TURUNAN DALAM RUANG BERDIMENSI n BAB IV TURUNAN DALAM RUANG BERDIMENSI n

4.1 FUNGSI DENGAN DUA PEUBAH ATAU LEBIH Daerah asal (Domain) yaitu himpunan seluruh titik (x,y) pada suatu bidang dimana aturan fungsi berlaku atau masuk akal dan menghasilkan suatu bilangan real. Daerah hasil (range) adalah himpunan dari nilai-nilai hasil substitusi domain ke fungsi.

4.2 TURUNAN PARSIAL Turunan Parsial adalah turunan dari suatu fungsi terhadap peubah-peubahnya. Contoh : f(x,y) = x2y + 3y3 Turunan parsial terhadap x fx = 2xy Turunan parsial terhadap y fy = x2 + 9y2

4.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Lambang Limit Definisi Umum Nilai f(x,y) mendekati bilangan L pada waktu (x,y) mendekati (a,b) Definisi Khusus Untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian hingga | f(x,y) – L | < ε dengan syarat 0 < | (x,y) – (a,b) | < δ

TEOREMA A (Andaikan n bil.bulat positif, k konstanta, f dan g fungsi)

TEOREMA B (Teorema Substitusi) Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional maka Syarat : penyebut ≠ 0 pada fungsi rasional TEOREMA C (Teorema Apit ) Andaikan ada f(x)  h(x)  g(x) untuk semua x dekat c.

KEKONTINUAN f (x,y) kontinu di titik (a,b) dengan syarat : f(x,y) ada Lim f(x,y) ada Lim f(x,y) = f(x,y)

4.4 INKREMEN DAN DIFFRENSIAL Inkremen (pertambahan) Pertambahan (Δz) dari suatu fungsi z = f(x,y) terhadap perubahan (x,y) dari (x1,y1) ke (x2,y2) ditentukan oleh : Contoh : z = 2x3 + xy – y3 Hitung pertambahan z bila (x,y) berubah dari (2,1) ke (2,03;0,98) Δz = f(x2,y2) - f(x1,y1)

DIFFRENSIAL Definisi Jika z = f(x,y) maka diffrensial dari z adalah dz = fx(x,y) dx + fy(x,y) dy Contoh : Tentukan dz dari : z = 3xy + 5xy2 z = (6x2-2y)2 + 4xy2

4.5 ATURAN RANTAI Andaikan x = x(t) dan y = y(t) dapat didiffrensialkan di t dan andaikan z = f(x,y) dapat didiffrensialkan di (x(t),y(t)), maka z = f(x(t)) dapat didiffrensialkan di t dengan dz/dt ditentukan oleh :

4.6 TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN Andaikan f dapat didifrensialkan di p. Maka f mempunyai turunan berarah di p pada arah vektor satuan u = u1i + u2j Duf(x,y)=u1fx(x,y) + u2fy(x,y)

4.7 VEKTOR GRADIEN FUNGSI Jika diketahui f(x,y) maka vektor gradien fungsi adalah = fx i + fy j Jika diketahui f(x,y,z) maka vektor gradien fungsi adalah = fx i + fy j + fz k

4.8 BIDANG SINGGUNG PERMUKAAN NILAI EKSTRIM FUNGSI DUA PEUBAH DEFINISI Andaikan Po suatu tuitik di S yaitu daerah asal f, Nilai Ekstrim [f(po)] adalah suatu nilai maksimum atau suatu nilai minimum dari f pada S

TEOREMA Andaikan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua kontinu dari (xo,yo) dan D = fxx fyy – (fxy)2 Maka berlaku : Jika D>0 dan fxx<0 maka f(xo,yo) nilai maksImum. Jika D>0 dan fxx>0 maka f(xo,yo) nilai minimum. Jika D<0 f(xo,yo) bukan nilai ekstrim (titik pelana). Jika D = 0 pengujian tidak memberi kesimpulan

4.9 MAKSIMUM DAN MINIMUM TERKENDALA PENGALI LAGRANGE TEOREMA Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f(p) terhadap kendala g(p) = 0 selesaikan sistem persamaan :