IKG2B3/METODE KOMPUTASI Author : Deni Saepudin KK Pemodelan dan Simulasi Kuliah #13 Lagrange Multiplier : Dual Problem 12/2/2018

Lagrange Multiplier Solusi x yang memaksimumkan/ meminimumkan fungsi f(x) yang memenuhi kendala g(x) = 0 diperoleh dari solusi persamaan f(x) = g(x) Contoh: Carilah nilai maksimum/minimum untuk fungsi f(x,y) = x2 +y2 yang memenuhi x-y = 1 Titik kritis diperoleh dari 2x =  2y = - x-y = 1 atau 2x-  = 0 2y + = 0 x-y = 1 Diperoleh x = ½, y=-½,  = 1

Lagrange Multiplier Cari nilai maksimum/minimum f(x,y,z) = x + 2y +3z yang memenuhi x2 + y2 = 2 dan y +z = 1 g1(x,y,z) = x2 + y2 -2 =0 g2(x,y,z) = y + z – 1 = 0 Solusi masalah maks/minimum diperoleh dari: f(x,y,z) = 1g1(x,y,z) + 2g2(x,y,z)

Lagrange Multiplier Solusi x yang memaksimumkan/meminimumkan fungsi f(x) yang memenuhi kendala g(x) = 0 diperoleh dari solusi persamaan f(x) = g(x) Versi lain: L(x, ) = f(x)+g(x) Solusi masalah maksimum/minimum diperoleh dari L(x, ) = 0 L dikenal sebagai Lagrangian

Lagrange Multiplier (inequality constraint) Solusi masalah optimasi (primal) Min f(x), x s.t. g(x) 0 dan h(x)=0 Feasible Domain D={x  |g(x)0, h(x)=0} Lagrangian L(x, , ) = f(x)+g(x)+ h(x) Dual Problem Max (, ) s.t.   0 (, ) = inf x L(x, , ) Untuk setiap titik feasible x, (, )  L(x, , )  f(x) Duality Gap = f(x) - (, ) Dengan memaksimumkan (, ) terhadap  dan , akan meminimumkan duality gap. Khususnya, Jika g dan h fungsi Affine, yaitu g(x) = Ax – b ( A matriks, b vektor) maka duality gap menjadi 0. Artinya, solusi masalah primal ekivalen dengan solusi masalah dual.

Ilustrasi 1 Lagrangian Solusi masalah optimasi (primal) Min x2+y2, L(x,y, ) = x2+y2+(x-y-1) Untuk suatu nilai  yang diberikan, agar L minimum 2x +  = 0 2y -  = 0 Dual Problem Max () = ¼2+ ¼2+(-/2-/2-1) = -2/2 -  s.t.   0 Diperoleh =0, x = 0 dan y = 0 Ini berarti constraint tidak aktif!!!

Ilustrasi 2 Lagrangian Solusi masalah optimasi (primal) Min x2+y2, L(x,y, ) = x2+y2-(x-y-1) Agar L minimum 2x -  = 0 2y +  = 0 Dual Problem Max (, ) = ¼2+ ¼2-(/2+/2-1) = -2/2 +  s.t.   0 Diperoleh =1, x = 1/2 dan y = -1/2 Ini berarti constraint aktif, artinya nilai minimum tercapai pada batas constraint.

12/2/2018