Seri Kuliah Logika Informatika - Wawan Laksito YS Aljabar Boolean

Difinisi Aljabar Boolean dua-nilai didefinisikan pada sebuah himpunan B dengan dua buah elemen 0 dan 1 (sering dinamakan bit – singkatan dari binary digit), yaitu B = {0, 1}, operator biner : …+… dan …•… , operator uner: …‘.

Kaidah Operasi x y x+y x.y x’ 1

Aksioma NO AKSIOMA SIFAT 1 (x + y)  S (x  y)  S Closure 2 x + (y + z) = (x + y) + z x  (y  z) = (x  y)  z Asosiatif 3 x + 0 = 0 + x = x x  1 = 1  x = x Identitas 4 x + y = y + x x  y = y  x Komutatif 5 x + x’ = 1 x  x’ = 0 Komplemen 6 (x + y)  z = x  z + y  z x  (y + z) = x  y + x  z Distributuf 7 x + (y  z) = (x + y)  (x + z) (x  y) + z = (x + y)  (y+z) Distributif 8 (x + y)’ = x’  y’ (x  y)’ = x’ + y’ DeMorgan’s 9 (x’)’ = x

Teorema Dualitas x + x = x dan x  x = x x + 1 = 1 dan x  0 = 0 Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, • , dan ‘, maka jika pernyataan S* diperoleh dari S dengan cara mengganti • dengan +, + dengan •, 0 dengan 1, 1 dengan 0 dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S x + x = x dan x  x = x x + 1 = 1 dan x  0 = 0 x + x  y = x dan x  (x + y) = x Buktikan !!!

Fungsi Boolean

Eqivalen Fungsi Boolean tidak selalu unik pada representasi ekspresinya. Artinya, dua buah fungsi yang ekspresi Booleannya berbeda dapat menyatakan dua buah fungsiyang sama. Misalkan f dan g adalah ekspresi dari suatu fungsi Boolean. Fungsi f dan g dikatakan merupakan fungsi yang sama jika keduanya memiliki nilai yang sama pada tabel kebenaran untuk setiap kombinasi variabelnya.

f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’ dan g(x, y, z) = x’z + xy’ Contoh eqivalen : f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’ dan g(x, y, z) = x’z + xy’

Mencari fs. Eqivalen Jika sebuah fungsi Boolean tidak unik dalam representasi ekspresinya, kita masih dapat menemukan ekspresi Boolean lainnya yang menspesifikasikan fungsiyang sama dengan melakukan manipulasi aljabar terhadap ekspresi Boolean Yang dimaksud dengan memanipulasi atau menyederhanakan fungsi Boolean adalah menggunakan hukum – hukum aljabar Boolean untuk menghasilkan bentuk yang ekivalen.

Contoh : Teknik Penyederhanaan Fs. Boolean akan dibahas tersendiri.

Komplemen Fungsi Boolean Komplemen dari fungsi Boolean F adalah F’, yaitu dengan menukarkan nilai 0 menjadi 1, atau nilai 1 menjadi 0 Fungsi komplemen berguna pada saat kita melakukan penyederhanaan fungsi Boolean. Terdapat dua cara untuk memperoleh fungsi komplemen, yaitu : Penerapan hukum De Morgan yang diperluas. Penerapan prinsip Dualitas.

Cara 1 : Penerapan hukum De Morgan 2 variabel (x1 + x2)’ = x1’x2’ dualnya (x1 . x2)’ = x1’ + x2’ 3 variabel (x1 + x2 + x3)’ = (x1 + y’) , yang dalam hal ini y = x2 + x3 = x1’y’ = x1’(x2 + x3)’ = x1’x2’x3’ dualnya : (x1 . x2 . x3)’ = x1’ + x2’ + x3’ Hukum De Morgan untuk n buah Var., x1, x2, ... ,xn, (x1 + x2 + ... + xn)’ = x1’ x2’ ... xn’ Dualnya : (x1 . x2 . ... . xn)’ = x1’ + x2’ + ... + xn’

Cara 2 : menggunakan prinsip dualitas Pencarian fungsi komplemen dengan prinsip dualitas dilakukan sebagai berikut : Cari bentuk dualnya dengan prinsip dualitas. Lakukan komplemen terhadap tiap literal. Contoh : Tentukan F’ dari fungsi Boolean F = x(y’z’ + yz) Penyelesaian : Dual dari F adalah : x + (y’ + z’)(y + z) Komplemen literal dari dual F adalah F’ = x’+(y + z)(y’ + z’)

Bentuk Kanonik Ekspresi Boolean dapat disajikan dalam dua bentuk: penjumlahan dari hasil kali (SoP : Sum of Product) (Nama lain : disjunctive normal form (DNF)) perkaliandari hasil jumlah (PoS : Product of Sum) (Nama lain : Conjunctive normal form (CNF)) Contoh : f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz g(x, y, z) = (x+y+z) (x+y’+z) (x+y’+z’) (x’+y+z’) (x’+y’+z) f(x, y, z) = g(x, y, z) (buktikan dg tabel kebenaran)

Bentuk Kanonik Term setiap suku (term) di dalam ekspresi mengandung literal yang lengkap dalam variabel x, y dan z, baik variabel tanpa komplemen maupun dengan komplemen. Ada dua macam bentuk term, yaitu minterm : mi (hasil kali) dan maxterm : Mi (hasil jumlah). Indek i menyatakan nilai desimal dari string biner yang merepresentasikan term.

Bentuk Kanonik Tabel Term 2 variabel Membentuk SOP, tinjau kombinasi nilai variabel yang memberikan nilai fungsi = 1. Misalkan kombinasi nilai variabel yang memberikan nilai fungsi =1 adalah 00, 01, dan 11, Bentuk SOP : f(x, y) = x’y’ + x’y +xy = m0 + m1 + m3 = ∑m(0,1,3) Membentuk POS, tinjau kombinasi nilai variabel yang memberikan nilai fungsi = 0. Misalkan kombinasi nilai variabel yang memberikan nilai fungsi =0 adalah 00, 01, dan 11, Bentuk POS : f(x, y) = (x+y). (x+y’).(x’+y’) = M0 M1 M3 = ∏M(0,1,3)

Bentuk Kanonik Tabel Term 3 variabel

Konversi Bentuk fungsi Bentuk kanonik SOP dapat ditransformasi ke bentuk kanonik POS, demikian pula sebaliknya Contoh : Cari bentuk kanonik dari f(x,y) = x’ Jawab : Bentuk kanonik SOP f(x,y) = x’ = x’(y + y’) = x’y + x’y’ = m0 + m1 = m(0,1) Bentuk kanonik POS f(x,y) = x’ = x’+(y.y’) = (x’ + y)  (x’ + y’) = M2  M3 = M(2,3)

Soal Latihan Cari bentuk kanonik dari f(x,y,z) = y’ + xy + x’yz’ Cari bentuk kanonik POS dari f(x,y,z) = x’y’z + xy’z’ + xyz