Pemprograman Linear

Penggunaan LP Penjadualan pengeluaran dan polisi inventori untuk memenuhi keperluan permintaan jualan bagi tempoh masa hadapan bertujuan membolehkan syarikat memenuhi permintaan dan dalam masa yang sama meminimumkan jumlah kos pengeluaran dan inventori. Pemilihan portfolio pelaburan dari beberapa pilihan pelaburan stok dan bon bertujuan untuk membentuk portfolio yang dapat memaksimumkan pulangan ke atas pelaburan. Menentukan bagaimana membahagikan peruntukan pengiklanan yang telah ditetapkan dengan baik dia antara alternatif media pengiklanan seperti radio, television, suratkhabar, dan majalah. Pengurus mahu menentukan campuran media yang memaksimumkan keberkesanan pengiklanan. Masalah pengangangkutan untuk mengagihkan barangan dari beberapa gudang ke beberapa lokasi permintaan supaya jumlah kos pengangkutan dapat diminimumkan dan permintaan dapat dipenuhi.

Kandungan LP Di dalam terminologi pemprograman linear, memaksimumkan dan meminimumkan kuantiti adalah dirujukkan sebagai objektif kepada masalah. Oleh itu objektif bagi semua masalah pemprograman linear adalah memaksimumkan atau meminimumkan beberapa kuantiti. Peraturan kedua kepada masalah pemprograman linear ialah terdapat batasan atau kekangan yang menghadkan darjah untuk objektif dicapai. Ccntoh: Pengilang terbatas oleh kekangan keperluan permintaan keluaran untuk dipenuhi dan kekangan yang menunjukkan kapasiti pengeluaran yang terhad. Masalah portfolio kewangan pula dibataskan dengan jumlah dana pelaburan yang ada dan jumlah maksimum yang boleh dilaburkan di dalam setiap stok atau bon. Masalah membuat pemilihan media adalah dibataskan oleh belanjawan pengiklanan yang telah ditetapkan dan berbagai media yang tersedia. Masalah pengangkutan untuk meminimumkan kos penjadualan penghantaran dibataskan oleh penawaran keluaran yang ada pada setiap gudang.

Masalah Pemaksimuman yang Mudah Contoh

Fungsi Objektif Biarkan x1 = bilangan beg standard yang dikeluarkan. x2 = bilangan beg deluxe yang dikeluarkan. Di dalam terminologi pemprograman linear kita rujukkan x1 dan x2 sebagai angkubah keputusan. Oleh itu fungsi objektif boleh ditulis sebagai: Jumlah keuntungan = Z = 10x1 + 9x2 max z = max 10x1 + 9x2

Penyelesaian Kepada Masalah Mana-mana kombinasi tertentu pengeluaran bagi beg standard dan beg deluxe adalah dirujukkan sebagai penyelesaian kepada masalah. Hanya penyelesaian yang dapat memenuhi semua kekangan sahaja yang dirujukkan sebagai penyelesaian bolehlaksana. Kombinasi tertentu keluaran boleh laksana atau penyelesaian boleh laksana yang menghasilkan keuntungan yang terbesar dirujukkan sebagai kombinasi keluaran yang optimum atau sama dengan penyelesaian optimum.

Kekangan Setiap bag standard dan deluxe yang dikeluarkan melalui empat operasi pengilangan. Oleh itu jumlah masa pengeluaran yang ada adalah terhad bagi setiap operasi, maka kita mempunyai empat batasan atau kekangan yang menghadkan jumlah bilangan beg golf yang boleh dikeluarkan. Pemotongan dan mewarna Menjahit Kemasan Pemeriksaan dan pembungkusan

Kekangan 1: Pemotongan dan mewarna Setiap bag standard (x1 ) menggunakan 7/10 jam, Jumlah jam yang digunakan = 7/10x1 Setiap beg deluxe (x2 ) menggunakan 1 jam, Jumlah jam yang digunakan = 1x2 Jumlah masa pemotongan dan mewarna yang diperlukan unuk mengeluarkan x1 beg standard dan x2 beg deluxe diberikan sebagai: Jumlah masa pemotongan dan mewarna = 7/10x1 + 1x2

Oleh kerana syarikat hanya mempunyai 630 jam masa pemotongan dan mewarna, ia mengikat kombinasi pengeluaran yang dipilih untuk memenuhi keperluan: 7/10 x1+ 1x2  630 simbol  bermakna lebih kecil dari atau sama dengan dan perhubungan ini dirujukkan sebagai ketaksamaan dan ditandakan sebagai kenyataan jumlah masa yang digunakan untuk operasi pemotongan dan mewarna untuk mengeluarkan x1 bag standard dan x2 bag deluxe mestilah lebih kecil dari atau sama dengan jumlah maksimum masa pemotongan dan mewarna yang ada pada syarikat. Ketaksamaan ini adalah mewakili fungsi kekangan pemotongan dan mewarna bagi bagi syarikat.

Kekangan 2: Menjahit 1/2 x1 + 5/10 x2  600 Kekangan 3: Kemasan 1x1 + 2/3 x2  708 Kekangan 4: Pemeriksaan dan Pembungkusan 1/10x1 + 1/4x2  135

Kekangan 5: Kekangan bukan negatif Untuk menghalang angkubah keputusan x1 dan x2 daripada menpunyai nilai negatif dua kekangan berikut perlu ditambah: x1  0 dan x2  0 Tanda  bermakna lebih besar dari atau sama dengan dan menentukan penyelesaian bagi masalah mempunyai nilai bukan negatif bagi angkubah keputusan dan dirujukkan sebagai kekangan bukan negatif. Ia adalah gambaran am bagi semua masalah pemprograman linear dan akan ditulis di dalam bentuk ringkasnya seperti berikut: x1, x2  0

Pernyataan Matematik Model matematik yang sempurna adalah seperti berikut: max 10 x1 + 9 x2 Fungsi objektif tertakluk kepada (t.k.) 7/10x1 + 1 x2  630 Pemotongan dan mewarna 1/2x1 + 5/6 x2  600 Menjahit 1x1 + 2/3 x2  708 Kemasan 1/10x1 + 1/4 x2  135 Periksa dan bungkus x1, x2  0 Bukan negatif

Pendekatan Penyelesaian Secara Geraf Cara yang mudah untuk menyelesaikan masalah pemprograman linear yang mempunyai hanya dua angkubah keputusan adalah tatacara penyelesaian secara geraf. Kaedah geraf adalah merumitkan di dalam penyelesaian masalah yang mempunyai tiga angkubah atau lebih.

Graf Titik Penyelesaian untuk Dua Pembolehubah Titik penyelesaian dengan x1 = 200 dan x2=800 1000 Sukuan I  (200,800) Sukuan II 800 Bilangan beg seluxe (x2) 600 Titik penyelesaian dengan x1 = 400 dan x2=300 400  (400,300) 200 -400 -200 200 400 600 800 1000 1200 -200 Bilangan beg standard (x1) Sukuan IV -400 Sukuan III Graf Titik Penyelesaian untuk Dua Pembolehubah

Kekangan Bukan Negatif 1400 1200 Kawasan Penyelesaian Bukan Negatif 1000 Bilangan beg seluxe (x2) 800 600 400 200 200 400 600 800 1000 1200 1400 Bilangan beg standard (x1)

Ketaksamaan kekangan pemotongan dinyatakan sebagai:   7/10x1 + 1x2  630 Kita mulakan dengan melakarkan garisan yang berpadanan dengan persamaan: 7/10x1 + 1x2 = 630 Garisan ini, di mana dipanggil garisan kekangan pemotongan dan mewarna Jika x1 = 0  x2 = 630 Jika x2 = 0  x1 = 900

Kekangan Pemotongan dan Mewarna 1200 Kekangan Pemotongan dan Mewarna 1000 800  (0,630) Bilangan beg seluxe (x2) 600  (600,500) 400 7/10x1 + 1x2 = 630  (200,200) 200  (900,0) 200 400 600 800 1000 1200 1400 Bilangan beg standard (x1)

Kekangan Pemotongan & Mewarna, dan Menjahit 1200 1000 800 MJ Bilangan beg seluxe (x2) 600 P&W  (600,500) 400  (400,400)  (200,200) 200 7/10x1 + 1x2 = 630 1/2x1 + 5/6x2 = 600 200 400 600 800 1000 1200 1400 Bilangan beg standard (x1)

Kekangan Pemotongan & Mewarna, Menjahit, dan Kemasan 1200 1000 KM 800 MJ 1x1 + 2/3 x2 = 708 Bilangan beg seluxe (x2) 600 P&W  (600,500) 400  (400,400)  (200,200) 200 (700,100)  7/10x1 + 1x2 = 630 1/2x1 + 5/6x2 = 600 200 400 600 800 1000 1200 1400 Bilangan beg standard (x1)

Semua Kekangan Bilangan beg seluxe (x2) Bilangan beg standard (x1) 1200 1000 KM 800 MJ 1x1 + 2/3 x2 = 708 Bilangan beg seluxe (x2) 600 P&W P&B 400 1/2x1 + 5/6x2 = 600 200 7/10x1 + 1x2 = 630 1/10x1 + 1/4 x2 = 135 200 400 600 800 1000 1200 1400 Bilangan beg standard (x1)

Kawasan Boleh Laksana Bilangan beg seluxe (x2) 600  Bilangan beg seluxe (x2)  400  200  200 400 600 Bilangan beg standard (x1)

Mencari Titik Optimum Bilangan beg seluxe (x2) 600  10x1 + 9x2 = 7200 10x1 + 9x2 = 7668 400  Bilangan beg seluxe (x2) 10x1 + 9x2 = 5400 10x1 + 9x2 = 3600 (540,252)  200 10x1 + 9x2 = 1800  200 400 600 Bilangan beg standard (x1)

Ringkasan Tatacara Penyelesaian Secara Geraf Bagi Masalah Pemaksimuman Sediakan geraf bagi titik-titik penyelesaian bolehlaksana bagi setiap kekangan Tentukan kawasan bolehlaksana dengan mengenalpasti titik penyelesaian yang dapat memenuhi semua kekangan serentak Lukiskan garisan keuntungan yang menunjukan semua nilai angkubah x1 dan x2 yang menghasilkan nilai tertentu bagi fungsi objektif Gerakkan secara selari garisan keuntungan ke arah yang lebih tinggi (biasanya lebih jauh daripada origin) sehingga pergerakan selanjutnya akan menyebabkan garisan keuntungan keluar daripada kawasan boleh laksana Titik bolehlaksana terletak di atas garisan keuntungan yang tertinggi merupakan penyelesaian yang optimum

Angkubah Slak 7/10 (540) + 1 (252) = 630 jam - pemotongan dan mewarna Keperluan masa pengeluaran adalah seperti berikut: 7/10 (540) + 1 (252) = 630 jam - pemotongan dan mewarna 1/2 (540) + 5/6 (252) = 480 jam - menjahit 1 (540) + 2/3 (252) = 708 jam - kemasan 1/10 (540) + 1/4 (252) = 117 jam - periksa dan bungkus Di dalam terminologi pemprograman linear, mana-mana yang tidak digunakan atau kapasiti yang terbiar bagi kekangan  adalah dirujukkan sebagai slak berkaitan dengan kekangan.

Bentuk Piawai Max 10x1 + 9x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4 t.k.

Titik Ekstrim dan Penyelesaian Optimum Penyelesaian optimum mesti pada satu daripada titik ekstrim atau sudut kawasan bolehlaksana. Di dalam teminalogi pemprograman linear sudut ini dikenali sebagai titik ekstrim bagi kawasan bolehlaksana

Penyelesaian Optimum Dengan Fungsi Objektif 5x1 + 9x2 600 5x1 + 9x2 = 5200  (300,420) 400  Bilangan beg seluxe (x2) 10x1 + 9x2 = 7668 (540,252)  200  200 400 600 Bilangan beg standard (x1)

Titik Ekstrim Penyelesaian Bolehlaksana 600    400  Bilangan beg seluxe (x2)   200    200 400 600 Bilangan beg standard (x1)

Berbilang Penyelesaian Optimum Terjadi sekiranya garisan keuntungan yang tertinggi terletak di atas satu daripada garisan kekangan yang menjadi sempadan kepada kawasan bolehlaksana. Contoh: fungsi objektif: max 6.3x1 + 9x2

Penyelesaian Berbilang Optimum 600   6.3x1 + 9x2 = 5200  400 (300,420)  Bilangan beg seluxe (x2)   (540,252) 200    200 400 600 Bilangan beg standard (x1)

Masalah Peminimuman Mudah

Contoh Sebuah syarikat mengeluarkan dua jenis cecair mencuci gambar. Kedua-dua keluaran tersebut melibatkan kos $1 setiap gelen untuk dikeluarkan. Paras inventori semasa dan pesanan bagi bulan hadapan telah mengenalpasti sekurang-kurangnya 30 gelen bagi keluaran 1 dan sekurang-kurangnya 20 gelen bagi keluaran 2 mesti dikeluarkan dalam masa dua minggu berikutnya. Pengurusan juga menyatakan inventori yang ada sekarang merupakan bahan mentah yang mudah rosak diperlukan di dalam pengeluaran kedua-dua cecair dan mesti digunakan di dalam masa dua minggu dan inventori semasa bagi bahan mentah mudah rosak ialah 80 paun. Oleh kerana lebih banyak bahan mentah ini boleh dipesan sekiranya perlu, mana-mana inventori semasa jika tidak digunakan dalam masa dua minggu akan musnah. Oleh itu keperluan pengurusan sekurang-kurangnya 80 paun akan digunakan dalam masa 2 minggu akan datang. Keluaran 1 memerlukan 1 paun bahan mentah mudah rosak setiap gelen dan keluaran 2 memerlukan 2 paun bahan mentah segelen. Objektif syarikat ialah untuk mengekalkan kos pengeluaran pada paras yang paling minimum dan memenuhi permintaan pelanggan. Apakah penyelesaian kos yang minimum?.

Model Matematik Biarkan : x1 = bilangan gelen keluaran 1 dikeluarkan Fungsi Objektif: Kos pengeluaran: $1 bagi setiap gelen keluaran 1 (x1), dan $1 bagi setiap gelen keluaran 2 (x2) Oleh itu, fungsi objektif yang mewakili jumlah kos ialah   1x1 + 1 x2

menggunakan tetanda z sebagai nilai fungsi objektif, objektif kos yang minimum boleh ditulis sebagai   min z = 1 x1 + 1 x2 Fungsi Kekangan: Kekangan bahan mentah mudah rosak: Keluaran 1 (x1) menggunakan 1 paun bahan mentah Keluaran 2 (x2 )menggunakan 2 paun bahan mentah. Jumlah bahan mentah yang diperlukan untuk menghasilkan x1 unit keluaran 1 dan x2 unit keluaran x2 ialah 1 x1 + 2 x2

Oleh kerana kekangan yang digunakan sekurang-kurangnya 80 paun bahan mentah mudah rosak, kekangan bahan mentah menjadi 1 x1 + 2 x2  80 Kekangan permintaan: Mengeluar sekurang-kurangnya 30 gelen keluaran 1 x1  30 dan sekurang-kurangnya 20 gelen keluaran 2 x2  20

Model Lengkap min 1 x1 + 1 x2 Fungsi objektif t.k. 1 x1 + 2 x2  80 Bahan mentah 1 x1  30 Keluaran 1 1 x2  20 Keluaran 2 x1,x2  0 Bukan negatif

Kawasan boleh laksana 60 40 Keluaran 2 (gelen) 1 x1 + 2 x2  80 20 10 10 20 30 40 50 60 70 80 Keluaran 1 (gelen)

Kawasan boleh laksana 60 x1  30 40 Keluaran 2 (gelen) x2  20 20 1 x1 + 2 x2  80 10 20 30 40 50 60 70 80 Keluaran 1 (gelen)

Kawasan boleh laksana 60 40 Keluaran 2 (gelen) (30,25) x2  20 20  x2  20 20  x1 + x2 =70 x1 + x2 =55 x1 + x2 = 40 10 20 30 40 50 60 70 80 Keluaran 1 (gelen)

Ringkasan Tatacara penyelesaian secara Geraf Bagi Masalah Peminimuman Sediakan geraf bagi titik penyelesaian bolehlaksana bagi setiap kekangan. Kenalpasti kawasan penyelesaian bolehlaksana dengan mengenalpasti titik penyelesaian yang memenuhi semua kekangan serentak. Lukiskan garisan kos yang menunjukkan semua nilai angkubah x1 dan x2 yang memberikan nilai tertentu fungsi objektif. Gerakan secara selari garisan kos ke arah kos yang rendah (biasanya kearah origin) sehingga pergerakan selanjutnya akan membuatkan garisan kos keluar sepenuhnya daripada kawasan bolehlaksana. Titik ekstrim bolehlaksana menyentuh sehabis rendah yang mungkin garisan kos merupakan penyelesaian yang optimum.

Angkubah Lebihan 1 (30) + 2 (25) = 80 Bahan mentah Keperluan input dan permintaan: 1 (30) + 2 (25) = 80 Bahan mentah 1 (30) = 30 Keluaran 1 1 (25) = 25 Keluaran 2 Di dalam teminologi pemprograman linear, mana-mana lebihan kuantiti berpadanan dengan kekangan  adalah dirujukkan kepada lebihan bagi kekangan yang berkenaan.

Bentuk Piawai min 1 x1 + 1 x2 - 0s1 - 0s2 - 0s3 t.k. 1 x1 + 2 x2 = 80

Nilai Angkubah Lebihan

Masalah dalam Pemprograman Linear

Ketidakboleh Laksanaan Terjadi apabila tiada penyelesaian kepada masalah pemprograman linear yang dapat memenuhi semua kekangan, termasuk keadaan bukan negatif x1, x2  0. Secara geraf, ketidakboleh laksanaan bermaksud kawasan bolehlaksana tidak terbentuk; oleh itu, tidak terdapat titik yang dapat memenuhi semua kekangan dan keadaan bukan negatif serentak.

Contoh max 10 x1 + 9 x2 tertakluk kepada (t.k.) 7/10x1 + 1 x2  630

Kawasan Tidak Bolehlaksana 800 Tiada titik yang memenuhi kekangan keperluan minimum Minimum x1 600  Bilangan beg seluxe (x2) Tiada titik yang memenuhi kekangan jabatan  400 Minimum x2  200  200 400 600 Bilangan beg standard (x1)

Ketidakterbatasan Terjadi jika nilai bagi penyelesaian boleh dibuat terlalu banyak tanpa melanggar mana-mana kekangan. Keadaan ini dikenali sebagai 'utopia pengurusan'. Sekiranya keadaan ini terjadi di dalam masalah memaksimumkan keuntungan, adalah benar bagi pengurus mencapai keuntungan yang tidak terhad. max 2 x1 + 1 x2 t.k. 1 x1  2 1 x2  5 x1,x2  0

Jumpa lagi minggu hadapan

Bilangan beg seluxe (x2) 1200 1000 800 Bilangan beg seluxe (x2) 600 400 200 200 400 600 800 1000 1200 1400 Bilangan beg standard (x1)