design by budi murtiyasa 2008

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
M A T R I K S Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli /08/20141design by budi murtiyasa 2008.
Advertisements

BAB 3. MATRIKS 3.1 MATRIKS Definisi: [Matriks]
design by budi murtiyasa 2008
DETERMINAN.
Pertemuan II Determinan Matriks.
EKIVALEN Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli /04/20151design by budi murtiyasa 2008.
ALJABAR LINIER & MATRIKS
DETERMINAN 2.1. Definisi   DETERMINAN adalah suatu bilangan ril yang diperoleh dari suatu proses dengan aturan tertentu terhadap matriks bujur sangkar.
LANJUTAN MATRIKS Oleh : KELOMPOK 2 : - ERNAWATI EVI NOVIANTI AGISIANA RIANI AUGUSTIA RIFNA.
BAB III DETERMINAN.
MATRIKS.
PERMUTASI Merupakan suatu himpunan bilangan bulat {1,2,…,n} yang disusun dalam suatu urutan tanpa penghilangan atau pengulangan. Contoh : {1,2,3} ada 6.
MATRIKS.
Determinan Pertemuan 2.
DETERMINAN MATRIK TATAP MUKA 2 APRIL 2012 BY NURUL SAILA.
DETERMINAN Fungsi Determinan
PERSAMAAN LINEAR DETERMINAN.
Matrik Invers Suatu bilangan jika dikalikan dengan kebalikannya, maka hasilnya adalah 1. Misalkan atau = 1, Demikian juga halnya dengan matrik.
Determinan.
BAB 3 DETERMINAN.
MATRIKS.
DETERMINAN Route Gemilang routeterritory.wordpress.com.
Matriks dan Determinan
BAB 3 DETERMINAN.
DETERMINAN DARI MATRIKS Pertemuan
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK INFORMATIKA STMIK HANDAYANI MAKASSSAR MATRIKS Novita Dwi Maharani S, S.Si, M.Pd.
INVERS MATRIKS (dengan adjoint)
MATRIKS EGA GRADINI, M.SC.
MODUL 4: MATRIK dan determinan
Determinan Matriks Kania Evita Dewi.
Chapter 4 Determinan Matriks.
Determinan.
Operasi Matriks Pertemuan 24
Determinan ?. Determinan ? Fungsi Determinan Definisi Suatu permutasi dari bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3, …, n} adalah penyusunan.
MATEMATIKA LANJUT 1 DETERMINAN Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi.
Determinan Matriks Kania Evita Dewi.
Determinan Matriks Ordo 3 × 3
Aljabar Linear Elementer I
Aljabar Linear Elementer
Determinan dan Invers Daniel Rudy Kristanto, S.Pd
Aljabar Linier dan Vektor Teknik Informatika – IBI Darmajaya
Determinan.
MATRIKS.
DETERMINAN Konsep determinan dan invers matrik.
DETERMINAN Pengertian Determinan
DETERMINAN DARI MATRIKS Pertemuan - 4
Aljabar Linear Elementer
MATRIKS.
Dosen Pengampu Rusanto, SPd., MSi
DETERMINAN MATRIKS.
MATRIKS Matematika-2.
Pertemuan II Determinan Matriks.
DETERMINAN.
DETERMINAN MATRIKS Misalkan
MATRIKS Matematika Ekonomi Dosen : Mike Triani, SE, MM.
Ekspansi Kofaktor dan Aturan Cramer Dosen pengampu : novi elfira S.Pd
DETERMINAN MATRIKS Misalkan
design by budi murtiyasa 2008
Aljabar Linear Elementer
MATRIKS Fakultas Ekonomi Universitas Padjadjaran.
MATRIKS.
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
design by budi murtiyasa ums 2008
design by budi murtiyasa 2008
design by budi murtiyasa 2008
DETERMINAN.
DETERMINAN.
Drs. Darmo.  Definisi: Susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh:
DETERMINAN 1.Pengertian Determinan 2.Perhitungan Determinan Matriks Bujur Sangkar 3.Sifat-sifat Determinan 4.Menghitung Determinan Menggunakan Sifat-Sifat.
BAB 3. MATRIKS 3.1 MATRIKS Definisi: [Matriks]
Transcript presentasi:

design by budi murtiyasa 2008 DETERMINAN Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli 2008 23/11/2018 design by budi murtiyasa 2008

DETERMINAN Untuk setiap matriks persegi A dengan elemen-elemen bilangan real, terdapat tepat satu nilai yang berhubungan dengan matriks tersebut. Satu nilai real ini disebut determinan. Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|. A = Det(A) = -7. B = |B| = 25 C = Det(C) = 0 Bagaimana menghitung nilai determinan ?

1. Definisi determinan Cara menghitung determinan : 2. Sifat-sifat determinan 3. Ekspansi minor dan kofaktor 4. Kombinasi cara 2 dan 3 MELALUI DEFINISI DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian hasilnya dijumlahkan. A = Det(A) = a11 a22 – a12 a21 Bagaimana menentukan tanda + dan – tiap suku ?

Urutan natural (asli) : 1 2 3 4 5 6 . . . = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 + a12 a23 a31 – a12 a21 a33 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 Produk yg berasal dari baris dan kolom yg berbeda : a11 a22 a33 Indeks kolom 1 2 3, sudah urut. Tidak ada transposisi. a11 a23 a32 Indeks kolom 1 3 2, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3 a12 a23 a31 Indeks kolom 2 3 1, belum urut. Dua kali pindah. 1 3 2 dan 1 2 3 a12 a21 a33 Indeks kolom 2 1 3, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3 a13 a21 a32 Indeks kolom 3 1 2, belum urut. Dua kali pindah. 2 1 3 dan 1 2 3 a13 a22 a31 Indeks kolom 3 2 1, belum urut. Satu kali pindah. 1 2 3 Perhatikan, indeks baris sudah dalam urutan natural, indeks kolom belum. Tanda + atau – ditentukan banyaknya langkah (transposisi) yg membawa indeks kolom ke urutan natural. Jika genap +, jika ganjil (-) negatif; atau tandanya adalah (-1)t, dengan t banyaknya transposisi.

+ A = Det(A) = ? Jumlah dari 4! = 24 suku, dengan tiap suku terdiri dari empat faktor. Catatan : Khusus determinan dimensi 3, bisa pakai aturan SARRUS Det(A) = + – = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33

|A| = = 26 = – 6 |B| = Dengan bantuan sifat determinan, membantu memudahkan menghitung nilai determinan. |C| = = 0

semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom. SIFAT-SIFAT DETERMINAN 1. Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama; |AT| = |A| |A| = = 26 |AT| = = 26 Akibatnya : semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom. 2. Matriks persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, determinannya nol (0). det(B) = = 0 det(C) = = 0

3. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A Jika baris kedua dikalikan dengan 7 |A| = = 35 = 7 |A| |A| = 5 = 7 (5) = 35 Akibat sifat ini : = 7 Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai faktor yang sama, maka sudah dapat difaktorkan. = 4 = 3

4. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah menjadi negatip determinan semula. = 31 Baris pertama ditukar baris kedua = – 31 5. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama adalah sama dengan 0 (nol). = 0 = 0

6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya) merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0 (nol). |B| = Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, |B| = 0 7. Determinan dari matriks persegi A = (aij) berdimensi n yang baris ke -i (kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku yang kedua. = + = +

8. Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain. = 11 Sifat ke 8 ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris (kolom), sebelum menghitung nilai determinan Jika k2 + 3k1 = 11 = 11 Jika b1 – b2 9. Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen-elemen diagonalnya. = (3)(-1)(5) = - 15 = (-3)(-2)(4)(1) = 24

Gunakan sifat determinan untuk menghitung : b3 – 2 b1 b2 + 3b1 b3 + 3 b2 = (1)(-1)(3) = - 3 Petunjuk umum : Gunakan sifat ke 8, untuk mereduksi matriks menjadi matriks segitiga; kemudian gunakan sifat ke 9

Submatriks / matriks bagian : Matriks yang diperoleh dengan menghilangkan beberapa baris dan/atau beberapa kolom dari suatu matriks A = Menghilangkan baris pertama diperoleh submatriiks : Menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga diperoleh submatriks : dan sebagainya.

Minor dan Kofaktor Andaikan A berdimensi n, determinan dari submatriks yg berdimensi (n-1) disebut minor. Mrs : minor dari submatriks dng menghilangkan baris ke r kolom ke s. a11 a12 a13 a11 a13 = a11a23 – a13a21 Andaikan A = M32 = a21 a22 a23 a21 a23 a31 a32 a33 Untuk matriks A berdimensi 3 tersebut ada berapa minor ? M11 = a22 a23 = a22 a33 – a23 a32 a32 a33 Matriks tersebut mempunyai 9 minor

Kofaktor Kofaktor yang berhubungan dengan minor Mrs adalah Crs = (-1)r+s Mrs. A = C23 = - M23 = 0 C11 = (-1)1+1 M11 = (-1)2 = 1 (7) = 7 C31 = M31 = 7 = (-1) (9) = -9 C12 = (-1)1+2 M12 = (-1)3 C32 = - M32 = - 9 C13 = (-1)4 M13 = M13 = = 5 C33 = M33 = 5 C21 = (-1)3 M21 = - M21 = - = 0 C22 = M22 = 0

Menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor : Ekspansi melalui baris pertama : Det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 Atau ekspansi melalui baris ketiga : Det(A) = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33 Atau ekspansi melalui kolom ke dua : Det(A) = a12C12 + a22C22 + a32C32 Dan sebagainya.

Dengan ekspansi kofaktor, hitung determinan : B = Andaikan dilakukan ekspansi melalui baris kedua : Det(B) = b21 C21 + b22 C22 + b23 C23 C21 = - M21 = - = 9 Det(B) = (3)(9) + (1)(3) + (-1) (-3) C22 = M22 = 3 Det(B) = 33 C23 = - M23 = - 3 Atau jika dikerjakan dengan ekspansi melalui kolom ketiga : Det(B) = b13 C13 + b23 C23 + b33 C33 C13 = M13 = 2 Det(B) = (1)(2) + (-1)(-3) + (4)(7) C23 = - M23 = - 3 Det(B) = 33 C33 = M33 = 7

Strategi menghitung determinan : 1. Gunakan kombinasi beberapa metode (definisi, sifat, ekspansi kofaktor). 2. Pilih ekspansi melalui baris atau kolom yang paling sederhana. 3. Gunakan sifat ke 8 untuk membuat unsur-unsur pada baris/kolom yang dipilih sebanyak mungkin menjadi nol. 4. Ulangai langkah 1, dan seterusnya.

Hitung determinan dari : E = Dikerjakan dengan ekspansi melalui baris ke dua : K2 + K1 K3 – K1 |E| = |E| = e21 C21 + e22 C22 + e23 C23 |E| = e21 C21 + 0 + 0 C21 = - M21 = - {(3)(-7) – (-5)(9)} = - 24 |E| = (1) (-24) = - 24

Berapakah determinan dari F = Dipilih ekspansi melalui kolom pertama : B3 + B1 |F| = Det(F) = f11 C11 = (1) (6) = 6

Berapakah determinan dari G = Dipilih ekspansi melalui kolom ke tiga : B2 + B1 B3+B1 Det(G) = B3 – B2 Det(G) = g13 C13 = g13 M13 = (-1) (-1) Det(G) = (-1) g21 C21 = (-1) g21 (- M21) = g21 M21 = (3) {(4)(-5) – (7)(-5)} Det(G) = (3) (15) = 45.

Matriks kofaktor : Matriks yang anggota-anggotanya berupa kofaktor suatu matriks. C21 = - M21 = - 2 C11 = M11 = -5 A = C22 = M22 = 3 C12 = - M12 = - 4 Jadi matriks kofaktor dari A adalah : K = = Matriks adjoint : Transpose dari matriks kofaktor. Adj (A) = KT = =

Hitung (a) adjoint dari matriks A, (b) determinan matriks A C21 = -M21 = 4 C31 = M31 = -1 C11 = M11 = 2 A = C32 = -M32 = 7 C12 = -M12 = - 5 C22 = M22 = -1 C33 = M33 = 5 C23 = -M23 = -2 C13 = M13 = - 1 = = (a) adj(A) = KT = (b) Det(A) = a11 C11 + a12 C12 + a13 c13 = (1)(2) + (-2)(-5) + (3)(-1) = 9 A adj(A) = ? = |A| I = = 9

Adj(A) A = ? = = 9 = |A| I Sifat : A adj(A) = adj(A) A = det(A) I 2. adj(AB) = adj(B) adj(A)