BARISAN DAN DERET MATEMATIKA Materi 5 BARISAN DAN DERET MATEMATIKA Choirudin, M.Pd

A. Pola dan Barisan Bilangan Apakah gambar di atas membentuk suatu pola? Bisakah kalian menyebutkan bilangan selanjutnya? Gambar di atas membentuk suatu pola bilangan. Pola bilangan adalah aturan yang menyebabkan bilangan-bilangan yang bersangkutan berubah secara teratur. 2, 6, 12, 20, .... Jadi bilangan selanjutnya adalah 30

Sekarang perhatikan susunan-susunan bilangan berikut c. 1, 3, 6, 4, 5, .... b. 1, 4, 9, 16, 25 .... d. 2, 5, 1, 7, 3, .... Susunan bilangan a dan b memiliki pola atau aturan tertentu Susunan bilangan c dan d tidak memiliki pola atau aturan tertentu Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang dibentuk menurut pola atau aturan tertentu

Pada suatu barisan bilangan, setiap bilangan yang membentuk barisan itu disebut suku barisan yang dilambangkan dengan U. U1 = suku pertama U2 = suku kedua U3 = suku ketiga .... Un = suku ke-n Un disebut suku umum Pada barisan: 2, 4, 6, 8, 10, ... suku pertama (U1) = 2 suku kedua (U4) = 8

Contoh Tentukan tiga suku pertama pada barisan-barisan Un = n2 + 1 Suku pertama U1 = (1)2 + 1 = 2 Suku kedua U2 = (2)2 + 1 = 5 Suku ketiga U3 = (3)2 + 1 = 10

B. Notasi Sigma 1. Pengertian Notasi Sigma Perhatian barisan bilangan berikut! 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... Merupakan barisan bilangan ganjil, apabila sepuluh bilangan pertama dijumlahkan maka, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 Penulisan penjumlahan barisan bilangan di atas dapat disederhanakan dengan notasi sigma sebagai berikut Rumus umum barisan bilangan ganjil adalah 2n – 1 sehingga 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 =

Bentuk umum notasi sigma adalah sebagai berikut dibaca “penjumlahan suku-suku Ui untuk i = 1 sampai dengan i = n” dengan i : indeks penjumlahan i = 1 : batas bawah penjumlahan i = n : batas atas penjumlahan {1 2, 3, ..., n} disebut wilayah penjumlahan

2. Sifat-sifat Notasi Sigma Notasi sigma memiliki sifat-sifat sebagai berikut.

Contoh Hitunglah nilai dari penjumlahan-penjumlahan yang dinyatakan dengan notasi sigma berikut ini

C. Barisan dan Deret Aritmetika 1. Barisan Aritmetika a. Pengertian Barisan Aritmetika 1 m 3 m 5 m 7 m ??? Lompatan katak di atas membentuk barisan aritmetika sebagai berikut 1, 3, 5, 7, .... U2 ‒ U1 = 3 ‒ 1 = 2 U4 ‒ U3 = 7 ‒ 5 = 2 U3 ‒ U2 = 5 ‒ 3 = 2 Suatu barisan dengan dua suku yang berurutan selalu mempunyai beda yang tetap disebut barisan aritmetika.

U1, U2, U3, ..., Un a suku ke-n Beda = b Beda barisan (b) dapat ditentukan dengan cara mengurangkan dua suku yang berurutan. Jika U1, U2, U3, ..., Un adalah suatu barisan aritmetika maka Beda → b = U2 ‒ U1 = U3 ‒ U2 = ... = Un ‒ Un ‒ 1 Secara umum barisan aritmetika dirumuskan: U1, U2, U3, ..., Un a suku ke-n Beda = b

Un = a + (n ‒ 1) b b. Rumus Suku ke-n U1 = a U2 = U1 + b = a + b U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b = a + (3 – 1) b U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b = a + (4 – 1) b diperoleh pola, sehingga kita dapat menentukan U23 dan U46 U23 = a + (23 – 1) b = a + 22b U46 = a + (46 – 1) b = a + 45b Secara umum, suku ke-n ditentukan oleh rumus berikut. Un = a + (n ‒ 1) b

Contoh Carilah suku ke-15 dan ke-35 dari barisan aritmetika: 4, 7, 10, ... Langkah pertama, mencari rumus suku ke-n barisan tersebut. a = 4, b = U2 – U1 = 7 – 4 = 3 Sehingga Un = a + (n – 1)b Un = 4 + (n – 1)3 = 4 + 3n – 3 = 3n + 1 Jadi Un = 3n + 1 Un = 3n + 1 → U15 = 3(15) + 1 = 45 + 1 = 46 U15 = 46 U35 = 3(35) + 1 = 105 + 1 = 106 U35 = 106

Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un 2. Deret Aritmetika a. Pengertian Deret Aritmetika Apabila suku-suku dalam barisan aritmetika dijumlahkan, maka akan diperoleh deret aritmetika. Jika U1, U2, U3, ..., Un barisan aritmetika, maka U1 + U2 + U3 + ...+ Un merupakan deret aritmetika Deret aritmetika yang diperoleh dengan cara menjumlahkan n suku pertama suatu barisan aritmetika dinotasikan dengan Sn. Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un

b. Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmetika (Sn) Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Dengan, a = suku pertama b = beda n = nomor suku Sn dapat juga dinyatakan sebagai

Contoh Hitunglah jumlah 65 suku pertama deret aritmetika 3 + 5 + 7 + ... U1 = a = 3 dan beda (b) = U2 – U1 = 5 – 3 = 2 Hitunglah Deret : 2 + 4 + 6 + ... + 122 U1 = a = 2, beda (b) = U2 – U1 = 4 – 2 = 2, dan Un = 122 Un = a + (n ‒ 1) b = 122 Jadi, U61 = 122 dan S61 adalah 2 + (n ‒ 1) 2 = 122 2 + 2n ‒ 2 = 122 2n = 122 n = 61

Un = Sn ‒ Un‒1 c. Hubungan Un dengan Sn Perhatikan uraian berikut! Dengan demikian Un = Sn ‒ Un‒1

3. Suku Tengah Barisan atau Deret Aritmetika (Ut) 2, 4, 6, 8, 10 Ut Ut dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan suku awal dan suku akhir lalu dibagi 2. dari barisan di atas Ut adalah Secara umum suku tengah (Ut) barisan atau deret aritmetika

Suku tengah dapat digunakan untuk mencari jumlah suku ke-n barisan aritmetika Tinjau kembali rumusan jumlah n suku pertama barisan aritmetika

4. Sisipan Barisan U1, U2, U3, ..., Un dapat dinyatakan sebagai Apabila di antara dua suku pada barisan di atas disisipkan k buah bilangan maka bentuk baru dari barisan aritmetika tersebut adalah sebagai berikut. b‘ = beda baru (beda setelah ada k bilangan sisipan)

Karena ada k buah bilangan yang disisipkan di antara dua suku, maka ada perubahan pada beda barisan dan banyaknya suku. (i) beda barisan baru ( b’ ) ditentukan oleh (ii) banyaknya suku yang disisipkan adalah k buah maka banyaknya suku baru adalah: n‘ = n + (n – 1 ) k (iii) Jumlah suku setelah sisipan ditentukan oleh rumus

Contoh Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terbentuk deret aritmetika. Tentukan jumlah deret yang terbentuk! Deret: 20 + 116 → a = 20 dan Un = 116 Banyaknya suku awal: n = 2 Banyak suku baru: n‘ = n + (n – 1 ) k → n´ = 2 + (2 ‒ 1) 11 = 13 Jumlah deret setelah sisipan:

D. Barisan dan Deret Geometri 1. Barisan Geometri a. Pengertian Barisan Geometri 1 m 2 m 4 m 8 m Lompatan katak di atas membentuk barisan geometri sebagai berikut 1, 2, 4, 8, .... Suatu barisan dengan dua suku yang berurutan selalu mempunyai rasio atau perbandingan yang tetap disebut barisan geometri.

Rasio (r) dapat ditentukan dengan cara membandingkan dua suku yang berurutan. Jika U1, U2, U3, ..., Un adalah suatu barisan geometri maka

Un = ar(n ‒ 1) b. Rumus Suku ke-n Barisan Geometri U1 = a U2 = U1 × r = a × r = ar U3 = U2 × r = (ar) × r = ar2 U4 = U3 × r = (ar2) × r = ar3 diperoleh pola, sehingga kita dapat menentukan U19 dan U32 U19 = ar(19 – 1) = ar18 U32 = ar(32 – 1) = ar31 Secara umum, suku ke-n ditentukan oleh rumus berikut. Un = ar(n ‒ 1)

Tentukanlah U10 dan U15 dari barisan geometri berikut: Contoh Tentukanlah U10 dan U15 dari barisan geometri berikut: Langkah pertama mencari rumus suku ke-n: MATERI

Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un 2. Deret Geometri b. Pengertian Deret Geometri Apabila suku-suku dalam barisan geometri dijumlahkan, maka akan diperoleh deret geometri. Jika U1, U2, U3, ..., Un barisan geometri, maka U1 + U2 + U3 + ...+ Un merupakan deret geometri MATERI Deret geometri yang diperoleh dengan cara menjumlahkan n suku pertama suatu barisan geometri dinotasikan dengan Sn. Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un

b. Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret geometri Jumlah n suku pertama deret geometri adalah Dengan, a = suku pertama r = rasio MATERI n = nomor suku Jika dan , maka Sn dapat juga dinyatakan sebagai

Contoh Hitunglah jumlah 10 suku pertama deret geometri berikut. a. 1 + 2 + 4 + ... b. 36 + 12 + 4 + ... a. Deret: 1 + 2 + 4 + ... b. Deret: 36 + 12 + 4 + ... a = 1 dan a = 36 dan Jumlah 10 suku pertama: Jumlah 10 suku pertama:

Un = Sn ‒ Un‒1 Untuk n = 1 maka U1 = S1 c. Hubungan Un dengan Sn Perhatikan uraian berikut! Dengan demikian Un = Sn ‒ Un‒1 Untuk n = 1 maka U1 = S1

3. Suku Tengah Barisan atau Deret Geometri (Ut) 1, 2, 4, 8, 16 Ut Ut dapat diperoleh dengan cara mengalikan suku awal dan suku akhir lalu mengakarkannya. Dari barisan di atas Ut diperoleh Secara umum suku tengah (Ut) barisan atau deret geometri

Kita juga dapat mencari bilangan yang diapit oleh kedua bilangan yang lain dengan cara menggunakan rumus rasio, sebagai contoh pada barisan geometri 1, 2, ..., 8, 16

4. Sisipan Barisan geometri U1, U2, U3, ..., Un dapat dinyatakan sebagai Apabila di antara dua suku pada barisan di atas disisipkan k buah bilangan/suku baru sehingga membentuk barisan geometri yang baru adalah sebagai berikut. r‘ = rasio baru (rasio setelah ada k bilangan sisipan)

Karena ada k buah bilangan yang disisipkan di antara dua suku, maka ada perubahan pada rasio barisan dan banyaknya suku. (i) rasio barisan baru ( r’ ) ditentukan oleh (ii) banyaknya suku yang disisipkan adalah k buah maka banyaknya suku baru adalah: n‘ = n + (n – 1 ) k (iii) Jumlah suku setelah sisipan ditentukan oleh rumus

5. Deret Geometri Tak Hingga a. Pengertian Deret Geometri Tak Hingga Deret geometri tak hingga adalah suatu deret geometri yang banyak suku-sukunya tak terbatas (tak hingga). Deret: a + ar + ar2 + ... + arn ‒ 1 merupakan suatu deret geometri dengan n suku. Sementara itu, deret: a + ar + ar2 + ... merupakan deret geometri tak hingga

b. Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Hingga Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Hingga sebagai berikut Untuk ‒1 < r < 1 berlaku konvergen Jadi jumlah tak hingga suatu deret akan mempunyai nilai. Untuk r < ‒1 atau r > 1 berlaku divergen Jadi jumlah tak hingga suatu deret tak akan mempunyai nilai.

Contoh Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Hingga adalah Jadi jumlah deret geometri tak hingga itu adalah

E. Aplikasi Barisan dan Deret Contoh aplikasi barisan dan deret Seorang pegawai setiap tahun mendapat kenaikan gaji yang besarnya tetap. Ia mulai bekerja pada tahun 1990 dengan gaji Rp225.000,00 per bulan, dan tahun 1996 gajinya menjadi Rp465.000,00. Berapakah gaji yang akan diterimanya pada tahun 2000? Ini merupakan masalah barisan aritmetika. Tahun gaji = suku ke-n dan kenaikan gaji = beda Misalkan tahun 1990 = U1, maka tahun 1996 = U7, dan tahun 2000 = U11. U11 = U7 + 4b U7 = U1 + 6b U11 = 465.000 + 4(40.000) 465.000 = 225.000 + 6b U11 = 465.000 + 160.000 = 625.000 6b = 240.000 Jadi, besarnya gaji pegawai itu pada tahun 2000 adalah Rp625.000,00 b = 40.000

Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari tempat yang tingginya 1 meter. Setiap kali bola itu memantul, ia mencapai ketinggian yang sama dengan duapertiga dari tinggi yang dicapainya pada pemantulan terakhir. Tentukan panjang lintasan bola itu sampai terhenti! Ini merupakan masalah deret geometri tak hingga. Sketsa lintasan bola sebagai berikut. Panjang lintasan adalah = 1 + 4 = 5 Jadi, panjang lintasan bola itu adalah 5m.

Latihan Kerjakan latihan 1 sampai dengan latihan 11