PEMBAHASAN LATIHAN SOAL PD ORDO 2 NON HOMOGEN Oleh : I MADE GATOT KAROHIKA ST.MT.

1. Selesaikanlah y’’ + y’ – 2 y = 4 x2 Penyelesaian: Persamaan bantu r2 + r – 2 = 0 mempunyai akar-akar –2 dan 1, sehingga penyelesaian homogen persamaan diferensial adalah yh = C1 e-2x + C2 ex Untuk mencari penyelesaian khusus persamaan tak homogen, dicoba, yk = A x2 + B x + C ; yk’ = 2Ax + B ; yk’’ = 2A Substitusi ekspresi ini ke dalam persamaan diferensial memberikan, yk’’+ yk’ – 2 y = 4 x2 2A + (2A x + B) – 2(A x2 + B x + C) = 4 x2 – 2A x2 + (2A – 2B) x + (2A + B – 2C) = 4 x2 Penyamaan koefisien-koefisien x2, x dan x0 atau 1 menghasilkan, – 2A = 4, 2A – 2B = 0, 2A + B – 2C = 0 atau A = –2, B = –2, C = –3, sehingga penyelesaian umumnya adalah, y = yh + yk = C1 e-2x + C2 ex – 2 x2 – 2 x – 3.

2. Selesaikanlah y” – 2 y’ – 3 y = 8 e3X Penyelesaian: Karena persamaan bantu r2 – 2 r – 3 = 0 mempunyai akar-akar –1 dan 3, kita mempunyai penyelesaian homogen, yh = C1 e - x + C2 e 3x Perhatikan bahwa k(x) = 8 e3X adalah bagian dari penyelesaian persamaan homogen. Jadi, digunakan penyelesaian coba-coba yang dimodifikasi, yk = B x e 3x ; yk’ = 3B x e3x + B e3x ; yk’’ = 9B x e3x + 6B e3x Dengan melakukan substitusi ekspresi ini ke dalam persamaan diferensial, yk’’– 2 yk’ – 3 y = 8 e3X didapatkan, 9B x e3x + 6B e3x– 2 (3B x e3x + B e3x ) – 3B x e 3x = 8 e3X 4B e3x = 8 e3X Kita simpulkan B = 2 dan penyelesaian umum persamaan diferensial adalah, y = C1 e - x + C2 e 3x + 2x e3x.

3. Selesaikanlah y” – 4 y’ + 4 y = e2x Penyelesaian: Persamaan bantu r2 – 4 r + 4 = 0 memberikan akar kembar 2 sehingga penyelesaian homogennya adalah, yh = C1 e2x + C2 x e2x Perhatikan bahwa k(x) = e2x merupakan bagian dari penyelesaian persamaan homogen, jadi penyelesaian coba-coba harus dimodifikasi ke dalam bentuk, yk = B x2 e2x ; yk’ = 2Bx e2x + 2Bx2 e2x ; yk’’ = [2(Be2x + 2Bx e2x) + 2(2Bx e2x + 2Bx2 e2x)] Substitusikan yk ini ke dalam persamaan diferensial, yk” – 4 yk’ + 4 y = e2x maka, [2(Be2x + 2Bx e2x) + 2(2Bx e2x + 2Bx2 e2x)]– 4(2Bx e2x + 2Bx2 e2x) + 4 B x2 e2x = e2x atau akhirnya, 2B e2x = e2x Kita simpulkan B = ½ dan penyelesaian umum persamaan diferensial adalah, y = C1 e2x + C2 x e2x + ½ x2 e2x.

4. Selesaikanlah y’’ + 4 y’ = 6 cos 2x Penyelesaian: Persamaan bantu r2 + 4 r = 0 memberikan akar-akar 0 dan –4 sehingga penyelesaian homogennya adalah, yh = C1 + C2 e-4x Untuk penyelesaian khusus digunakan metode coba-coba, yk = B cos 2x + C sin 2x Sekarang, Yk’ = –2B sin 2x + 2C cos 2x Yk’’= –4B cos 2x – 4C sin 2x Oleh karena itu substitusi yk ke dalam persamaan diferensial menjadi, yk’’ + 4 yk’ = 6 cos 2x (–4B cos 2x – 4C sin 2x) + 4(–2B sin 2x + 2C cos 2x) = 6 cos 2x (–4B + 8C) cos 2x – (8B + 4C) sin 2x = 6 cos 2x Penyamaan koefisien-koefisien cos x dan sin x menghasilkan, –4B + 8C = 6, 8B + 4C = 0. Kita simpulkan B = –¼, C = ½ dan penyelesaian umum persamaan diferensial adalah, y = C1 + C2 e-4x – ¼ cos 2x + ½ sin 2x

5. Selesaikanlah y’’ + 9 y = 2 sin 3x Penyelesaian: Persamaan bantu r2 + 9 = 0 memberikan akar-akar 3i dan –3i sehingga penyelesaian homogennya adalah, yh = A cos 3x + B sin 3x Karena k(x) = 2 sin 3x merupakan bagian dari penyelesaian persamaan homogen, maka penyelesaian khususnya harus dimodifikasi ke dalam bentuk, yk = C x cos 3x + D x sin 3x Yk’ = C cos 3x + D sin 3x + 3Dx cos 3x – 3Cx sin 3x yk’’ = 3D cos 3x – 3C sin 3x + 3D cos 3x – 3C sin 3x – 9Cx cos 3x – 9Dx sin 3x atau, yk’’= 6D cos 3x – 6C sin 3x – 9Cx cos 3x – 9Dx sin 3x Substitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan diferensial, y’’ + 9 y = 2 sin 3x (6D cos 3x – 6C sin 3x – 9C x cos 3x – 9D x sin 3x) + 9(C x cos 3x + D x sin 3x) = 2 sin 3x atau, 6D cos 3x – 6C sin 3x = 2 sin 3x Penyamaan koefisien-koefisien cos x dan sin x menghasilkan, 6D = 0, – 6C = 2. Kita simpulkan D = 0, C = –⅓ dan penyelesaian umum persamaan diferensial adalah, y = A cos 3x + B sin 3x – ⅓x cos 3x

6. Selesaikanlah y’’ + 9 y = 8 x cos x Penyelesaian: Penyelesaian homogen sama seperti pada CONTOH 5, yaitu, yh = A cos 3x + B sin 3x Di sini k(x) = 8x cos x bukan merupakan bagian dari penyelesaian persamaan homogen, namun penyelesaian khususnya harus dimodifikasi ke dalam bentuk polinom, yk = C x cos x + D x sin x + E cos x + F sin x Sekarang, Yk’ = C cos x + D sin x – Cx sin x + Dx cos x – E sin x + F cos x = (C+F) cos x + (D–E) sin x + Dx cos x – Cx sin x yk’’ = (D–E) cos x – (C+F) sin x + D cos x – C sin x – Dx sin x – Cx cos x = (2D–E) cos x – (2C+F) sin x – Cx cos x – Dx sin x Substitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan diferensial, y’’ + 9 y = 8 x cos x [(2D–E) cos x – (2C+F) sin x – Cx cos x – Dx sin x] + 9(Cx cos x + Dx sin x + E cos x + F sin x) = 8x cos x (2D+8E) cos x – (2C–8F) sin x + 8 Cx cos x + 8 Dx sin x = 8x cos x Penyamaan koefisien-koefisien cos x, sin x, x cos x dan x sin x menghasilkan, 2D+8E = 0, 2C–8F = 0, 8C = 8, 8D = 0 dan didapatkan, C = 1, D = 0, E = 0 dan F = ¼. Jadi penyelesaian umum persamaan diferensial adalah, y = A cos 3x + B sin 3x + x cos x + ¼ sin x