Dilatasi

Pernahkan kalian memperbesar atau memperkecil ukuran foto untuk dicetak? Ukuran Foto Panda 13 x 10,5 cm Ukuran Foto Panda 6,5 x 5,25 cm

Contoh dalam Matematika

Seorang ibu menyimpan gula dalam sebuah gelas plastik berbentuk tabung tanpa tutup dengan luas alas 616 𝑐𝑚 2 (alas berbentuk lingkaran). Kemudian ibu menutup tabung tersebut dengan plastik serta mengikatnya dengan karet gelang yang berbentuk lingkaran dengan diameter 7 cm. Hitunglah pembesaran karet tersebut? Karet gelang

Penyelesaian : 𝐽𝑎𝑟𝑖−𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑡 𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑟 = 1 2 ∙𝑑 𝑟= 1 2 ∙7= 7 2 𝑐𝑚 𝐽𝑎𝑟𝑖−𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑡 𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑟 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔=𝜋 𝑟 2 = 22 7 ∙ 𝑟 2 =616 𝑐𝑚 2 𝑟 2 = 7 22 ∙616 𝑐𝑚 2 𝑟 2 =196 𝑐𝑚 2 𝑟=14 𝑐𝑚 ∴𝑗𝑎𝑟𝑖−𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑡𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔 :𝑗𝑎𝑟𝑖−𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑡 𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔=14: 7 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 4:1 sehingga pembesaran karet gelang adalah 4.

Pembesaran atau perkalian itu nama lain dari dilatasi Jadi, apa ya yang dimaksud dengan dilatasi? Dilatasi (pembesaran atau perkalian) ialah suatu transformasi  yang mengubah ukuran (memperkecil atau memperbesar) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor (faktor skala) dilatasi.

Apa yang dimaksud faktor skala? Faktor skala (k) adalah perbandingan antara jarak titik bayangan dari titik pusat dilatasi dan jarak titik benda berkaitan dari titik pusat dilatasi. 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎 𝑘 = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑛𝑑𝑎

Sebuah segitiga ABC dengan titik A(1,2), B(2,3), dan C(3,1) dilatasi terhadap titik 0 dengan faktor skala 2. tentukan koordinat bayangan titik-titik segitiga ABC. C1 A1 C A B1 B Penyelesaian: Koordinat bayangan titik A, B, dan C masing-masing adalah A1(2,4), B1(4,6), dan C1(6,2).

Dilatasi pusat 𝑂(0,0) dan faktor skala 𝑘 Jika titik 𝑃(𝑥,𝑦) dilatasi terhadap pusat 𝑂(0,0) dan faktor skala 𝑘, didapat bayangan 𝑃’(𝑥’,𝑦’) maka 𝑥’=𝑘𝑥 dan 𝑦’=𝑘𝑦 dan dilambangkan dengan [𝑂,𝑘] 𝑃(𝑥,𝑦) 𝐷 [0,𝑘] 𝑃′(𝑘𝑥,𝑘𝑦)

Contoh 1: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan D(3,3) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala 2. Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD! Dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala 2. Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan D(3,3) B’ C’ D’ A’ D C A B Penyelesaian: Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah A’(3,2), B’(5,2), C’(5,4), dan D’(3,4)

Dari contoh 1 dapat disimpulkan bahwa “jika k>1, maka bangun terlihat diperbesar dan letaknya searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula”.

Contoh 2: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan D(3,3) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala −2 . Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD! Dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala −2 . Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan D(3,3) C D B A B’ C’ D’ A’ Penyelesaian: Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah A’(3,2), B’(1,2), C’(1,0), dan D’(3,0)

Dari contoh 2 dapat disimpulkan bahwa “jika k<-1, maka bangun terlihat diperbesar dan letaknya berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula”.

Contoh 3: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan D(3,3) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala 1. Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD! Dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala 1. Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan D(3,3) C D B A Penyelesaian: Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D tidak mengalami perubahan (tidak diperbesar ataupun diperkecil), koordinatnya tetap.

Dari contoh 3 dapat disimpulkan bahwa “jika 𝑘=1, maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak”.

Contoh 4: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(5,2), C(5,4), dan D(3,4) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala 1 2 . Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD! Dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala 1 2 . Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(5,2), C(5,4), dan D(3,4) D C B’ C’ D’ A’ A B Penyelesaian: Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah A’(3,2), B’(4,2), C’(3,2), dan D’(3,3)

Dari contoh 4 dapat disimpulkan bahwa “jika 0<𝑘<1, maka bangun terlihat diperkecil dan letaknya searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula”.

Contoh 5: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(5,2), C(5,4), dan D(3,4) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala − 1 2 . Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD! Dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala − 1 2 . Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(5,2), C(5,4), dan D(3,4) D C A B B’ C’ D’ A’ Penyelesaian: Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah A’(3,2), B’(2,2), C’(2,1), dan D’(3,1)

Dari contoh 5 dapat disimpulkan bahwa “jika−1<𝑘<0, maka bangun terlihat diperkecil dan letaknya berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula”.

Dilatasi pusat P(a,b) dan faktor skala k Bayangannya adalah 𝑥 ′ =𝑘 𝑥−𝑎 +𝑎dan 𝑦 ′ =𝑘 𝑦−𝑏 +𝑏 dilambangkan dengan 𝑃 (𝑎,𝑏) ,𝑘 𝐴(𝑥,𝑦) 𝐷 𝑃 𝑎,𝑏 ,𝑘 𝐴′ 𝑘 𝑥−𝑎 +𝑎,𝑘 𝑦−𝑏 +𝑏

Dapat disimpulakan bahwa Sifat Dilatasi adalah Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuknya. Jika k>1, maka bangun akan diperbesar dan terletak secara terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika k=1, maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak. Jika 0<k<1, maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika -1<k<0, maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula. Jika k<-1, maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.