jadi barisan naik.

Cara 2: Jelas

(b) Barisan 1, 1, 2, 2, 3, 3,. adalah tidak turun (b) Barisan 1, 1, 2, 2, 3, 3,... adalah tidak turun. (c) Barisan adalah turun. (d) Barisan adalah tidak naik. (e) Barisan adalah barisan tidak monoton.

BARISAN TERBATAS Konsep keterbatasan barisan bilangan real dirancang seperti keterbatasan fungsi pada suatu selang, definisinya sebagai berikut. Definisi: Barisan bilangan real dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real m dan M sehingga untuk setiap .

Contoh: Selidikilah keterbatasan barisan bilangan real berikut. Penyelesaian: Karena , maka untuk setiap , akibatnya adalah suatu barisan terbatas.

Deret Tak Hingga dan Notasi Sigma Barisan tak terhingga (infinite sequence) adalah fungsi daerah asal (domain) nya adalah himpunan bulat positif dan daerah hasil (range)-nya adalah himpunan bilangan real. Kita dapat menotasikan sebuah barisan dengan dengan atau secara sederhana dengan

Contoh: Sebuah barisan dapat ditentukan dengan memberikan suku awal yang cukup untuk membentuk sebuah pola, seperti pada 1, 4, 7, 19, 13, . . . Dengan sebuah rumus eksplisit (explicit formula) untuk suku ke-n, adalah:

Dinyatakan dengan sebuah rumus rekursi (recursion formula) Dari ketiga rumus tersebut,melukiskan barisan yang sama.

Perhatikan Jumlah Parsial Berikut:

Jumlah-jumlah parsial tersebut semakin mendekati 1 Jumlah tak terhingga kemudian didefinisikan sebagai limit dari jumlah parsial

Perhatikan deret tak hingga berikut: yang juga dapat dilambangkan dengan . Maka jumlah parsial ke-n (n-th partial sum), dapat dinyatakan dengan

Notasi Sigma a) b)

DERET PANGKAT Ada bermacam-macam jenis deret yang telah kita ketahui, contohnya deret aritmatika, deret geometri, dan deret tak hingga yang telah dijelaskan sebelumnya.

Pada bagian ini akan dijelaskan sebuah deret di mana suku ke n adalah perkalian konstanta a dengan xn atau perkalian konstanta a dengan (x - c)n. Hal ini disebut dengan deret pangkat, karena suku-sukunya adalah perkalian pangkat dari x atau (x - c).

Definisi Deret Pangkat Ungkapan berbentuk disebut deret pangkat dalam dan berpusat di sedangkan ungkapan berbentuk disebut deret pangkat dalam dan berpusat di Suku disebut suku ke-n. Bilangan c disebut pusat.

Contoh: (1) (2) (3) Dilihat dari contoh-contoh di atas, deret pangkat terlihat seperti polinom, namun deret pangkat bukanlah polinom karena suku penjumlahannya tak berhingga.

TEOREMA Andaikan S(x) adalah jumlah sebuah deret pangkat pada sebuah selang I,maka dan

DERET KUASA Deret kuasa adalah deret tak hingga yang berbentuk . Deret tak terhingga ini selalu konvergen untuk , untuk suatu bilangan positif R. R dalam hal ini disebut radius konvergensi dari deret kuasa di atas. Deret kuasa yang hanya menekankan kepada koefisien – koefisien dari , dikenal dengan Deret Kuasa Formal.

Bentuk umum deret kuasa dalam (x-a) yaitu: ( Bentuk umum deret kuasa dalam (x-a) yaitu: (*) Sedang untuk a=0 maka bentuk deretnya sebagai berikut: (**) Deret kuasa bentuk (*) konvergen untuk x=a dan deret kuasa bentuk (**) konvergen untuk x=0 (yaitu konvergen ke a0).

Rumus – rumus dasar:

15) Teorema Binomial Untuk bilangan real u, bilangan non negative k, dan berlaku: di mana

Misalkan adalah sebuah barisan bilangan Misalkan adalah sebuah barisan bilangan. Fungsi pembangkit biasa (ordinary generating function) dari barisan adalah deret kuasa.

Contoh: Tentukan FPB dan bentuk umum dari deret kuasanya jika diketahui: untuk Penyelesaian: Jelas dan , dengan syarat .

3. DERET TELESKOPIS Sifat penting dari jumlah suku – suku yang banyaknya berhingga adalah sifat teleskopis seperti berikut. Bila sifat ini dapat diterapkan pada deret takhingga yakni dapat dinyatakan dalam bentuk , maka deret seperti itu disebut Deret Teleskopis.

Contoh: Andaikan maka Sehingga diperoleh Dengan demikian

4. DERET DENGAN SUKU – SUKU POSITIF Suatu deret yang suku-sukunya adalah positif disebut deret positif. Deret suku positif dapat dinyatakan sebagai

Contoh: 1) 2) 3)

5. DERET DENGAN SUKU – SUKU NEGATIF Suatu deret yang suku – sukunya adalah negatif yang dapat dinyatakan sebagai negatif dari deret dengan suku – suku positif. Jadi :

Contoh:

6. DERET GANTI TANDA Deret alternating (deret berayun / deret ganti tanda) adalah suatu deret yang suku – sukunya bergantian tanda dari positif ke negatif dan seterusnya. Ditulis sebagai: yang mana setiap adalah positif.

Contoh:

7. DERET GEOMETRI Bentuk umum deret geometri adalah Jumlah parsial deret ini adalah yang dapat ditulis sebagai

Contoh : Dipunyai suatu deret geometri : 81 + 27 + 9 + 3 + 1+…. a) Tentukan rumus suku ke n (Un)! b) Suku keberapakah ?

Penyelesaian: Dipunyai : a = 81 , r = a) rumus :  

b) Jadi, adalah suku ke 10.

Terimakasih