ANALISA VARIABEL KOMPLEKS ( COMPLEX VARIABLE ANALYSIS) Dilla Kholilah Suri Kusuma Ratna Dewi Ratih Kumala Sari Yunita Christianti Evi Rahmawati Margaretta Linanda Dewi

BAB III T U R U N A N ( 3.2 )

3.2 Syarat Chaucy-Ricmann Syarat yang diperlukan agar fungsi f terdiferensialkan di zo = xo + i yo adalah syarat Chaucy - Ricmann, yang menghubungkan derivatif-derivatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f.

Teorema 3.2.1 (Syarat Chaucy-Ricmann) Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) terdiferensial di zo=xo + i yo, maka u(x,y) dan v(x,y) mempunyai derivatif parsial pertama di (xo , yo) dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauchy-Ricmann, dan derivatif f di zo dapat dinyatakan dengan f’ (zo) = ux (xo,yo) + i vx (xo,yo) Jika persamaan C-R tidak terpenuhi di (xo,yo) maka f(z) = u(x,y) + i v(x,y) pasti tidak terdiferensial di zo= xo + i yo

Contoh 3.2.1 Buktikan f(z) = |z|2 tidak terdifferensiasi di z  0 Bukti : f(z) = x2 + y2 sehingga u(x,y) = x2 + y2 v(x,y) = 0 Persamaan Cauchy – Riemann

dan (2) tidak dipenuhi jika x  0 atau y  0, jadi pasti f tidak terdeferensial di z  0 Catatan : Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan.

Contoh 3.2.2 Buktikan fungsi f(z) = dan f(0) = 0, tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-R ! Bukti : u = dengan u(0,0) = 0 dengan v(0,0) = 0 v = ux(0,0) = = 1 = -1 uy(0,0) =

vx(0,0) = = 1 vy(0,0) = = 1 Jadi persamaan Cauchy – Riemann terpenuhi Tetapi Untuk z  0 = 1 + i Sepanjang garis real y = 0 

= Jadi Sepanjang garis real y = x  tidak ada sehingga f tidak terdifferensial di 0 meskipun persamaan C-R dipenuhi di (0,0) Jadi

, , ada di (xo, yo) , dan = Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa : i. Syarat perlu f(z) = u(x,y) + iv(x,y), zo = xo + i yo f’(z) ada maka , , , ada di (xo, yo) berlaku C-R yaitu : = dan = dan f’(z0) = ux(x0,y0) + i vx(x0,y0)

ii. Syarat cukup u(x,y), v(x,y), ux(x,y), vx(x,y), uy(x,y), vy(x,y) kontinu pada kitar zo = xo + i yo dan di (xo,yo) dipenuhi C-R maka f’(zo) ada

Contoh 3.2.3 Buktikan f(z) = ex(cos y + i sin y) terdiferensial untuk setiap z dalam ℂ ! Bukti : u(x,y) = excos y  ux(x,y) = excos y uy(x,y) = -exsin y v(x,y) = exsin y  vx(x,y) = exsin y vy(x,y) = excos y ada dan kontinu di setiap (x,y)  ℂ

Berdasarkan persamaan C-R : ux = vy dan uy = -vx dipenuhi di  (x,y)  ℂ, dan ada kitar dimana keenam fungsi kontinu dan C-R dipenuhi di (x,y). Jadi f’(z) ada  z  ℂ. Dan f’(z) = ux(x,y) + i vx(x,y) = excos y + i exsin y

See you ………