Variansi, Kovariansi, dan Korelasi

Pendahuluan Rataan (mean) dapat dilambangkan dengan μ Apabila diketahui fungsi distribusi f(x) dari suatu variabel acak X, maka nilai rata-rata (μ) atau ekspektasi metematiknya E(X) dapat diketahui: Ciri khusus data kontinu: kepadatan/ kerapatan (pdf) Nilai x terletak di interval tertentu (x>0)

Pendahuluan Rataan tidak memberikan gambaran dispersi atau sebaran data. Rataan dari masing-masing peubah acak yang berbeda mungkin sama, meskipun distribusinya tidak sama. Oleh karena itu diperlukan besaran lain yang menggambarkan sebaran data. Selain rataan, besaran lain yang sangat penting dalam statistika adalah variansi, simpangan baku, dan kovariansi

Variansi σ2 = E(X2) – μ2

Contoh Kasus 1 (DISKRIT) Misalkan X menyatakan banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin bila 3 suku cadang diambil secara acak dari proses produksi. Distribusi peluang X: Hitunglah variansi dari X!

Contoh Kasus 1 (DISKRIT) JAWAB μ = E(X) =(0)(0.51) + (1)(0.38) + (2)(0.10) + (3)(0.01) = 0.61 E(X2) = (02)(0.51) + (12)(0.38) + (22)(0.10) + (32)(0.01) = (0)(0.51) + (1)(0.38) + (4)(0.10) + (9)(0.01) = 0.87 Jadi, σ2 = 0.87 – (0.61) 2 = 0.4979 σ2 = E(X2) – μ2

Contoh Kasus 2 (KONTINU) Misalkan X menyatakan permintaan minyak goreng (dalam liter) menjelang hari raya. Fungsi padat dari X sebagai berikut: Cari rataan dan variansi X!

Contoh Kasus 2 (KONTINU) JAWAB

Interpretasi Variansi jika nilai-nilai x cenderung terkonsentrasi di dekat rataannya, maka variansinya kecil, sedangkan jika jauh dari rataan maka variansinya besar.

Kovariansi X dan Y adalah variabel random dengan distribusi peluang gabungan f(x, y), maka Kovariansi dari X dan Y adalah

Sifat-Sifat Kovariansi Jika X dan Y DISKRIT

Sifat-Sifat Kovariansi Jika X dan Y KONTINU

Interpretasi Kovariansi Kovariansi antara dua peubah acak (X dan Y) menunjukkan sifat asosiasi (hubungan) antara keduanya Jika kedua peubah tersebut bergerak ke arah yang sama (X membesar dan Y membesar), maka hasil kali (X - μx)(Y - μy) cenderung bernilai positif Jika bergerak kearah berlawanan (X membesar dan Y mengecil), maka hasil kali (X - μx)(Y - μy) cenderung akan bernilai negatif Tanda kovariansi (+ atau -) menunjukkan apakah hubungan antara kedua peubah acak positif atau negatif

Interpretasi Kovariansi HARGA (-) Ada hubungan tapi terbalik (x<< maka y>> atau sebaliknya) HARGA (+) Ada hubungan tetapi sebanding (x<< maka y<< atau sebaliknya) HARGA (0) Tidak ada hubungan

Korelasi

Interpretasi Korelasi Korelasi (r) atau koefisien korelasi menyatakan tingkat keeratan atau seberapa kuat hubungan antara dua variabel = ukuran hubungan dua variabel Nilai r berkisar antara (-1) sampai (+1) Nilai r yang (+) ditandai oleh nilai kovarians yang (+) Nilai r yang (-) ditandai oleh nilai kovarians yang (-) Jika nilai r mendekati -1 atau r mendekati +1 maka X dan Y memiliki korelasi linier yang tinggi Jika nilai r = -1 atau r = +1 maka X dan Y memiliki korelasi linier sempurna Jika nilai r = 0 maka X dan Y tidak memiliki relasi (hubungan) linier

Contoh Kasus 3 (DISKRIT) Misalkan X = jumlah ballpoint warna biru, dan Y = jumlah ballpoint warna merah. Bila dua ballpoint diambil secara acak dari kotak, distribusi peluang gabungannya seperti tabel berikut Hitunglah kovariansi dan korelasi dari X dan Y! f(x,y) x Jumlah baris (h(y)) 1 2 y 3/28 9/28 15/28 3/14 6/14 1/28 Jumlah kolom (g(x)) 10/28

Contoh Kasus 3 (DISKRIT) JAWAB Langkah 1: Hitung mean (Ekspektasi) masing-masing variabel:

Contoh Kasus 3 (DISKRIT) Langkah 2: Hitung E(XY): Langkah 3: Hitung Kovarian:

Contoh Kasus 3 (DISKRIT) Langkah 4: Hitung Korelasi: Jadi, X dan Y memiliki korelasi linier yang tinggi

Contoh Kasus 4 (KONTINU) f(x, y) = 1 adalah kontinu, untuk 0 ≤ x ≤ 1 dan 0 ≤ y ≤ 1 Tentukan: Kovarian Korelasi

Contoh Kasus 4 (KONTINU) JAWAB

Contoh Kasus 4 (KONTINU)

Contoh Kasus 4 (KONTINU)

Contoh Kasus 4 (KONTINU) b) Korelasi Tidak ada hubungan antara x, y -1 ≤ P(x, y) ≤ 1

Review Intensitas curah hujan dan suhu udara dinyatakan dalam variable acak X dan Y dengan distribusi peluang gabungan sebagai berikut. Hitung hubungan (kovariansi) dari dua variabel dan seberapa kuat hubungan antara dua variabelnya (korelasi)?