Pertemuan III: DETERMINAN TEKNIK KOMPUTASI Pertemuan III: DETERMINAN

Materi Konsep Determinan Menghitung Determinan dengan expansi Menghitung Determinan dengan eliminasi baris Menghitung Determinan dengan eliminasi menggunakan matrix Gauss atau faktorisasi LU Implementasi

4.1 Definisi dasar dan notasi (1) Simbol : (4.1.1) Disebut determinan orde ke- 2, sedangkan besar- besaran a11, a12, a21, dan a22 atau lebih lazim aij disebut unsur- unsur determinan. Yang dimaksud oleh (4.1.1) itu ialah suatu ungkapan tersusun oleh suatu unsur- unsur determinan: D = a11 a22 – a21 a12 (4.1.2) (4.1.2) disebut ekspansi determinan (4.1.1) dan melukiskan pula harganya.

4.1 Definisi dasar dan notasi (2) Sudah barang tentu suatu determinan ordenya dapat lebih besar daripada 2; misalnya orde ke-n. Ini berarti bahwa determinan tersebut mempunyai n baris dan n kolom sebagai berikut : (4.1.3) Apabila (4.1.3) dituliskan dlam bentuk ekspansinya mempunyai n! suku.

4.1 Definisi dasar dan notasi (3) Contoh: Determinan orde ke-3 ekspansinya akan mempunyai 3! = 3.2.1 = 6 suku. Ekspansinya ialah: Det D3 = a11 a23 a33 + a12a23a31 + a13a21a32 -a31a22a13 – a33a21a12 – a11a32a23 Cara ekspansi seperti di atas akan mendatangkan kekeliruan apabila dipergunakan untuk menghitung harga determinan orde tinggi.

  4.2 Minor dan kofaktor (1) Andaikan ada sebuah determinan dengan orde ke-n, yang dimaksud dengan minor unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. Misalnya : (4.2.1) maka minor unsur a32 ialah : (4.2.2)

4.2 Minor dan kofaktor (2) Sedangkan yang dimaksud dengan kofaktor suatu unsur determinan aij ialah: Cij = (-1)i+jMij (4.2.3)

4.2 Ekspansi determinan (1) Untuk mencari harga suatu determinan dengan orde ke-n; (n>2) yang pada hakekatnya melukiskan polinominal homogen dengan orde ke-n; dapat dilakukan dengan ekspansi menurut baris atau ekspansi menurut kolom. Contoh : (4.3.1)

4.2 Ekspansi determinan (2) Bentuk ekspansi menurut baris ke-1 ialah: Bentuk ekspa nsi (1.3.1) menurut kolom ke-i ialah : det D3 = a11c11 + a12c12 + a13c13 (4.3.2) = a11(a22a33 – a32a23) – a12(a21a33 –a31a23) + a13(a21a32 – a31a22) Maka ekspansi menurut baris ke-j ialah : (4.3.3) i = 1, 2, 3, …… n

4.2 Ekspansi determinan (3) Bentuk ekspansi (1.3.1) menurut kolom ke- i ialah: det D3 = a11c11 + a21c21 + a31c31 (4.3.4) = a11(a22a33 – a32a23) – a21(a12a33 –a32a13) + a13(a12a23 – a22a13) Maka ekspansi menurut kolom ke-j ialah: (4.3.5) j = 1, 2, 3, …… n

4.4 Sifat- sifat determinan (1) Apabila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom sama dengan nol, maka harga determinan sama dengan nol. Harga determinan tidak berubah, apabila semua baris diubah menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris. Penukaran tempat antara baris dengan baris atau kolom dengan kolom pada suatu determinan akan mengubah tanda determinan. Pada suatu determinan terdapat dua baris atau dua kolom yang identik, maka harga determinan itu sama dengan nol.

4.4 Sifat- sifat determinan (2) Apabila semua unsur sebarang baris atau kolom dikalikan dengan sebuah faktor k ( k ≠ 0), maka harga determinan dikalikan dengan faktor sebesar k pula. Tanpa mengubah harga determinan, semua unsur sebarang baris (kolom) dapat dikalikan dengan sebuah faktor k ( k ≠ 0) dan menambahkannya pada atau mengurangi dari sebarang baris (kolom) yang lain.

4.5 Perhitungan harga determinan dengan metode CHIO/ reduksi/ eliminasi (1) Metode ini sangat sesuai untuk perhitungan harga determinan berorde tinggi karena lebih efisien bila dibandingkan dengan perhitungan dengan ekspansi. Sebagai misal, perhitungan harga determinan berorde-5, dengan metode ekspansi determinan akan memerlukan 480 operasi perkalian dan 119 operasi penjumlahan. Perhitungan harga determinan berorde-10, dengan metode ekspansi determinan akan memerlukan lebih dari 38 juta operasi perkalian dan lebih 4 juta operasi penjumlahan. (David I. Steinberg, 1974). Dengan metode CHIO, perhitungan harga determinan berorde-10 dapat hanya memerlukan kurang 340 operasi perkalian dan 300 penjumlahan.

4.5 Perhitungan harga determinan dengan metode CHIO/ reduksi/ eliminasi (2) Metode CHIO mendasarkan operasi perhitungan harga determinan pada sifat- sifat determinan, terutama sifat ke- 5 dan ke- 6 Algoritmanya adalah sebagai berikut : Carilah unsur determinan yang terbesar dari determinan orde-n dan letakkan sebagai unsur a11 dengan penukaran baris atau kolom (mempergunakan sifat (3)). Hal ini harus dilakukan terlebih apabila unsur a11 = 0 Usahakan semua unsur pada kolom- 1 baris ke- 2, 3, 4, …n menjadi nol (mempergunakan sifat (5) dan (6)) .

4.5 Perhitungan harga determinan dengan metode CHIO/ reduksi/ eliminasi (3) Dimulai dari baris-2 dan kolom-2, ditinjau determinan dengan orde (n-1). Lakukan seperti langkah 1) dan 2), sehingga semua unsur pada kolom-2 mulai baris ke-3 sampai sampai baris ke-n menjadi nol. Ulangi terus operasi seperti langkah 3) mulai dari baris dan kolom berikutnya sampai diperoleh determinan segitiga atas : (4.5.1)

4.5 Perhitungan harga determinan dengan metode CHIO/ reduksi/ eliminasi (4) Maka harga determinan dengan orde–n adalah: Dn = a11a22a33……ann (4.5.2) Apabila dalam proses untuk menjadikan determinan segitiga atas itu diperlukan penukaran kolom maupun baris sejumlah N kali maka hasil determinannya adalah Dn = (-1)N a11a22a33……ann (4.5.3)

4.5 Perhitungan harga determinan dengan metode CHIO/ reduksi/ eliminasi (5) Ilustrasi Hitunglah harga determinan : Jawaban : a11 ≠ 0, operasi seperti algoritma 1) tak perlu. Baris -1 sebagai basis. Diusahakan unsur- unsur a21 dan a31= 0, dengan baris -1 sebagai basis. Baris -2 ditambahi dengan baris -1 Baris -3 dikurangi dengan 2 kali baris -

4.5 Perhitungan harga determinan dengan metode CHIO/ reduksi/ eliminasi (6) Diperoleh : Ternyata bentuk di atas sudah merupakan determinan segitiga atas. maka harga det A = (1)(1)(-7) = -7

4.5 Perhitungan harga determinan dengan metode CHIO/ reduksi/ eliminasi (7) Hitunglah harga determinan : Jawaban : a11 ≠ 0 ,operasi seperti algioritma 1) tak perlu. Diusahakan unsur- unsur a21, a31, dan a41 = 0, baris-1 sebagai basis. Baris-2 ditambahi 2 kali baris-1 Baris-3 ditambahi 3 kali baris-1 Baris -4 dikurangi dengan baris-1

4.5 Perhitungan harga determinan dengan metode CHIO/ reduksi/ eliminasi (8) Diperoleh : Selanjutnya mulai dari baris-2 dan kolom ke-2. Karena a22 = 0, diadakan operasi penukaran baris dengan baris di bawahnya, sehingga a22 ≠ 0 dan dipilih sedemikian sehingga harga absolut a22 yang terbesar dari antara a23 dan a42 (pivoting).

4.5 Perhitungan harga determinan dengan metode CHIO/ reduksi/ eliminasi (9) Baris-2 dan baris-3 ditukar,diperoleh : Baris baris ke-3 dan 4 pada kolom ke-2 diusahakan a32 = a42 = 0 Baris-2 sebagai basis Baris ke-4 dikurangi dengan kali baris ke-2, diperoleh :

4.5 Perhitungan harga determinan dengan metode CHIO/ reduksi/ eliminasi (10) Baris ke-3 sebagai basis, a33 ≠ 0 dan cukup besar maka tak perlu penukaran baris. Diusahakan a43 = 0, dengan baris ke-4 ditambahi (1 )/2 kali baris ke-3, diperoleh : Ternyata sudah berbentuk determinan segitiga atas. Selama proses terjadi penukaran baris satu kali, maka Det A = (-1)1 (1) (-9) (2) ( ) = 55

4.5 Perhitungan harga determinan suatu matriks (1) Determinan matrix bujur sangkar adalah determinan yang mempunyai elemen-elemen yang sama dengan elemen-elemen matrix tersebut. Bila matrix A є Rn×n dikenai proses Triangulasi menggunakan algoritma Gauss atau faktorisasi LU dengan algoritma Doolittle, akan dapat diperoleh : Harga determinan A adalah: │detA│ = │U11U22U33………Unn│

4.5 Perhitungan harga determinan suatu matriks (2) Harga determinan dapat diperoleh dengan proses triangulasi. Harga determinannya adalah hasil perkalian dari unsur-unsur diagoanal dari matrix segitiga atas yang diperoleh dari proses triangulasi itu. Apabila dalam melakukan faktorisasi LU itu diperlukan sebanyak p kali penukaran baris, maka harga determinan matrix asli adalah (-1)p ×│det A │.

4.5 Perhitungan harga determinan suatu matriks (3) Contoh: Akan dihitung harga determinan menggunakan proses triangulasi dengan algoritma Gauss. Pandanglah bahwa determinan di atas merupakan matrix bujursangkar :

4.5 Perhitungan harga determinan suatu matriks (4) Lakukan proses triangulasi berikut :

4.5 Perhitungan harga determinan suatu matriks (5) Karena telah diperoleh bentuk matrix segitiga atas dan selama proses triangulasi diperlukan satu kali permutasi (penukaran baris), maka harga determinannya adalah : Det A = (-1)1 (1) (-9) (2) ( ) = 55