BARISAN DAN DERET GEOMETRI GISOESILO ABUDI, SPd blog : soesilongeblog.wordpress.com e-mail : gisoesilo_wp@yahoo.com BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Apa perbedaan antara kedua barisan itu ! Perhatikan contoh dibawah ini : 2, 7, 12, 17, 22, … 2, 4, 8, 16, 32, … Apa perbedaan antara kedua barisan itu !

1. Barisan Geometri Barisan geometri yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari perbandingan antara satu suku dengan suku sebelumnya (𝐫= 𝐔 𝟐 𝐔 𝟏 = 𝐔 𝟑 𝐔 𝟐 = 𝐔 𝐧 𝐔 𝐧−𝟏 )

Contoh 2, 4, 8, 16, 32, …. Un U1 = 2 U2 = 4 U3 = 8 U4 = 16 U5 = 32 Un = suku ke-n

Jika suku pertama (U1) dinyatakan dengan a, pembanding (rasio) antara dua suku berurutan diberi notasi r, dan suku barisan ke-n dilambangkan Un, maka untuk suku ke-n diperoleh rumus : Sn = ar n-1

Contoh 1 Diketahui baris ukur : 2, 4, 8, 16, …. Tentukan suku pertama, rasio, rumus suku ke-n dan suku ke-7 ! Penyelesaian U1 = a = 2 Rasio = 𝐫= 𝐔 𝟐 𝐔 𝟏 = 2 Sn = suku ke-n ?

Un = ar n-1 = (2)(2) (n-1) = 21+ n-1 = 2 n Jadi suku ke-7 = 2 7 = 128

Contoh 2 Dari suatu barisan geometri diketahui a = 160, r = 1 4 , dan Un = 5 32 . Tentukan banyak suku (n) barisan tersebut. Penyelesaian Un = ar n-1 5 32 = 160. ( 1 4 ) n-1 ( 1 4 ) n-1 = 5 32 . 1 160

( 1 4 ) n-1 = 1 32 . 1 32 ( 1 4 ) n-1 = ( 1 4 ) 5 n – 1 = 5 n = 6 Jadi, banyak suku (n) barisan tersebut adalah 6

Contoh 3 Pada tahun 2001 jumlah penduduk suatu kota adalah 500.000 orang. Jika setiap tahun karena faktor urbanisasi dan kelahiran penduduk bertambah 2%, tentukanlah jumlah penduduk pada tahun 2010 !

Penyelesaian Tahun Jumlah penduduk U1 : 2001 ⇔ 500.000 ↓ Un : ⇔ 500.000 (1 + 0,02)n-1

Untuk U1 = a = 500.000, r = 2% = 0,02, maka pada tahun 2010 (U10) diperoleh : Un = 500.000 (1 + 0,02)n-1 U10 = 500.000 (1,02)10-1 U10 = 500.000 (1,02)9 U10 = 597.546,28 Jadi, jumlah penduduk pada tahun 2010 adalah 597.546 orang

2. Deret Geometri/Deret Ukur Deret geometri yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan di mana suku pertamanya sama dengan suku pertama baris ukurnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris ukurnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris ukurnya, dan seterusnya.

Contoh Baris ukur : 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + …. S1 = 2 S2 = 6 S3 = 18 S4 = 54 dan seterusnya Sn = jumlah ke-n

Jika suku pertama (S1) dinyatakan dengan a, pembanding (rasio) antara dua suku berurutan diberi notasi r, dan jumlah barisan ke-n dilambangkan Dn, maka untuk deret ukur ke-n diperoleh rumus : 𝐒 𝐧 = 𝐚( 𝐫 𝐧 −𝟏) 𝐫−𝟏 Untuk r ≠ 1 dan r > 1 𝐒 𝐧 = 𝐚( 𝟏−𝐫 𝐧 ) 𝟏−𝐫 Untuk r ≠ 1 dan r < 1 Apabila rumus jumlah n suku pertama diketahui, maka untuk mencari suku ke-n digunakan : Un = Sn – Sn-1

Contoh 1 Tentukan rasio, suku ke-10 dan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + …

Penyelesaian a = U1 = 3 Rasio = 𝐫= 𝐔 𝟐 𝐔 𝟏 = 2 (r > 1) Un = ar n-1 U10 = 3.(2)10-1 = 3.(2)9 = (3).(512) = 1.536 𝐒 𝐧 = 𝐚( 𝐫 𝐧 −𝟏) 𝐫−𝟏 𝐒 𝟏𝟎 = 𝟑( 𝟐 𝟏𝟎 −𝟏) 𝟐−𝟏 = 3(1.024 – 1) = 3.069 Jadi r = 2, U10 = 1.536, dan 𝐒 𝟏𝟎 = 3.069.

Contoh 2 Tentukan rasio, suku ke-10 dan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + …

Penyelesaian a = U1 = 2 Rasio = 𝐫= 𝐔 𝟐 𝐔 𝟏 = 𝟏 𝟐 (r < 1) Un = ar n-1 U10 = …. 𝐒 𝐧 = 𝐚( 𝐫 𝐧 −𝟏) 𝐫−𝟏 𝐒 𝟏𝟎 = … Jadi r = 1 2 , U10 = .…, dan 𝐒 𝟏𝟎 = ….

Contoh 3 Suatu deret ukur dinyatakan sebagai berikut : 2 + 22 + 23 + 24 + … + 2n = 510 Carilah nilai n !

Penyelesaian a = U1 = 2 Rasio = 𝐫= 𝐔 𝟐 𝐔 𝟏 = 2 (r > 1) 𝐒 𝐧 = 510 𝟓𝟏𝟎= 𝟐( 𝟐 𝐧 −𝟏) 𝟐−𝟏 510 = 2 n+1 – 2 512 = 2 n+1 256 = 2n ⇔ n = 8

Contoh 4 Dari sebuah deret ukur, diketahui S6 = 96 dan S8 = 384. Hitunglah jumlah enam suku pertama deret ukur tersebut ! Coba Anda cari solusi contoh di atas !

3. Deret Geometri Tak hingga Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyak suku-sukunya tak hingga. Jika suku pertama (S1) dinyatakan dengan a, pembanding (rasio) antara dua suku berurutan diberi notasi r, dan jumlah barisan tak hingga dilambangkan S∞, maka untuk deret ukur tak hingga diperoleh rumus : 𝐒 ~ = 𝐚 𝟏−𝐫

Contoh 1 Hitung jumlah deret geometri tak hingga : 18 + 6 + 2 + … Solusi a = 18; r = 𝑈 2 𝑈 2 = 6 18 = 1 3 𝑆 ~ = 𝑎 1−𝑟 = 18 1− 1 3 𝑆 ~ = 18 2 3 = 27

Contoh 2 Sebuah bola elastis dijatuhkan dari ketinggian 2m. Setiap kali memantul dari lantai, bola mencapai ketinggian 3 4 dari ketinggian sebelumnya. Berapakah panjang lintasan yang dilalui bola hingga berhenti ?

Illustrasi bola turun a = 2 r = 𝟑 𝟒 Deret lintasan saat bola turun : 2+ 3 2 + 9 8 + 27 32 + 81 128 +… Panjang lintasan saat bola turun : 𝑆 ~ = 𝑎 1−𝑟 = 2 1− 3 4 = 2 1 4 =8

Illustrasi bola naik a = 𝟑 𝟐 r = 𝟑 𝟒 Deret lintasan saat bola naik : 3 2 + 9 8 + 27 32 + 81 128 +… Panjang lintasan saat bola naik : 𝑆 ~ = 𝑎 1−𝑟 = 3 2 1− 3 4 = 3 2 1 4 =6

Jadi, panjang lintasan bola sampai berhenti adalah panjang lintasan saat bola turun + panjang lintasan saat bola naik, yaitu : 8 + 6 = 14 meter.

Latihan 1 Sebuah baris hitung mempunyai suku pertama bernilai 210. Beda antar suku 15. Hitunglah suku ke-10 nya ! Berapakah jumlah lima suku pertammanya ?

Latihan 2 Jika diketahui suku kedua besarnya 275 dan suku keenam besarnya 375. Berapa suku pertama baris hitung tersebut ?. Berapakah nilai suku kesepuluhnya ?. Berapa jumlah sepuluh suku pertamanya !

Latihan 3 Pabrik rokok “Kurang Garam” menghasilkan sejuta bungkus rokok pada tahun pertama berdirinya, dan 1,6 juta bungkus pada tahun ketujuh Andaikata perkembangan produksinya konstan, berapa tambahan produksinya per tahun ? Berapa produksinya pada tahun kesebelas ? Pada tahun ke berapa produksinya 2,5 juta bungkus rokok ? Berapa bungkus rokok yang telah ia hasilkan sampai dengan tahun ke – 16 ?.

Latihan 4 Pabrik kecap “Nambewan” memproduksi 24.000 botol kecap pada tahun ke-6 operasinya. Karena persaingan keras dari kecap-kecap merek lain, produksinya terus menurus secara konstan sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi 18.000 botol. Berapa botol penurunan produksinya per tahun ? Pada tahun ke berapa pabrik kecap tersebut tidak berproduksi (tutup) Berapa botol kecap yang ia hasilkan selama operasinya ?.

Latihan 5 Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 10 juta dalam jangka waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya dengan tingkat bunga yang diasumsikan konstan sebesar 11% per-tahun Berapa jumlah uang yang diterimanya pada akhir tahun kelima jika didepositokan dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali ? dan Berapa jumlah uang yang diterimanya jika didepositokan dengan pembungaan tiap tiga bulan.

Latihan 6 Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3,25 juta jiwa pada tahun 2008, diperkirakan menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen pertumbuhannya ? Berapa Jumlah penduduknya pada tahun 2015 ?

TERIMA KASIH gisoesilo_wp@yahoo.com soesilongeblog.wordpress.com 03172687730