Regresi Non-Linier Metode Numerik Oleh: Ir. Kutut Suryopratomo, MT., MSc. Teknik Fisika, Fakultas Teknik, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta, Indonesia

Pengertian Regresi Regresi: perumusan/pemodelan asosiasi antara satu variabel dependen dan satu/lebih variabel independen, dalam bentuk persamaan yang memungkinkan penaksiran nilai variabel dependen. Dalam Regresi Linier, model yang dipilih dalam perumusan asosiasi adalah persamaan linier. y = f(x) = ax + b Dalam Regresi Nonlinier, model yang dipilih dalam perumusan asosiasi adalah persamaan nonlinier. y = f(polinom, eksponensial, pangkat, dll.)

Regresi vs. pola sebaran data Jika diketahui n pasangan data: (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3),… , (xn,yn) dengan x variabel independen dan y variabel dependen. Pada data akan dipaskan suatu fungsi y = f(x) yang paling bisa mengikuti pola perubahan y vs. x. Jika pola sebaran data memperlihatkan kecenderungan linier, maka diambil regresi linier. Jika pola sebaran data memperlihatkan kecenderungan nonlinier, maka diambil regresi nonlinier.

Pola Sebaran Data Cenderung Linier

Pola Sebaran Data Cenderung Nonlinier

Pola Sebaran Data Cenderung Nonlinier

Regresi Nonlinier Dalam regresi nonlinier, model regresi yang sering dipilih adalah: Model exponensial Model pangkat Model pertumbuhan jenuh Model polinomial Fungsi tersebut dipaskan pada n pasangan data: (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3),… , (xn,yn) dengan mengatur nilai koefisiennya.

Regresi Nonlinier Pas (cocok) atau tidaknya model regresi dengan data bisa dilihat dari seberapa jauh nilai data bisa didekati oleh nilai taksiran regresi. Oleh karena itu didefinisikanlah error sebagai selisih antara nilai data dan nilai taksiran fungsi regresi: Error, i = yi – f(xi) dengan i=1..n

Model Regresi Eksponensial Uraian Rinci

Regresi Nonlinier: Model Eksponensial Pada himpunan data (xi,yi) dengan i=1..n akan diregresikan model eksponensial, f(x) = a.ebx. Error regresi (selisih antara nilai data & taksiran fungsi regresi) adalah: Error, i = yi – f(xi) = yi – a.ebxi. dengan i=1..n

Error dalam Regresi Non-Linier

Kriteria Error sbg Syarat Pengepasan Suatu fungsi regresi bisa dipandang paling pas jika errornya minimum. Kriteria error yang paling bisa dipakai untuk menentukan koefisien persamaan regresi adalah jumlah kuadrat error, S = (i)2 Nilai jumlah kuadrat error, (i)2 diminimalkan dengan menolkan turunannya terhadap koefisien2 persamaan regresi.

Meminimalkan Jumlah Kuadrat Error Metode “Least Square” Turunan S terhadap a dinolkan: Turunan S terhadap b dinolkan:

Meminimalkan Jumlah Kuadrat Error Metode “Least Square” Hasilnya: Koefisien a dari persamaan 1 bisa disulihkan ke persamaan 2 sehingga diperoleh persamaan nonlinier dalam b:

Meminimalkan Jumlah Kuadrat Error Metode “Least Square” Persamaan nonlinier dalam b ini: bisa diselesaikan dengan metode bisection atau secant.

Contoh:

Lembar Kerja Excel copy copy copy

Model Regresi Polinomial Uraian Rinci

Regresi Nonlinier: Model Polinomial Pada himpunan data (xi,yi) dengan i=1..n akan diregresikan model polinomial, f(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + … + am.xm, dengan m ≤ (n-1). Error regresi (selisih antara nilai data dan nilai taksiran fungsi regresi): Error, i =yi – f(xi)=yi–(a0+a1.xi+…+am.xim). dengan i=1..n Jumlah kuadrat error:

Error dalam Regresi Non-Linier

Kriteria Error sbg Syarat Pengepasan Suatu fungsi regresi bisa dipandang paling pas jika errornya minimum. Kriteria error yang paling bisa dipakai untuk menentukan koefisien persamaan regresi adalah jumlah kuadrat error, S = (i)2 Nilai jumlah kuadrat error, (i)2 diminimalkan dengan menolkan turunannya terhadap koefisien2 persamaan regresi.

Meminimalkan Jumlah Kuadrat Error Metode “Least Square” Turunan S terhadap ai (i=0..m) dinolkan:

Meminimalkan Jumlah Kuadrat Error Metode “Least Square” atau:

Meminimalkan Jumlah Kuadrat Error Metode “Least Square” atau:

Meminimalkan Jumlah Kuadrat Error Metode “Least Square” Dalam bentuk matriks: dengan penjumlahan () dilakukan untuk i=1..n. Matriks lalu bisa diselesaikan untuk memperoleh ai.

Koef. Ekspansi,  (in/(inoF)) Contoh: Tabel data Data hubungan koefisien ekspansi termal () dg suhu (T) akan diregresi dengan fungsi polinom orde-2: (T) = a0+ a1.T + a2.T2 karena sebarannya cenderung kuadratik. Sarana: Microsoft Excel Suhu, T (oF) Koef. Ekspansi,  (in/(inoF)) 80 6,47E-06 40 6,24E-06 -40 5,72E-06 -120 5,09E-06 -200 4,30E-06 -280 3,33E-06 -340 2,45E-06

Contoh: Sebaran data

Contoh: Koefisien model Dalam bentuk matriks: dengan penjumlahan () dilakukan untuk i=1..n. Matriks lalu bisa diselesaikan untuk memperoleh ai.

Contoh: Koefisien model Dalam bentuk matriks: Matriks ditata ulang (pivoting) lalu diselesaikan untuk memperoleh ai dengan cara eliminasi.

Contoh: Koefisien model Hasil eliminasi: Substitusi mundur memberikan nilai ai berikut:

Contoh: Data vs. Kurva Regresi

Contoh: % Error Regresi

Linearisasi Model Nonlinier Linearisasi data eksponensial dengan transformasi logaritma + Regresi Linier

Transformasi Data: Linierisasi Data Nonlinier Ada kalanya himpunan data (xi,yi) yang memperlihatkan kecenderungan nonlinier bisa ditransformasi sehingga kecenderungannya menjadi linier. Transformasi bisa dilakukan dengan menggunakan fungsi kebalikan dari kecenderungan data aslinya: Data ekponensial dilinierkan dengan fungsi log. Data pangkat dilinierkan dengan fungsi log. Data kuadratik dilinierkan dengan akar kuadrat, dlsb.

Transformasi Data: Linierisasi Data Nonlinier (Eksponensial) Banyak proses fisik atau kimiawi bisa dimodelkan oleh persamaan ekponensial: Model nonlinier ini bisa diubah menjadi linier melalui transformasi dengan fungsi log: Koefisien2 model a0 & a1 selanjutnya bisa ditentukan dengan regresi linier.

Koefisien Model Linier Koefisien a0 Koefisien a1

Koefisien Model Nonlinier (Eksponensial) Setelah koefisien a0 dan a1 diperoleh, nilai koefisien model nonlinier aslinya bisa ditentukan sebagai:

I (intensitas relatif) Contoh: Tabel data Untuk pemindaian batu ginjal biasa diinjeksikan beberapa tetes isotop Teknesium-99. Separonya akan meluruh tiap 6 jam. Perlu 24 jam agar radiasinya kembali ke tingkat alamiahnya. Sarana: Microsoft Excel t (jam) I (intensitas relatif) 1 0,89 3 0,71 5 0,56 7 0,45 9 0,36

Contoh: Sebaran data

Contoh: Transformasi data Proses peluruhan isotop dimodelkan oleh persamaan ekponensial: Model nonlinier ini bisa diubah menjadi linier melalui transformasi dengan fungsi log: Koefisien2 model a0 & a1 selanjutnya bisa ditentukan dengan regresi linier.

Contoh: Koefisien Model Linier Koefisien a0 Koefisien a1

Contoh: Lembar Kerja Excel D E 1 i ti zi (ti)^2 ti.zi 2 =LN(B16) =B2^2 =B2*C2 3 4 5 6 7 9 8 å = =SUM(B2:B7) n = =A7 10 a0 = =(C8*D8-E8*B8)/(B9*D8-B8^2) 11 a1 = =(B9*E8-B8*C8)/(B9*D8-B8^2) 12 A = =EXP(B10) 13 Lambda = =B11 copy copy copy copy

Contoh: Data vs. Kurva Regresi

Contoh: % Error Regresi