Pertemuan 10

Turunan Tingkat Satu Polinomial Taylor untuk f(x) di sekitar x=x0 Misalkan x=x0+h, maka didapatkan Rumus Selisih Maju Dua Titik adalah galat dari hampiran fungsi

Turunan Tingkat Satu Misalkan x=x0-h Rumus Selisih Mundur Dua Titik

Turunan Tingkat Satu Rumus Selisih Pusat Dua Titik Orde O(h2): O(h2) adalah galat dari hampiran fungsi Orde O(h4): O(h4) adalah galat dari hampiran fungsi

contoh Misalkan f(x)=exp(x). Hitunglah hampiran f’(1) dengan menggunakan rumus selisih maju, rumus selisih mundur, dan rumus selisih pusat untuk nilai-nilai h=0.2, 0.02, 0.002, 0.0002. Bandingkan galat untuk tiap rumusnya.

function [t,g]=turunan1(x,h) deff('y=f(x)','y=exp(x)'); maj=(f(x+h)-f(x))./h; mun=(f(x)-f(x-h))./h; pus=(f(x+h)-f(x-h))./(2.*h); f(x); t=[maj;mun;pus] g=[abs(maj-f(x));abs(mun-f(x));abs(pus-f(x))] endfunction

Turunan Tingkat dua Rumus Selisih Maju

Turunan Tingkat dua Rumus Selisih Pusat

contoh Misalkan f(x) = exp(x). Hitunglah hampiran f’’(1) dengan menggunakan rumus selisih maju dan rumus selisih pusat untuk nilai-nilai h=0.1, 0.01, 0.001, 0.0001. Bandingkan galat untuk tiap rumusnya.

function [t,g]=turunan2(x,h) deff('y=f(x)','y=exp(x)'); maj=(f(x+2 function [t,g]=turunan2(x,h) deff('y=f(x)','y=exp(x)'); maj=(f(x+2*h)-2*f(x+h)+f(x))./h^2; pus=(f(x+2*h)-2*f(x)+f(x-2*h))./(4.*h^2); f(x); t=[maj;pus] g=[abs(maj-f(x));abs(pus-f(x))] endfunction

Turunan Tingkat Tinggi Rumus Selisih Pusat Untuk penyederhanaan digunakan penulisan fk=f(x0+kh) dengan k = …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Integral Numerik

Kuadratur Newton-Cotes Misalkan N=1,2,3,4, PN(x) adalah polinomial berderajat N yang menginterpolasikan f(x) pada [x0,xN]. Misalkan juga h>0, xk=x0+kh, serta fk=f(xk).

Contoh Misalkan dan diketahui lima absis pembentuk empat interval berjarak sama x0=0, xk=x0+k(0.5), k=1,2,3,4. Hitunglah kuadratur-kuadratur T2(f), S3(f), S4(f), dan B5(f).

function T=trape(a,b) deff('y=f(x)','y=1+((exp(-x)). (sin(4 function T=trape(a,b) deff('y=f(x)','y=1+((exp(-x))*(sin(4*x)))') h=b-a; T=(f(a)+f(b)).*h/2; endfunction

function [S3,S4,B]=integral(x0,h) deff('y=f(x)','y=1+((exp(-x))*(sin(4*x)))') S3=(f(x0)+4*f(x0+h)+f(x0+(2*h))).*h/3; S4=(f(x0)+3*f(x0+h)+3*f(x0+(2*h))+f(x0+(3*h))).*(3*h)/8; B=(7*f(x0)+32*f(x0+h)+12*f(x0+(2*h))+32*f(x0+(3*h)))*(2*h)/45; endfunction

Aturan Trapesium Hampiran jumlah kiri Untuk menghitung dengan menggunakan hampiran jumlah kiri , dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut: Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1] sedemikian sehingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi f(xi) dan lebar , maka luas persegi panjang yang terbentuk adalah Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan hampiran integral yang diinginkan

Aturan Trapesium Hampiran jumlah kanan Untuk menghitung dengan menggunakan hampiran jumlah kanan , dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut: Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1] sedemikian sehingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi f(xi+1) dan lebar , maka luas persegi panjang yang terbentuk adalah Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan hampiran integral yang diinginkan

Aturan Trapesium Hampiran titik tengah Untuk menghitung dengan menggunakan hampiran titik tengah, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut: Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1] sedemikian sehingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi f(ti), dan lebar , maka luas persegi panjang yang terbentuk adalah Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan hampiran integral yang diinginkan

Hampiran kiri function y=trkiri(x0,x1,n) deff('y=f(x)','y=x^3') hasil=[]; c=abs((x1-x0)/n); x=[x0:c:x1]; y=0; for i=1:(length(x)-1), y=y+c*f(x(i)); hasil=[hasil;y]; end hasil endfunction

Hampiran kanan function y=trkanan(x0,x1,n) deff('y=f(x)','y=x^3') hasil=[]; c=abs((x1-x0)/n); x=[x0:c:x1]; y=0; for i=2:(length(x)), y=y+c*f(x(i)); hasil=[hasil;y]; end hasil endfunction

Hampiran tengah function y=trtengah(x0,x1,n) deff('y=f(x)','y=x^3') hasil=[]; c=abs((x1-x0)/n); x=[x0:c:x1]; y=0; for i=1:(length(x)-1), y=y+c*f(x(i)+(c/2)); hasil=[hasil;y]; end hasil endfunction

contoh Hitung dengan hampiran kanan, kiri, dan tengah. (bagi interval menjadi 5) Hampiran kiri = 1600 Hampiran kanan = 3600 Hampiran tengah = 2450 Nilai sebenarnya = 2500

Aturan Trapesium Aturan trapesium majemuk Untuk menghitung dengan menggunakan hampiran trapesium , dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut: Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1] sedemikian sehingga Buat trapesium pada [xi,xi+1] dengan sisi-sisi yang sejajar f(xi) dan f(xi+1) dan lebar , maka luas trapesium yang terbentuk adalah 3. Jumlah luas persegi panjang tersebut merupakan hampiran integral yang diinginkan

Trapesium majemuk function y=trmaje(x0,x1,n) deff('y=f(x)','y=x^3') hasil=[]; c=abs((x1-x0)/n); x=[x0:c:x1]; y=0; for i=1:(length(x)-1), y=y+c*(f(x(i))+f(x(i+1)))/2; hasil=[hasil;y]; end hasil endfunction