MATRIKS dan DETERMINASI Difinisi dan Notasi Matriks Matriks adalah sekumpulan bilangan (elemen) real (atau kompleks) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga membentuk jajaran (array) persegi panjang. matriks m x n atau matriks berorder m x n matriks terdiri 2 baris dan 3 kolom dengan 3, 4, 5, 1, 2, 6 sebagai elemen-elemennya

Suatu matriks yang terdiri dari 1 baris saja disebut matriks baris. Contoh: [ 3 4 2 5 ] adalah matriks baris berorde 1 x 4 Suatu matriks yang terdiri dari 1 kolom saja disebut matriks kolom Juga dapat ditulis dalam bentuk: { 2 4 5 7 }  menyatakan matriks berorde 4 x 1.

Secara umum matriks dituliskan seperti di bawah ini: matriks dinyatakan dengan [ aij ] atau [ a ] atau A saja Matriks berelemen tunggal Yaitu matriks yang hanya mempunyai 1 baris dan 1 kolom saja atau matriks berukuran 1 x 1 Matriks dua indeks Masing-masing elemen suatu matriks memiliki alamat atau tempat, di mana indeks pertama menunjukan baris dan indeks kedua menunjukan kolom.

Misal: a23 menunjukan elemen yang terletak pada baris kedua dan kolom ketiga elemen 3 ditunjukan dengan a24

2. Kesamaan matriks Dua matriks dikatakan sama jika ordenya sama dan semua elemen yang letaknya bersesuaian juga sama, jadi kedua matriks tersebut harus berorde sama. Misal: Maka: a11 = 3, a12 = 2, a13 = 6, a21 = 1, dan seterusnya. Dengan demikian [aij ] = [xij ], jika aij = xij untuk semua harga i dan j a = 5, b = 4, c = 2, d = 3, dan seterusnya

3. Penjumlahan dan pengurangan matriks Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan kalau orde kedua matriks tersebut sama. Selanjutnya jumlah atau selisihnya diperoleh dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian. Contoh:

4. Perkalian matriks a. Perkalian dengan skalar Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan (yaitu skalar), berarti mengalikan masing-masing elemennya dengan bilangan skalar tersebut. Contoh: Secara umum k [ aij ] = [ kaij ] Kebalikannya juga berlaku yaitu dengan mengeluarkan faktor yang sama dari setiap elemen.

b. Perkalian dua buah matriks Dua buah matriks dapat dikalikan satu terhadap yang lain, jika banyaknya kolom pada matriks pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua. Misal: Maka: Contoh:

Secara umum untuk matriks A ( aij ) berukuran ( p x z ) dan matriks B ( bij ) berukuran ( z x r ), hasil berkalian matriks A.B adalah C ( cij ) berukuran ( p x r ) Perhatikan bahwa perkalian matriks (2 x 3) dengan matriks (3 x 1) akan menghasilkan matriks (2 x 1), yaitu: Orde (2 x 3) x orde (3 x 1) menghasilkan orde (2 x 1) sama Atau Orde (p x z) x orde (z x r) menghasilkan orde (p x r) Contoh: Orde (3x2) x orde (2x4) =orde (3x4)

Perhatikan, bahwa A. B ≠ B. A, yaitu perkalian non-komutatif Perhatikan, bahwa A . B ≠ B . A, yaitu perkalian non-komutatif. Urutan faktor dalam perkalian sangatlah penting Contoh: Maka:

5. Tranpose Matriks Jika baris dan kolam suatu matrik dipertukarkan, maksudnya baris pertama menjadi kolom pertama, baris kedua menjadi kolom kedua, baris ketiga menjadi kolom ketiga dan seterusnya, maka matriks baru yang terbentuk disebut transpose matrik semula. Jika matriks semula A maka transpose dinyatakan atau AT. Contoh: Jika: A . B maka transposenya adalah ( A . B )T

Matriks-matriks khusus a. Matriks Bujur Sangkar Matriks bujur sangkar adalah matriks berorde m x m Contoh: Matriks aij disebut simetri jika aij = aji (transpose) elemen baris dan elemen kolomnya sama di sini berlaku A = AT

Matriks bujur sangkar disebut matriks anti simetri jika aij = - aji atau A = -AT elemen baris dan elemen kolom sama, tapi tanda berlawanan Contoh:  A = -AT b. Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemennya sama dengan nol, kecuali elemen pada diagonal utamanya.

c. Matriks Satuan d. Matriks Nol Matriks satuan adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya sama dengan satu Contoh: Matriks satuan dinyatakan dengan I, dan berlaku A.I = I.A = A, jadi sifat matriks satuan I sangat mirip dengan bilangan 1 (satu) dalam ilmu hitung dan aljabar biasa. d. Matriks Nol Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya sama dengan nol

Determinan dan Invers Matriks a. Determinan matriks bujur sangkar Jika A.B = 0, kita tidak dapat menarik kesimpulan bahwa A = 0 atau B = 0, karena: A.B = 0 tetapi A ≠ 0 dan B ≠ 0 Determinan dan Invers Matriks a. Determinan matriks bujur sangkar Contoh: + -

Determinan orde tiga mempunyai 3 baris dan 3 kolom   Contoh: Masing-masing elemen dalam determinan ini berkaitan dengan minornya yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom yang memuat elemen tersebut. Misal:

Selanjutnya untuk menghitung determinan ( d ) order ketiga kita tuliskan elamen-elemen dari baris yang atas kemudian masing-masing dikalikan dengan minornya dan berikan tanda plus dan minus bergantian pada suku-sukunya. Contoh:

b. Invers matrik bujur sangkar Invers dari suatu matriks bujur sangkar A adalah A-1, di mana: C = matriks kofaktor Masing-masing elemen matriks memberikan kofaktor yang tidak lain adalah minor elemen dalam determinan bersama-sama dengan tanda tempatnya. Secara umum: Tanda + (plus), - (minus) secara bergantian yang dimulai dari sudut kiri atas.

Contoh: a. Tentukan invers dari matriks berorde 2 x 2: Jawab: Determinan A = 2 . 4 – 1 . 3 = 5 Matrik kofaktor dari matriks A adalah: dapat dibuktikan bahwa: A x A-1 = 1

Tentukan invers dari metriks berorde 3 x 3: Jawab: Determinan A = 2 (0 – 24) – 3 (0 – 6) + 5 (16 – 1) = 45

. Bila determinan A = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan matriks A disebut matriks singular.

Persmaan Linier dengan Metode Matriks Tinjau suatu sistem persamaan linier:   dapat di tulis dalam bentuk matrik: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + .....+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + .....+ a2n xn = b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . An1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + .....+ ann xn = bn

. Jika persamaan matriks A . x = b di kalikan dengan invers matriks A, maka: A-1. A. x = A-1. B    Jadi: x = A-1. b

Contoh: Pecahkan sistem persamaan berikut:   X1 + 2x2 + x3 = 4 3x1 – 4x2 – 2x3 = 2 5x1 + 3x2 + 5x3 = -1   Bentuk matriksnya :

. Kofaktor: A11 = + (-20 + 6) = -14 A12 = - (15 + 10) = -25 A13 = + (9 + 20) = 29 A21 = - (10 - 3) = -7 A22 =+ (5 - 5) = 0 A23 = - (3 - 10) = 7 A31 = + (-4 + 4) = 0 A32 = - (-2 –3) = 5 A33 = + (- 4 - 6) = - 10

.

9. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Untuk persoalan teknik yang menyangkut gandengan osilasi atau vibrasi, sering kali dijumpai persamaan dalam bentuk: A . x = λx Dengan: A = [ aij ] adalah matriks bujur sangkar dan λ adalah bilangan (skalar) Untuk x ≠ 0, harga λ yang memenuhi bentuk persamaan tersebut disebut nilai eigen atau nilai karakteristik atau akar laten dari matriks A. Solusi yang bersesuaian dengan persamaan yang diberikan A . x = λx disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari A.

Bila persamaan A.x = λx dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan yang terpisah, diperoleh: yaitu:   a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + .....+ a1n xn = λx1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + .....+ a2n xn = λx2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . An1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + .....+ ann xn = λxn

Bila ruas kanan dipindahkan kekiri, peramaan menjadi: yaitu: (a11 – λ)x1 + a12 x2 + a13 x3 + .....+ a1n xn = 0 a21 x1 + (a22 – λ)x2 + a23 x3 + .....+ a2n xn = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + .....+ ann xn = 0

A . x = λx A .x – λx = 0 atau (A - λI)x = 0 Perhatikan: karena matriks hanya dapat dikurangi dengan matriks lagi, maka matriks satuan ( I ) disisipkan kedalam persamaannya. Ingat: berlaku A.I = I.A = A, sifat matriks satuan I sangat mirip dengan bilangan 1 (satu) dalam ilmu hitung dan aljabar biasa. Jadi:  |A – λI| disebut determinan karakteristik dari A  |A – λI| = 0 disebut persamaan karakteristiknya

Dengan menjabarkan determinan karakteristik dari A akan diperoleh sebuah polinomial berderajat n dan pemecahan persamaan karakteristiknya memberikan harga λ, yaitu nilai eigen dari A. Untuk setiap nilai eingen (λ1, λ2, atau λ3 )yang diperoleh terdapat solusi x yang bersesuaian dengannya, yang disebut vektor eigen. Dalam bahasa matriks, istilah vektor menyatakan matriks baris atau matriks kolom, jadi: Vektor eigen dalam bentuk: adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ (nilai eigen)nya.  

Contoh: 1. Tentukan nilai eigen dari matriks Tinjau persamaan A . x = λx yaitu (A – λI) = 0   Determinan karakteristik: Persamaan karakteristik: |A – λI) = 0  (4 – λ)(2 – λ) – 3 = 0  λ2 - 6 λ + 5 = 0 (λ – 1) (λ – 5) = 0  λ = 1 atau 5 Jadi nilai eingin dari matriks A adalah: λ1 = 1, λ2 = 5

Untuk λ1 = 1, persamaan: A . x = λx menjadi: Jadi: 3x1 + x2 = 0  x2 = -3x1 Ini menunjukan bahwa berapapun nilai x1, nilai x2 selalu – 3 kali nilai x1. Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigin λ = 1 adalah: Untuk λ2 = 5, persamaan: A . x = λx menjadi: Jadi: - x1 + x2 = 0  x2 = x1 Ini menunjukan bahwa berapapun nilai x1, nilai x2 selalu sama dengan nilai x1. Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigin λ = 5 adalah:

Tentukan nilai eigen dari matriks : Tinjau persamaan A . x = λx yaitu (A – λI) = 0 Determinan karakteristik: Persamaan karakteristik: |A – λI) = 0 (2 – λ) { - λ(4 – λ) + 2} + 1 {- 2 + (4 – λ)} = 0 (2 – λ) { λ2 - 4λ + 2} + ( 2 - λ) = 0 (2 – λ) { λ2 - 4 λ + 3} = 0  λ = 1 atau 2 atau 3 Jadi nilai eingin dari matriks A adalah: λ1 = 1, λ2 = 2, dan λ3 = 3

Untuk λ1 = 1, persamaan: A . x = λx, x1 + x3 = 0  x3 = - x1  untuk x1 = 1, x3 = -1 -x1 + 3x2 – x3 = 0  -x1 + 3x2 + x1 = 0 3x2 = 0  x2 = 0 Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigin λ1 = 1 adalah:

Untuk λ2 = 2, persamaan: A . x = λx, -x1 + 2x2 – x3 = 0  -x1 + 2x2 = 0 2x2 = x1 untuk x1 = 2, berarti x2 = 1 Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigin λ2 = 2 adalah:

Untuk λ3 = 3, persamaan: A . x = λx, -x1 + x3 = 0  x3 = x1 -x1 + x2 – x3 = 0  -2x1 + x2 = 0 x2 = 2x1 untuk x1 = 1, berarti x2 = 2 Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigin λ3 = 3 adalah:

PR V Tentukan: A + B dan A – B , tentukan A . B dan B . A ,   , tentukan A.B Tentukan AT dan AT . A

Tentukan : Determinan A dan invers dari A 6. Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks :