Transformasi Peubah Acak dan Bebas Statistik Kuliah 7

Transformasi Peubah Acak Teorema 1: Misalkan X suatu peubah acak diskrit dengan distribusi peluang f(X). Misalkanlah Y=u(X) suatu transformasi satu-satu antara nilai X dan Y sehingga persamaan y=f(x) mempunyai jawaban tunggal untuk x dinyatakan y, misalkan x=w(y). Maka distribusi peluang Y adalah g(y)=f[w(y)]

Contoh Misalkanlah x suatu peubah acak diskrit geometrik dengan distribusi peluang untuk x=1,2,3,… dan f(x) =0, untuk x yang lain. Carilah distribusi peubah acak y=x2 Jawab Karena nilai x semuanya positif, transformasi antara nilai x dan nilai y tersebut adalah satu-satu, y=x2 dan Jadi untuk y=1,4,9,… dan g(y)=0 untuk nilai y yang lainnya.

Transformasi Peubah Acak Teorema 2: Misalkanlah X suatu peubah acak kontinu dengan distribusi peluang f(X). Misalkanlah Y=u(X) suatu transformasi satu-satu antara nilai X dan Y sehingga persamaan y=u(x) mempunyai jawaban tunggal untuk x dinyatakan dalam y, misalkan x=w(y). Maka distribusi peluang Y adalah dengan J=w’(y) disebut transformsi Jacobi

Contoh Misalkanlah X suatu peubah acak kontinu dengan distribusi peluang untuk 1<x<5 dan f(x)=0 untuk nilai x yang lain. Carilah distribusi peubah acak Y=2X-3 Jawab Fungsi balikan dari y=2x-3 adalah x=(y+3)/2 sehingga dengan menggunakan Teorema 2, maka fungsi padatan Y untuk -1<y<7 dan g(y)=0 untuk nilai y yang lainnya.

Contoh Misalkan suatu voltage V adalah peubah acak yang diberikan oleh V=i(r+r0) dimana i=0,01 A dan r0=1000Ω. Bila t, yakni tahanan R adalah peubah acak kontinu dengan distribusi peluang seragam diantara 900 Ω dan 1100 Ω, yakni f(r)= 1/200 untuk 900<r<1100 dan f(r)=0 untuk nilai r yang lain. Carilah distribusi peubah acak V. Jawab Fungsi balikan dari v=0,01(r+1000) adalah r=100v-1000 sehingga dengan menggunakan Teorema 2, maka fungsi padatan V untuk 19<v<21 dan g(v)=0 untuk nilai v yang lainnya.

Bebas Statistik Definisi 1: Fungsi f(x,y) adalah distribusi peluang gabungan peubah acak diskrit X dan Y bila 1. 2. 3.

Bebas Statistik Peubah acak kontinu Definisi 2: Fungsi f(x,y) adalah fungsi padat gabungan peubah acak kontinu X dan Y bila 1. 2. 3.

Bebas Statistik Definisi 3: Misalkan X dan Y dua peubah acak, diskrit maupun kontinu dengan fungsi peluang gabungan f(x,y) dan distribusi peluang untuk X dan Y masing-masing adalah g(x) dan h(y). Maka peubah acak X dan Y disebut bebas statistik jika dan hanya jika, f(X,Y)=g(X)h(Y) dan semua (X,Y) dalam daerah definisinya

Contoh Misalkan lamanya daya tahan (dalam tahun) sejenis makanan kemasan dalam kotak sebelum rusak merupakan peubah acak yang fungsi padat peluangnya berbentuk f(x)=e-x, untuk x>0 dan bernilai 0 untuk x yang lain. Misalkan X1 dan X2 menyatakan lamanya daya tahan dua kotak dari makanan kemasan ini yang dipilih secara acak. Hitunglah P(X1<2, 1<X2<3)

Jawab Karena kotak dipilih secara acak (bebas), maka dapat dianggap bahwa peubah acak X1, dan X2 bebas statistik dengan fungsi padat peluang gabungan untuk x1> 0 dan x2 >0 dan bernilai 0 untuk nilai yang lain. Jadi