MATEMATIKA BARISAN DAN DERET Dra. Endang M. Kurnianti, M.Ed

Standar Kompetensi: Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemcahan masalah Kompetensi Dasar: Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan Menerapkan konsep barisan dan deret aritmetika Menerapkan konsep barisan dan deret geometri

A. POLA BILANGAN DAN BARISAN BILANGAN 1. Pola dan Barisan Bilangan a. Pola bilangan ganjil : 1,3,5,7… b. Pola bilangan genap : 2,4,6,8 ... - Pola bilangan adalah aturan suatu barisan bilangan - Barisan bilangan adalah bilangan yang ditulis secara berurutan berdasarkan pola atau aturan tertentu. - Anggota barisan bilangan sebagai berikut. U1, U2, U3 , . . . , Un

B. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA 1.Barisan Aritmetika Bentuk umum barisan aritmetika U1 = a = a + (1 – 1)b U2= U1 + b = a + b = a + (2 – 1)b U3= U2 + b =(a + b) + b = a + 2b = a + (3 – 1)b U4= U3 + b =(a +2b) + b = a + 3b = a + (4 – 1)b Un = a + (n – 1)b , b =Un – Un-1 Un : suku ke-n a : suku pertama n : banyak suku b : beda

Contoh : 1. Diketahui barisan 5, -1 , -7, -13,. , tentukanlah: a Contoh : 1. Diketahui barisan 5, -1 , -7, -13, ... , tentukanlah: a. rumus suku ke-n b. suku ke-20 Jawab suku pertama = a = 5 beda = b = u2 – u1 = – 1 – 5 = – 6 a. Rumus suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah Un = a + (n – 1)b = 5 + (n – 1) – 6 = 5 – 6n +6 = 11 – 6n b. Suku ke-20 barisan aritmetika tersebut adalah U20 = 11 – 6 . 20 = 11 – 120 = – 109

Mencari rumus suku ke n dengan beda yang tidak tetap Contoh: Tentukan rumus suku ke n dari barisan bilangan 3, 7, 13, 21, 31,…. 4, 6, 8, 10 2 2 2 Secara umum rumus suku ke n dari barisan bilangan tersebut dapat ditulis : Un = an2 + bn + c Selanjutnya untuk menentukan nilai a, b dan c dilakukan sebagi berikut: ● 2a = 2 (selalu dari sini) ● a + b + c = 3 a = 1 1 + 1 + c = 3 ● 3a + b = 4 c = 1 3.1 + b = 4 b = 4 - 3 jadi rumus suku ke n dari 3, 7,13,21,31,…. b = 1 adalah Un = n2 + n + 1 a+b+c 3a+b 2a

Contoh Diketahui barisan aritmatika dengan u3 = 3 dan u8 = 13. Tentukan : a. suku pertama dan bedanya b. suku ke-50 Jawab: a. u8 = a + 7b = 13 b. un = a + (n-1)b u3 = a + 2b = 3 _ _ u50 = -1 + (50 – 1).2 5b = 10 = -1 + 49.2 b = 2 = -1 + 98 b = 2  a + 2.2 = 3 = 97 a = -1

1. Tentukan suku ke-n dan suku ke-50 dari barisan aritmetika: Soal 1. Tentukan suku ke-n dan suku ke-50 dari barisan aritmetika: a. -3, 2, 7, 12, … . b. 7, 13, 19, 25, … . 2. Tentukan suku ke-20 jika diketahui suku ke-5 dan suku ke-8 barisan aritmatika adalah masing-masing 27 dan 42 ?

2 Sn = 1 n (2a + ( n - 1 ) b ) Sn = 1 n (a + Un) 2. Deret Aritmatika Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmatika yang mempunyai suku pertama = a, beda = b, dan banyaknya suku = n adalah Sn = 1 n (a + Un) 2 Sn = 1 n (2a + ( n - 1 ) b )

Contoh: Diketahui deret aritmetika dimana suku pertamanya 4 dan bedanya 3. Tentukan: Rumus suku ke n Jumlah 20 suku pertama Jawab : Rumus suku ke n Un= bn + a - b = 3n + 4 - 3 = 3n + 1 Jumlah 20 suku pertama S = 1 n (a + Un) 2 = 1 . 20 (4 + 61) 2 = 650

untuk menentukan suku ke n digunakan rumus : un = arn-1 3. Barisan geometri Barisan geometri memiliki ciri, perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu tetap. contoh : 2, 4, 8, 16, 32,…. u2 = u3 = u4 = 2, jadi rasio (r) = 2 u1 u2 u3 untuk menentukan suku ke n digunakan rumus : un = arn-1 rumus suku ke n baris diatas : un = 2 . 2n-1 un = 2n

sn = a(1-rn) ,r < 1 1-r sn = a(rn - 1) ,r > 1 r - 1 4.Deret geometri deret geometriadalah jumlah dari suku-suku barisan geometri . rumus jumlah n suku pertama deret geometri : sn = a(1-rn) ,r < 1 1-r sn = a(rn - 1) ,r > 1 r - 1 Contoh : Tentukan jumlah dari 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 Jawab : Jumlah n suku pertama pada deret geomatri di cari dengan rumus : Sn = a(1 - rn) , r ≠ 1 rumus ini digunakan jika r < 1 1 - r Sn = a(rn - 1) , r ≠ 1 rumus ini digunakan jika r > 1

Dari contoh didapat : a = 2, r = 2 (r > 1), n = 7 Sn = a(rn - 1) r – 1 S7 = 2(27 - 1) 2 – 1 = 2(128 – 1) = 2.127 = 254

Soal 1) Tentukan suku ke-100 barisan aritmatika : 5, 8, 11, … Soal 1) Tentukan suku ke-100 barisan aritmatika : 5, 8, 11, … ! 2) Tentukan banyaknya suku (n) dari : 3, 6, 9, 12, … ,75 ! 3) Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika : 40, 35, 30,... 4) Carilah jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika : 3 + 5 + 7 + ... 5) Carilah jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 6) Dari suatu barisan geometri diketahui suku pertama = 64 dan suku ke-4 = 1. Carilah rasio dan suku ke-5 dari barisan tersebut !

7) Carilah jumlah 5 suku pertama dari deret geometri : 2 + 4 + 8 + … 7) Carilah jumlah 5 suku pertama dari deret geometri : 2 + 4 + 8 + … ! 8) Carilah n jika: 2 + 22 + 23 + … + 2n = 510

WASSALAM TERIMA KASIH