Penyelesaian PDE
Bentuk Dengan y(x) adalah yang ingin dicari Order 1 Bentuk paling sederhana y’(x)=f(x) Bentuk umum
Metode Euler Paling mudah Kurang efisien Hampiran derivatif
Jika diterapkan pada masalah y’(xn)=f(xn,y(xn)) didapatkan Metode euler dirumuskan sebagai Dengan tebakan awal y0=y0
Ilustrasi metode euler Y(x) Yn+1 Y(xn+1) Y(xn)
Algoritma Metode Euler untuk persamaan diferensial order 1 dapat dirumuskan sebagai berikut: Input y0, x0 (nilai awal dan titik awal) Xn = b (batas interval) N (jumlah subinterval) Definisi fungsi f(x,y(x)) (sisi kanan persamaan diferensial) x := x0, y := y0 h:= (xn - y0) / n for n:=1 to n {y:= y+h f(x,y(x)) x := x0 + nh output: x,y}
adapun metode Euler untuk sistem persamaan diferensial dapat dijabarkan sebagai berikut. Terdapat Sistem Persamaan Diferensial: Y1’(x) = f1(x1,y1,y2,.....,yn). Y1(x0) = y10 Y2’(x) = f2(x1,y1,y2,.....,yn). Y2(x0) = y20 . yn’(x)=fn(x1,y1,y2,.....,yn). Yn(x0) = yn0 Maka metode euler diterapkan pada tiap persamaan: Ym,0 = ym0; m = 1, ..., n y1, n+1 = y1, n+h f1(xn,y1,n,y2,n,....,yn,n) y2, n+1 = y2, n+h f2 (xn,y1,n,y2,n,...,yn,n) yn, n+1 = yn, n+h fn (xn,y1, n, y2, n,......, yn, n)
Metode Eulet Termodifikasi Untuk h yang cukup kecil, metode euler biasanya akurat. Tetap untuk h yang terlalu besar, kadang-kadang metode euler merupakan hampiran yang buruk. Salah satu cara memperbaiki adalah dengan menggunakan titik baru di dekat titik awal dan mengestimasi kemiringan dari rata-rata kemiringan ke-2 titik tersebut.
Secara konkret, rumus dari metode euler termodifikasi adalah:
Metode Titik Tengah Cara lain untuk memperbaiki metode euler adalah dengan mencari hampiran pada titik dan mengambil kemirinagn pada titik ini.
algoritma
Metode Runge Kutta Perhitungabn beberapa kali kemiringan 2x plg sering
Bentuk umum runge kutta
Runge kutta klasik 4x perhitungan
Metode multi step Pers: Yang didapatkan dari Metode paling sering dipakai Adams-Bassforth