Nurita Cahyaningtyas (14144100112) ALJABAR MATRIKS Kelompok 1: Heru Tri Wibowo (14144100091) Nurita Cahyaningtyas (14144100112) Diana Rahmawati (14144100113) Rochayati (14144100120)

PENGERTIAN DAN NOTASI MATRIKS “Matriks adalah susunan persegi panjang dari unsur- unsur pada beberapa sistem aljabar.” Unsur- unsur ini bisa berupa bilangan atau juga suatu peubah. Untuk menyatakan nama matriks biasanya digunakan huruf kapital seperti A, B, C, dsb. Unsur atau anggota (elemen) dari matriks berupa huruf dituliskan dengan huruf kecil. Tanda yang biasanya digunakan untuk mengurung elemen- elemen pada suatu matriks yaitu tanda ( ); [ ] ; atau  .

Contoh 1.1 : A = ; B = ; C = Elemen- elemen matriks pada garis horizontal disebut dengan baris. elemen- elemen pada garis vertikal desebut dengan kolom. Dimensi atau ordo (ukuran) dari matriks adalah matriks yang ditentukan oleh banyaknya baris diikuti dengan banyaknya kolom. Dikatakan bahwa dimensi atau ordo dari matriks A adalah 2  3 (dibaca: dua kali tiga). Jadi, dari contoh 1.1 tersebut, matriks B mempunyai dimensi 3  3, dan matriks C mempunyai dimensi 3  2.

Atau secara umum dapat dituliskan sebagai berikut: Amn= A memiliki m baris A berordo m  n A memiliki n kolom

Notasi A = (aij) Untuk menyatakan suatu matriks umum, elemen- elemennya dinyatakan dengan huruf kecil dan diberi indeks baris diikuti dengan indeks kolom sesuai dengan kedudukan elemen tersebut pada matriks. A = Dari matriks A diketahui bahwa elemen a12 dari A berarti elemen pada baris pertama kolom kedua; sedangkan elemen a21 berarti elemen pada baris kedua kolom pertama dari A.

Bentuk umum dari matriks yaitu sebagai berikut: Matriks A ini mempunyai banyaknya baris adalah “m” sedangkan banyaknya kolom adalah “n”. Dalam notasi yang lebih singkat, A biasanya ditulis dengan : A = (aij) Dimana i = 1,2,3,…,m j = 1,2,3,…,n

Matriks Kolom dan Matriks Baris Beberapa matriks khusus sering hanya memiliki satu baris saja disebut matriks baris/ vektor baris. contoh : C = Adalah matriks baris/ vektor baris berdimensi 1  3 sedangkan matriks khusus yang hanya memiliki satu kolom saja disebut matriks kolom/ vektor kolom. contoh : D = Adalah matriks kolom/ vektor kolom berdimensi 3  1

Matriks Persegi (Square Matrices) Suatu matriks A = (aij) disebut matriks persegi (matriks bujur sangkar) bila i = j = 1, 2, 3, …,n. Dimensi dari A adalah n  n, atau An  n. Sedangkan unsur atau elemen- elemen dari A sedemikian hingga mempunyai indeks yang sama (aii), seperti a11, a22, a33, a44, dan seterusnya, disebut dengan elemen diagonal. Jumlah dari semua elemen- elemen diagonal dari suatu matriks disebut dengan trace. Jadi jika A matriks persegi berdimensi n, maka: Trace A = (a11 + a22 + a33 + …+ ann) =

Kesamaan Matriks Dua matriks A = (aij) dan B = (bij) disebut sama jika dan hanya jika: Mempunyai dimensi yang sama Unsur- unsur yang seposisi mempunyai nilai yang sama; aij = bij untuk setiap i dan j.

Matriks Nol (Zero Matrices) Suatu matriks yang semua elemennya adalah nol (0) disebut dengan matriks nol. Matriks nol biasanya dilambangkan dengan O (dibaca : matriiks nol). Sebagai contoh O23 = dan O22 =

Matriks Bagian (Submatriks) Andaikan matriks A = (aij) berdimensi mn, yang dimaksud dengan matriks bagian (submatriks) dari matriks A adalah matriks A sendiri dan matriks – matriks yang diperoleh dengan menghilangkan salah satu atau lebih vektor- vektor baris dan/atau vektor- vektor kolom dari matriks A. Diketahui matriks A = dengan menghilangkan vektor kolom ketiga diperoleh matriks bagian

Penjumlahan Matriks dan Perkalian Skalar “Penjumlahan dua matriks dapat dilakukan apabila kedua matriks tersebut memiliki dimensi/ ordo yang sama.” Penjumlahan matriks A dan B, ditulis dengan A + B, didefinisikan dengan : A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij), untuk setiap i dan j.

Dua buah matriks yang dapat dilakukan operasi penjumlahan disebut dengan matriks yang “conformable” untuk operasi penjumlahan. Andaikan matriks- matriks A = (aij), B = (bij), dan C = (cij). Komutatif; A + B = B + A Bukti : A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) = (bij + aij); sebab elemen- elemen matriks berasal dari sistem aljabar biasa = (bij) + (aij) = B + A

Sifat- sifat operasi penjumlahan matriks Komutatif; A + B = B + A pembuktian :

Assosiatif; (A + B) + C = A + (B + C) Pembuktian :

Identitas penjumlahan Pembuktian :

Invers aditif (invers penjumlahan) Untuk setiap matriks A = (aij) selalu ada matriks –A = (-aij) sedemikian hingga A + (-A) = (-A) + A = O, dimana O adalah matriks nol yang berdimensi sama dengan matriks A. Matriks “–A” disebut dengan lawan atau negative dari matriks A, atau invers penjumlahan dari A.

Pembuktian :

Perkalian Skalar dengan Matriks Perkalian antara skalar dengan matriks mungkin dilakukan karena baik skalar k maupun elemen- elemen matriks berasal dari sistem aljabar yang sama. “Perkalian skalar dengan matriks tidak merubah dimensi matriks yang dikalikan.” Perkalian matriks dengan skalar dapat juga dipandang sebagai penjumlahan berulang matriks. Jadi untuk skalar k dengan matriks A, maka : kA = A + A + A + …+A, sebanyak k suku

Sifat- sifat Perkalian Skalar dengan Matriks Andaikan k dan s adalah skalar dan A = (aij) matriks, maka: (k + s) A = kA + sA pembuktian :

Andaikan k skalar dan A = (aij) serta B = (bij) adalah dua matriks yang berdimensi sama, maka k(A+ B) = kA + kB Pembuktian:

Andaikan k dan s skalar serta matriks A = (aij), maka : k(sA) = (ks)A Pembuktian :

Andaikan k skalar, dan matriks A = (aij), maka kA = Ak Pembuktian :

Jika skalar k = 1, maka 1A = A Sehubungan dengan sifat (e) ini, maka (-1)A = -A