determinan

Notasi : Det(A) atau |A| Determinan dari matriks 𝑨 𝒏𝒙𝒏 didefinisikan sebagai: Hasilkali n buah unsur matriks A tanpa ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama. Notasi : Det(A) atau |A| Contoh : Tentukan Determinan matriks Jawab : Menurut definisi : Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31

Atau Contoh : Tentukan determinan matriks - +

Sifat – sifat Determinan Teorema Jika A matriks bujur sangkar maka: i) Jika A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah kolom nol maka det(A) = 0. ii) det(A)=det(AT) Teorema 2.3 Jika A adalah suatu matriks segitiga nxn (segitiga atas,segitiga bawah, atau diagonal) maka det(A) adalah hasil kali anggota-anggota pada diagonal utamanya, yaitu   Latihan: Tentukan determinan dari matriks – matriks berikut ini:

a. b. c.

Teorema dan maka Misalkan A matriks nxn Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika suatu baris tunggal atau kolom tunggal dari A dikalikan dengan suatu skalar α, maka det(B) = α.det(A). Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika dua baris atau kolom dari A dipertukarkan maka det(B) = -det(A). Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika suatu panggandaan suatu baris A ditambahkan pada baris lainnya atau jika suatu penggandaan suatu kolom ditambahkan pada kolom lainnya, maka det(B) = det(A). Contoh dari penggunaan teorema di atas: Jika matriks B berasal dari matriks A dengan mengalikan satu baris A dengan k maka Det (B) = k Det (A) dan maka

OBE yang dilakukan pada matriks tersebut adalah –2b1 + b2 Jika matriks B berasal dari matriks A dengan satu kali pertukaran baris maka Det (B) = - Det (A) sehingga Jika matriks B berasal dari matriks A dengan perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol k lalu dijumlahkan pada baris lain maka Det (B) = Det (A) perhatikan OBE yang dilakukan pada matriks tersebut adalah –2b1 + b2

Teorema Jika A adalah matriks bujur sangkar dengan dua baris proporsional atau dua kolom proporsional, maka det (A)=0. Contoh: dari contoh di atas baris pertama dan kedua adalah dua baris yang proporsional, maka nilai determinannya adalah nol Sifat-sifat dasar determinan: Misalkan A dan B matriks nxn dan α skalar maka det 𝛼𝐴 = 𝛼 𝑛 det⁡(𝐴) Det (AB) = det(A)det(B) = 0

Menghitung Determinan Menggunakan Sifat-sifat Determinan Tentukan determinan dari matriks berikut:

Determinan dengan ekspansi kofaktor Misalkan Beberapa definisi yang perlu diketahui : Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A. Contoh :

Cij dinamakan kofaktor - ij yaitu Cij = (-1)i+j Mij Contoh : sehingga C12 = (-1)1+2 M12 = (– 1)3 .2 = – 2 MA-1223 Aljabar Linear

Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor : Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j det (A) = aij C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj Contoh 6 : Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :

Misalkan An x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka dinamakan matriks kofaktor A. Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A, notasi adj(A).