POLA BILANGAN SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

STANDAR KOMPETENSI KOMPETENSI DASAR Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah KOMPETENSI DASAR Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

INDIKATOR Menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya berbentuk deret aritmatika atau geometri. Merumuskan deret yang merupakan model matematika dari masalah Menentukan penyelesaiandari model matematika. Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah. SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

POLA dan barisan bilangan Pada susunan segitiga disamping,banyaknya segitiga mengikuti pola 1, 4, 9, ...... Angka-angka 1,4,9,...... Merupakan barisan bilangan yang diperoleh dengan suatu aturan/pola tertentu. Aturan/pola pada 1,4,9,.... adalah “kuadrat bilangan asli ” Banyaknya kubus disamping mempunyai pola : 1, 2, 3, 4, ...... Banyaknya sisi kubus satuan mempunyai pola : 6, (2x6 – 2x1), (3x6 – 2x2), (4x6 – 2x3), ........ SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

Barisan bilangan yang didapat adalah : 3, 6, 9, 12, 15, .... , .... , ....., ..... Aturan/pola barisan adalah .................. Teknik enkripsi substitusi yang pertama kali dikenal dan paling sederhana ditemukan oleh Julius Caesar. Metode yang digunakan dalam caesar chiper ini adalah mempertukarkan setiap huruf dari plaintext dengan huruf lain dengan interval 3 huruf dari huruf plaintext. a b c d e.... D E F G H... Perhatikan pola yang di berikan yaitu ........ sehingga pesan rahasia “ PDWK LV HAFLWLQJ” akan dapat di baca menjadi ........................................... SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

Banyaknya kubus pada pola ke-5 adalah ……………….. 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 Banyaknya kubus pada pola ke-5 adalah ……………….. Banyaknya kubus pada pola ke-6 adalah ……………….. Banyaknya kubus pada pola ke-7 adalah ……………….. Banyaknya kubus pada pola ke-8 adalah ……………….. …………………………………………………………... Banyaknya kubus pada pola ke-100 adalah ……………….. SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

Pada pola segitiga di atas, Banyaknya segitiga pada pola ke-4 adalah … Rabu, 09 Mei 2018 ? 1 segitiga 3 segitiga … segitiga ? … segitiga Pada pola segitiga di atas, Banyaknya segitiga pada pola ke-4 adalah … Banyaknya segitiga pada pola ke-5 adalah … Banyaknya segitiga pada pola ke-6 adalah … Banyaknya segitiga pada pola ke-7 adalah … ……………………………………………… Banyaknya segitiga pada pola ke-100 adalah … 10 SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi PPPK Petra

Bakteri terisolasi di dalam bejana. Pada awalnya teramati 1 bakteri Bakteri terisolasi di dalam bejana. Pada awalnya teramati 1 bakteri. Hari berikutnya tampak 2 bakteri, hari ketiga ada 4 bakteri dst karena setiap bakteri mampu membelah diri menjadi 2 bagian setiap hari. ??? Banyaknya bakteri pada pengamatan hari ke-5 adalah …. Banyaknya bakteri pada pengamatan hari ke-6 adalah …. Banyaknya bakteri pada pengamatan hari ke-7 adalah …. …………………………………………………………… Banyaknya bakteri pada pengamatan hari ke-20 adalah …. SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

A B C D A B C D 9+8+7+6+5+4+3+2+1=… Rabu, 09 Mei 2018 Demo : Dibutuhkan sukarelawan sebanyak 4 siswa. Anggap nama mereka A, B, C dan D Berapa banyaknya saling jabat tangan di antara mereka ? Ilustrasi : A berjabat-tangan dengan … temannya. B berjabat-tangan dengan … temannya. C berjabat-tangan dengan … temannya. A A B B Jika ada 10 orang di dalam ruangan, maka ada sebanyak … jabat tangan. C C D D 9+8+7+6+5+4+3+2+1=… SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi PPPK Petra

Sehingga, jika ada n segigita akan didapatkan sisi sebanyak 3n Banyak Segitiga 1 2 3 4 ... 10 n Banyak sisi 6 9 12 Sehingga, jika ada n segigita akan didapatkan sisi sebanyak 3n Jika angka pada baris petama dikali 3 akan didapatkan angka pada baris kedua Benar... ! SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

Suku ke-n ditulis un dengan n ∈ Bilangan Asli Perhatikan pola bilangan ganjil berikut 1, 3, 5, 7, 9, ...... u1 = 1 = 2.1 – 1 u2 = 3 = 2.2 – 1 u3 = 5 = 2.3 – 1 ........................ un = 2 . n – 1 Perhatikan bahwa bilangan berikut didapat dengan menambahkan angka 2 pada bilangan sebelumnya, sehingga secara umum rumus suku ke-n barisan bilangan asli adalah un = 2n – 1. Perhatikan huruf tebal di samping. Huruf tebal dikaitkan dengan indeks pada u. Proses menentukan rumusan suku ke-n merupakan proses “ generalisasi ” berdasar pada beberapa fakta yang ada. Fakta yang ada pada barisan adalah suku-suku yang sudah diketahui. Suku ke-n ditulis un dengan n ∈ Bilangan Asli SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

1. Tentukan rumus suku ke-n barisan bilangan 4,7,10,13,16, ........ 4 = 3.1 + 1 7 = 3.2 + 1 10 = 3.3 + 1 13 = 3.4 + 1 .................. un = 3.n + 1 Jawab : Perhatikan adanya pola yang nampak, yaitu penambahan dengan 3 sehingga un = 3n + 1 2. Tentukan rumus suku ke-n barisan bilangan -1,2,5,8, ...... -1 = 3.1 – 4 2 = 3.2 – 4 5 = 3.3 – 4 8 = 3.4 – 4 .................. un = 3.n – 4 Jawab : Perhatikan adanya pola yang nampak, yaitu penambahan dengan 3 sehingga un = 3n – 4 SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

3. Tentukan rumus suku ke-n barisan bilangan 4, 8,16, 32, ...... un = 2n+1 22 23 24 25 2n+1 4. Tentukan rumus suku ke-n barisan bilangan ½ , 1, 2, 4, 8 ...... ½ 1 2 4 un = 2n-1 2-1 20 21 22 2n-1 SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

Jawab : SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

BARISAN ARITMATIKA (BA) Perhatikan barisan-barisan sebagai berikut : 3, 7, 11, 15, …….. 5, 3, 1, -1, -3, …… Pada barisan no.1, suku berikut didapat dari suku sebelumnya dengan cara : …………. Pada barisan no.2 suku berikut didapatkan dengan cara ………………… Definisi : Barisan Aritmatika merupakan jenis barisan yang mempunyai selisih atau beda (= b) yang tetap/sama antara dua suku berurutan. Jika Suku ke-1 = u1 (a = awal) Suku ke-2 = u2 Suku ke-3 = u3 dst Maka barisan aritmatika dapat ditulis dalam bentuk : a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b, ………………a+(n-1)b u1 u2 u3 u4 u5 ……………… un jadi rumus suku ke-n pada barisan aritmatika adalah : un = a + (n–1)b SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

a+(n-1)b + a+(n-2)b + a+(n-3)b + ……… DERET ARITMATIKA (DA) Jika suku-suku pada barisan aritmatika dijumlahkan akan didapatkan DERET ARITMATIKA dan dilambangkan dengan Sn. Sn = u1+ u2 + u3 + u4 + u5 + ………… + un Sn = a + a+b + a+2b + a+3b + a+4b + ………… + a+(n-1)b a a+b a+2b a+3b a+4b a+(n-1)b a+(n-2)b Anggap bahwa deret tersebut adalah seutas tali dengan panjang n. Jika ujung kiri dan kanan di gabungkan maka panjang tali menjadi ½ n sehingga penjumlahan menjadi : a + a+b + a+2b + …….. a+(n-1)b + a+(n-2)b + a+(n-3)b + ……… Ada sebanyak ½n suku Sn = ½ n x [2a + (n – 1).b] SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

Sisipan Barisan Aritmatika 3 suku 3 suku 3 suku 3 suku 3 11 19 27 35 Perhatikan ilustrasi di samping. Ada 5 suku yaitu 3, 11, ……. 35. Jika diantara tiap 2 suku disisipkan 3 suku lagi, maka banyaknya suku sekarang setelah sisipan adalah ………………………… 5 + 4x3 = 5 + 12 = 17 Karena merupakan barisan aritmatika, maka beda tiap dua suku setelah adanya sisipan yaitu b’ dapat ditentukan sbb : Diketahui bahwa “beda” pada barisan sebelum sisipan yaitu b = 8 Misal 3 suku sisipan pada area sisipan ke-1 itu adalah x, y, z Jarak 3 ke x, jarak x ke y, jarak y ke z dan jarak z ke 7 adalah sama yaitu merupakan beda yang baru ditulis sebagai b’. 3 11 x y z Menentukan nilai b’ cukup mudah, yaitu 11-3 = 8. Rentang inilah yang nantinya akan dibagi dengan 3 data sisipan (x, y dan z) sehingga b’ = 8 : 4 = 2. SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

Secara umum : u1 u2 u3 u4 u5 un un-2 un-1 Jika pada n suku yaitu u1, u2, u3, ………. Un disisipkan sebanyak k suku pada tiap 2 suku berdekatan maka : Perhatikan bahwa setelah sisipan ada beberapa hal yang tidak berubah yaitu : Suku pertama sebelum dan setelah sisipan sama yaitu a Suku terakhir sebalum dan setelah sisipan sama yaitu un SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

BARISAN GEOMETRI (BG) Perhatikan barisan-barisan sebagai berikut : 2, 4, 8, 16, …….. 243, 81, 9, 3, …… Pada barisan no.1 suku berikutnya didapatkan dari suku sebelumnya dengan cara : …………. Pada barisan no.2 suku berikutnya didapatkan dengan cara …….……… Jika Suku ke-1 = u1 (a = awal) Suku ke-2 = u2 Suku ke-3 = u3 dst Maka barisan Geometri dapat ditulis dalam bentuk : a, ar, ar2, ar3, ar4, ……………… arn-1 u1 u2 u3 u4 u5 ……………… un jadi rumus suku ke-n pada barisan geometri adalah : un = a.rn–1 SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

DERET GEOMETRI (DG) r.Sn – Sn= arn – a Jika suku-suku pada barisan geometri dijumlahkan akan didapatkan DERET GEOMETRI dan dilambangkan dengan Sn. Sn = u1+ u2 + u3 + u4 + u5 + ………… + un Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ………… + arn-1 - - - - - (1) Jika kedua ruas pada persamaan di atas dikali dengan r, akan didapatkan bentuk r.Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5 +…… + arn-1 + arn - - - - - (2) Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ……………+ arn-1 - - - - - (1) – r.Sn – Sn= arn – a Jika | r | > 1 maka BG/DG tersebut Divergen atau suku-suku bertambah besar Jika | r | < 1 maka BG/DG tersebut Konvergen atau suku-suku bertambah kecil SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

Deret Geometri Tak Hingga Merupakan rumus untuk jumlah DG Konvergen. SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

Sisipan Barisan Geometri 2 suku 2 suku 2 suku 2 suku 2 16 128 1024 8192 Diketahui 5 suku membentuk BG yaitu 2, 16, ….. , 8192 dengan rasio = 8. Diantara 2 suku berdekatan disisipkan 2 suku baru. Banyaknya suku setelah adanya sisipan sekarang adalah 5 + 4x2 = 13 Rasio setelah sisipan dapat ditentukan sebagai berikut : Misal x dan y adalah 2 suku pada ruang sisipan ke-1. Karena merupakan BG maka x dan y dapat ditentukan sebagai berikut 2 16 x y SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

a a(r’)3 Rasio setelah sisipan dapat ditentukan sebagai berikut : ar’ a(r’)2 Secara umum : u1 u2 u3 u4 u5 un un-2 un-1 Perhatikan bahwa setelah sisipan ada beberapa hal yang tidak berubah yaitu : Suku pertama sebelum dan setelah sisipan sama yaitu a Suku terakhir sebalum dan setelah sisipan sama yaitu un SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

Beberapa Hal Khusus Karena suku awal dan suku terakhir sebelum dan setelah sisipan pada BA dan BG adalah sama maka : SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi

Suku Tengah Untuk Barisan Aritmatika : u1 u2 u3 u4 u5 un un-2 un-1 Untuk n bilangan ganjil maka ada suku tengah yaitu uT = ½ (a + un) Untuk Barisan Geometri : u1 u2 u3 u4 u5 un un-2 un-1 Untuk n bilangan ganjil maka ada suku tengah yaitu SK / KD Indikator Materi Contoh Latihan Uji Kompetensi