Suku Banyak Dan Teorema Sisa Oleh Sujinal Arifin

tayangan ini anda dapat Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan hasilbagi dan sisa pembagian sukubanyak oleh bentuk linear atau kuadrat

Pengertian Sukubanyak (P o l i n o m) Bentuk: anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 dinamakan sukubanyak dalam x yang berderajat n ak adalah koefisien xk, a0 disebut suku tetap

Contoh Tentukan derajat dan koefisien: x4 dan x2 dari suku banyak x5 - x4 + x3 – 7x + 10 Jawab: derajat suku banyak = 5 koefisien x4 = -1 koefisien x2 = 0

dapat dinyatakan dengan P(x). Nilai Sukubanyak polinum anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 dapat dinyatakan dengan P(x). Nilai sukubanyak P(x) untuk x = a adalah P(a)

Tentukan nilai suku banyak Contoh Tentukan nilai suku banyak 2x3 + x2 - 7x – 5 untuk x = -2 Jawab: Nilainya adalah P(-2) = 2(-2)3 + (-2)2 - 7(-2) – 5 = -18 + 4 + 14 – 5 = -5

Pembagian Sukubanyak dan Teorema Sisa

Pembagian sukubanyak P(x) oleh (x – a) dapat ditulis dengan P(x) = (x – a)H(x) + S Keterangan: P(x) sukubanyak yang dibagi, (x – a) adalah pembagi, H(x) adalah hasil pembagian, dan S adalah sisa pembagian

Teorema Sisa Jika sukubanyak P(x) dibagi (x – a), sisanya P(a) dibagi (ax – b) sisanya P(b/a)

Contoh 1: Tentukan sisanya jika 2x3 – x2 + 7x + 6 dibagi x + 1 atau dibagi x – (-1) Jawab: sisanya adalah P(-1) = 2.(-1)3 – (-1)2 + 7(-1) + 6 = - 2 – 1 – 7 + 6 = -4

Contoh 2: Tentukan sisa dan hasil baginya jika x3 + 4x2 - 5x – 8 dibagi x - 2 Jawab: Dengan teorema sisa, dengan mudah kita dapatkan sisanya, yaitu P(2) = 8 + 16 - 10 - 8 = 6

hasilbaginya kita gunakan: Pembagian Horner: dengan menggunakan bagan tapi untuk menentukan hasilbaginya kita gunakan: Pembagian Horner: dengan menggunakan bagan seperti berikut:

x3 + 4x2 - 5x – 8 dibagi x - 2 1 4 -5 -8 koefisien Polinum 2 1 2 12 14 6 7 6 Sisanya 6 Koefisien hsl bagi Jadi hasil baginya: x2 + 6x + 7 artinya dikali 2

Contoh 3: Tentukan sisa dan hasil baginya jika 2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x - 1

Jawab: (2x3 - 7x2 + 11x + 5) : (2x – 1) Sisa: P(½) = 2(½)3 – 7(½)2 + 11.½ + 5 = 2.⅛ - 7.¼ + 5½ + 5 = ¼ - 1¾ + 5½ + 5 = 9

2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1 Dapat ditulis: 2x3 – 7x2 + 11x + 5 =(2x -1)H(x) + S Pembagi : 2x - 1 Hasil bagi : H(x) Sisa : S Kita gunakan pembagian horner

2 -7 11 5 koefisien Polinum 2 1 -3 4 -6 8 9 ½ Sisanya 9 2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1 →x = 2 -7 11 5 koefisien Polinum + ½ 2 1 -3 4 -6 8 9 Sisanya 9 Koefisien hasil bagi Sehingga dapat ditulis : artinya dikali ½

2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1 Dapat ditulis: 2x3 – 7x2 + 11x + 5 Pembagi : 2x - 1 Hasil bagi : x2 – 3x + 4 Sisa : 9

Contoh 4: Nilai m supaya 4x4 – 12x3 + mx2 + 2 habis dibagi 2x – 1 adalah…. Jawab: habis dibagi → S = 0 P(½) = 0 4(½)4 – 12(½)3 + m(½)2 + 2 = 0

P(½) = 0 4(½)4 – 12(½)3 + m(½)2 + 2 = 0 ¼ - 1½ + ¼m + 2 = 0 ¼m = -¼ + 1½ - 2 (dikali 4) m = -1 + 6 – 8 m = -3 Jadi nilai m = -3

Pembagian Dengan (x –a)(x – b) Bentuk pembagiannya dapat ditulis sebagai P(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x) berarti: P(a) = S(a) dan P(b) = S(b) Catatan: S(x) berderajat 1, misal px + q

Contoh 1: Suku banyak (x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6) dibagi (x2 – x – 2), sisanya sama dengan….

Jawab: Bentuk pembagian ditulis: P(x) = (x2 – x – 2)H(x) + S(x) Karena pembagi berderajat 2 maka sisa = S(x) berderajat 1 misal: sisanya px + q

sehingga bentuk pembagian ditulis: x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x2 – x – 2)H(x) + px + q = (x + 1)(x – 2)H(x) + px + q Dibagi (x + 1) bersisa P(-1) dibagi (x – 2) bersisa P(2)

P(-1) = (-1)4 – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6 = 1 + 3 – 5 – 1 – 6 = -8 P(2) = 24 – 3.23 – 5.22 + 2 – 6 = 16 – 24 – 20 + 2 – 6 = -32 P(x) = px + q P(-1) = -p + q = -8 P(2) = 2p + q = -32 -3p = 24  p = -8

p = -8 disubstitusi ke –p + q = -8 8 + q = -8  q = -16 Sisa: px + q = -8x + (-16) Jadi sisa pembagiannya: -8x -16

Contoh 2: Suatu suku banyak bila dibagi oleh x + 2 bersisa -13, dibagi oleh x – 3 sisanya 7. Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x2 – x - 6 bersisa….

Jawab: Misal sisanya: S(x) = ax + b P(x): (x + 2)  S(-2) = -13  -2a + b = -13 P(x): (x – 3) S(3) = 7  3a + b = 7 -5a = -20 a = 4

a = 4 disubstitusi ke -2a + b = -13 -8 + b = -13 b = -5 Jadi sisanya adalah: ax + b 4x - 5

Contoh 3: Jika suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + b dibagi oleh (x2 – 1) memberi sisa 6x + 5, maka a.b=….

Jawab : P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + b P(x) : (x2 – 1)  sisa = 6x + 5 Pembagi : (x2 -1) = (x + 1)(x – 1) Maka: P(x):(x + 1)  sisa =P(-1) 2 - a - 3 - 5 + b = 6(-1) + 5 -a + b – 6 = – 6 + 5 -a + b = 5….(1)

P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + b P(x) : x2 - 1  sisa = 6x + 5 Pembagi : x2 -1 = (x+1) (x-1) Maka: P(x):(x – 1)  sisa =P(1) 2 + a – 3 + 5 + b = 6(1) + 5 a + b + 4 = 6 + 3 – 2 a + b = 7….(2)

b = 6 disubstitusi ke a + b = 7 a + 6 = 7 a = 1 Jadi a.b = 1.6 = 6

Contoh 4: Jika suku banyak 2x3 – x2 + px + 7 dan sukubanyak 2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x + 1) akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai p sama dengan….

Jawab: 2x3 – x2 + px + 7 dibagi (x + 1) Sisanya P(-1) = -1 -1 – a + 7 = 5 - pa

2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x + 1) Sisanya P(-1) = -2 + 3 + 4 – 1 = 4 Karena sisanya sama, Berarti 5 – p = 4 - p = 4 – 5 Jadi p = 1

Contoh 5: Jika suku banyak x3 – 7x + 6 dan sukubanyak x3 – x2 – 4x + 24 dibagi (x + a) akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai a sama dengan….

Jawab: x3 – 7x + 6 dibagi (x + a) Sisanya P(-a) = a3 – 7a + 6 x3 – x2 – 4x + 24 dibagi (x + a) Sisanya P(-a) = a3 – a2 – 4a + 24 Sisanya sama berarti: a3 – 7a + 6 = a3 – a2 – 4a + 24

a3 – 7a + 6 = a3 – a2 – 4a + 24 a2 – 7a + 4a + 6 – 24 = 0 a2 – 3a – 18 = 0 (a + 3)(a – 6) = 0 a = -3 atau a = 6 Jadi nilai a = - 3 atau a = 6

Contoh 6: Jika suku banyak P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3 dibagi oleh (x2 – 4) memberi sisa x + 23, maka a + b=….

Jawab : P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3 P(x) : (x2 – 4)  sisa = x + 23 Pembagi : (x2 – 4) = (x + 2)(x – 2) Maka: P(x):(x + 2)  sisa =P(-2) -16 + 4a + 2b + 3 = (-2) + 23 4a + 2b = 21 + 13 4a + 2b = 34….(1)

P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3 P(x) : x2 - 4  sisa = x + 23 Pembagi : x2 -1 = (x + 2)(x – 2) Maka: P(x):(x – 2)  sisa =P(2) 16 + 4a – 2b + 3 = 2 + 23 4a – 2b + 19 = 25 4a – 2b = 25 – 19 4a – 2b = 6….(2)

a = 5 disubstitusi ke 4a – 2b = 6 20 – 2b = 6 - 2b = -14  b = 7 Jadi a + b = 5 + 7 = 12 +